Цифровые автоматические системы

Цифровые автоматические системы

Для повышения качества работы автоматические системы часто дополняются разнообразными вычислительными устройствами, такие автоматические системы называются цифровыми автоматическими системами или цифровыми системами автоматического регулирования. Использование вычислительных устройств для целей автоматического регулирования разнообразными объектами имеет большие перспективы. Это объясняется значительными вычислительными и логическими возможностями современных вычислительных машин, что позволяет реализовать сложные алгоритмы управления.

Цифровые автоматические системы строятся на базе комплекса средств вычислительной техники, основными элементами которого являются:
1) центральное вычислительное устройство (ЦВУ);
2) устройства ввода или аналого-цифровой преобразователь (АЦП);
3) устройства вывода или цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Устройства и аппаратура подобного рода с каждым годом все шире внедряются в конструкцию автоматических систем. Они делятся на две большие группы. В первую входят пассивные устройства, которые следят за ходом регулируемого процесса, но не вмешиваются в него. Они только сообщают о результатах своего наблюдения. Это устройства типа измерительных приборов. Они бесстрастно отмечают на экране состояние контролируемого параметра и, в лучшем случае, привлекают внимание оператора об отклонении контролируемого параметра за пределы допуска. Эти устройства хороши для предупреждения аварийных режимов или поломки машин и механизмов.

Вторая группа - активные устройства. Это не только помощники человека. Они в ряде случаев ведут управляемый процесс значительно равномернее и точнее, чем это может сделать человек.

Как правило, вычислительное устройство целесообразно вводить в состав автоматической системы в тех случаях, когда требуется сложная обработка поступающей информации или реализовать сложные алгоритмы автоматического регулирования. Ввиду сравнительной сложности вычислительного устройства включение его в состав автоматической системы оправдывается тогда, когда на него возлагаются задачи распределенного или оптимального регулирования.

По своему принципу действия цифровая автоматическая система является системой дискретного действия. Поэтому цифровые автоматические системы представляют собой автоматическую систему дискретного действия. Как и в дискретных, цифровые автоматические системы разделяются на дискретную и непрерывную части. Функциональные схемы возможных вариантов исполнения цифровых автоматических систем.

Ввиду того, что цифровые автоматические системы обычно являются системами со многими переменными, что представляет собой весьма громоздкую задачу, то на практике обычно ограничиваются исследованием каждого контура автоматического регулирования с одной регулируемой величиной y и одним задающим воздействием х.

Функции центрального вычислительного устройства могут выполнять: 
1) стационарные вычислительные устройства (компьютеры);
2) вычислительные устройства на базе микропроцессоров и микро-ЭВМ;
3) вычислительные устройства на базе цифровых сигнальных процессоров;
4) вычислительные устройства, построенные на жесткой логике.

Первые два относятся к универсальным устройствам управления и могут быть использованы для разнообразных целей, третьи специализированны для приложений, четвертые разрабатываются для конкретных специализированных устройств.

В цифровых автоматических системах вычислительные устройства могут выполнять роли: 
1) автоматического регулятора;
2) автоматического регулятора и устройства сравнения;
3) корректирующего устройства.

Если в качестве вычислительного устройства используется универсальная ЭВМ, то возможно построение многофункциональных цифровых автоматических систем, то оно обслуживает комплекс составляющих объект регулирования устройств:
1) систему управления силовой установкой; 
2) систему управления вспомогательными агрегатами;
3) систему управления электропитанием;
4) систему навигации и т. д.

Включение вычислительного устройства в систему автоматического регулирования требует рассмотрения двух групп вопросов.

К первой группе относятся вопросы, связанные с проектированием и реализацией вычислительным устройством, а также ее входными и выходными устройствами преобразования физических величин в цифровой код и обратно.

Ко второй группе относятся вопросы, связанные с изучением влияния дискретного характера выходных сигналов цифровой автоматической системы на динамические свойства объекта регулирования.

В подобных случаях в состав вычислительного устройства должны входить аналоговые или цифровые мультиплексоры и демультиплексоры.

Во всех случаях вычислительное устройство предоставляет легко доступные информационные потоки, позволяющие кроме прямого управления осуществлять функции: 
1) контроля; 
2) оптимизации;
3) координации;
4) организации всех процессов передачи информации.

Дискретная природа вычислительного устройства определила наличие 2-х процессов в цифровых автоматических системах:
1) дискретизации сигналов по времени (получение решетчатой функции);
2) квантования сигналов АЦП и ЦАП.

Дискретизация сигналов по времени делает систему дискретной, а квантование по уровню - нелинейной. Оба процесса сопровождаются возникновением методических погрешностей.

Выбор частоты дискретизации производится исходя из ширены полосы пропускания или из времени регулирования замкнутой системы. Разумные частоты дискретизации в 6 раз больше ширены полосы пропускания или от 2-х до 4-х дискретных отсчетов за время нарастания, в противном случае качество системы будет резко ухудшаться.

Количество ступеней квантования по уровню оказывает существенное влияние на динамические свойства систем. При недостаточном их количестве могут возникать периодические режимы переключений между дискретами (автоколебания).

Может случиться так, что выполняемые вычислительным устройством задачи (опрос датчиков, расчет программы, формирование информационных потоков, запись в порты вывода) могут быть выполнены только при систематической задержке синтезируемого воздействия на один такт дискретизации. В таком случае в цифровой автоматической системе появится запаздывание t, которое должно быть учтено оператором запаздывания z -1 и, возможно, смещенной передаточной функции W(z, e).

Обычно количество ступеней квантования по уровню велико, поэтому его влиянием пренебрегают. Это делает цифровую автоматическую систему, линейной и позволяет использовать математический аппарат, используемый для исследования дискретных автоматических систем.

К недостаткам цифровых автоматических систем следует отнести то, что с выхода цифровой автоматической системы информация о входном сигнале поступает лишь в дискретные моменты времени, что приводит к некоторой потере информации. В цифровых системах процессы преобразования сигналов обычно происходят не в реальном масштабе времени, вследствие чего вносится определенное запаздывание. Эти факторы являются причиной понижения точности цифровых автоматических систем.

Математическое описание цифровых автоматических систем во многом аналогично математическому описанию дискретных автоматических систем и при этом используются схожие математические приемы. Дискретную автоматическую систему можно представить в виде соединения импульсного элемента и линейной части.

Цифровые автоматические системы, так же как и линейные, имеют три формы математического описания во временной области:
- разностные уравнения типа вход-выход, являющиеся аналогом обыкновенных дифференциальных уравнений;
- взвешенные временные последовательности, являющиеся аналогом описания непрерывных автоматических систем при помощи импульсной переходной функции;
- разностные уравнения в переменных состояния, являющиеся аналогом дифференциальных уравнений в переменных состояния.

Основными характеристиками замкнутой автоматической системы являются: передаточная функция, переходная характеристика и частотная характеристика. Каждая из этих характеристик однозначно определяет свойство замкнутой цифровой автоматической системы.

Первая характеристика - передаточная функция представляет собой сокращенную запись уравнений, описывающих состояния цифровой автоматической системы в дискретные моменты времени. В отличие от линейных автоматических систем, эти уравнения не дифференциальные, а разностные.

Вторая характеристика - временная характеристика определяет временные свойства цифровой автоматической системы, а третья характеристика определяет частотные свойства автоматической системы. все эти характеристики тесно связаны друг с другом.

В амплитудно-импульсных системах на линейную часть воздействует последовательность импульсов, амплитуда которых пропорциональна значению входной величины импульсного элемента в дискретные моменты времени. Таким образом, дискретная автоматическая система реагирует только на дискретные значения ошибки и не реагирует на изменения внешнего возмущения и регулируемой величины автоматической системы между этими дискретными моментами времени.

Поскольку линейная часть автоматической системы линейна, то она может быть описана системой линейных дифференциальных уравнений, либо интегральным уравнением, либо уравнением передаточной функции.

Принцип работы вычислительного устройства заключается в том, что возложенные на него действия проводятся, как и в дискретных автоматических системах, в фиксированные моменты времени t = 0, T, 2T, 3T и т. д. В интервалах между решениями на выходе вычислительного устройства сохраняется то решение, которое было получено по окончании предыдущего интервала времени. Поэтому непрерывная функция f (t) не выходе вычислительного устройства заменяется ступенчатой зависимостью f (nT). Эта функция и прикладывается к линейной части автоматической системы.

В интервалах между решениями на выходе автоматической системы возможна также экстраполяция предыдущих решений по линейной или квадратичной зависимостям. Сохранение предыдущего решения соответствует использованию экстраполятора нулевого порядка.

Процесс превращения непрерывной функции в ступенчатую соответствует квантованию по времени. Эффект квантования по времени, осуществляемый простейшим импульсным элементом, вносит искажение в квантуемый сигнал, т. е. квантование сопряжено с потерей информации.

Таким образом, цифровая автоматическая система представляет собой соединение простейшего импульсного элемента и приведенной линейной части, состоящей формирующего устройства и непрерывной части.

Вследствие цифрового представления непрерывной величины в вычислительном устройстве имеет место также процессквантования по уровню. Последнее объясняется тем, что цифровое представление допускает только вполне определенные фиксированные уровни сигналов, отличающихся друг от друга на единицу младшего разряда.

При анализе цифровой автоматической системы необходимо решение разностных уравнений, устанавливающих связь между ее входом и выходом. Z- преобразование сводит это решение к алгебраическим операциям.

Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени в функции комплексного переменного р, в Z - преобразование функции дискретного времени (последовательность чисел) - в функции комплексного переменного z = enTp. Z- преобразование позволяет ввести понятие Z- передаточной функции, имеющей аналогию с понятием обычной передаточной функции для линейных автоматических систем. Последовательность чисел возникает при вычислительном процессе, выполняемом вычислительном устройстве, а также при дискретизации непрерывных функций времени.

Важно подчеркнуть, что Z - преобразование содержит информацию о соответствующей непрерывной функции времени только в дискретные моменты времени, поэтому оно определяет не саму непрерывную функцию, а ряд ее последовательных дискретных значений. Значит, одному Z - преобразованию может соответствовать много непрерывных функций, имеющих одинаковые значения в моменты времени nT, так как им будут соответствовать одни и те же дискретные функции. Поэтому при применении Z- преобразования информация о непрерывном сигнале за исключением дискретных моментов времени nT, полностью теряется. Другими словами, можно считать, что введение Z - преобразования соответствует включению на вход автоматической системы не существующего в реальной автоматической системе импульсного элемента.

Квантование по времени делает цифровую автоматическую систему дискретной, а квантование по уровню - нелинейной.

Передаточная функция цифровой автоматической системы содержит передаточную функцию линейной части и передаточную функцию цифровой (дискретной) части. В отличие от линейных автоматических систем, для которых передаточные функции составляются непосредственно по уравнениям элементов, в цифровых автоматических системах передаточные функции определяются по временной характеристике или передаточной функции линейной и дискретной части.

Линейная часть автоматической системы, на входе которой действует ступенчатая функция f (nT) носит название фильтра с фиксацией или фильтра с запоминанием. Для исследования таких автоматических систем может использоваться математический аппарат z - преобразования и его модификации. Разница будет заключаться только в получении исходной дискретной передаточной функции разомкнутой автоматической системы W (z), т. е. дискретной передаточной функции фильтра с фиксацией.

Дискретный элемент, каким является вычислительное устройство, генерирует импульсы, длительность которых равна периоду повторения Т. В связи с этим можно воспользоваться формулой.

Таким образом, отыскание передаточной функции разомкнутой цифровой автоматической системы с запоминанием сводится к отысканию переходной функции F0 (t) разомкнутой линейной части, переходу от нее к z - преобразованию, что может быть сделано по справочным таблицам, и умножению полученного результата на (z - 1)/z.

Приведенное выражение может быть представлено в другом виде. Переходная функция h0(t) является преобразованием Лапласа от передаточной функции линейной части W (р), деленной на р

В контуре автоматического регулирования с вычислительным устройством может содержатся элемент, вносящий запаздывание. Это запаздывание может относиться как к непрерывной части, так и к самому вычислительному устройству. В последнем случае запаздывание определяется программой работы вычислительного устройства и не может превышать периода повторения, т. е. 0 < t < T.

Учет запаздывания вне зависимости от того, относится ли оно к линейной части или к вычислительному устройству, осуществляется при определении дискретной передаточной функции разомкнутой автоматической системы W(z). В этом случае z- преобразование от переходной функции линейной части должно осуществляться в соответствии с выражением

Аналого-цифровой преобразователь осуществляет три операции: квантование сигналов по времени, квантование сигналов по уровню и кодирование. Квантование по времени заключается в измерении непрерывной величины в дискретные моменты времени и осуществляется импульсным элементом. На выходе импульсного элемента получается решетчатая функция. Период квантования по времени зависит от спектральной характеристики непрерывного сигнала.

Процесс квантования решетчатой функции по уровню можно представить как прохождение сигнала через нелинейный элемент с многоступенчатой релейной характеристикой. В результате квантования по уровню точно измеренные значения входного сигнала заменяются приближенными ближайшими дискретными значениями, т. е. процесс квантования по уровню равносилен округлению сигнала до целых значений. Шаг квантования характеризует точность выполнения преобразования в аналого-цифровом преобразователе (АЦП).

Учет квантования по уровню приводит рассмотрения нелинейных цифровых автоматических систем. Анализ автоматических систем упрощается, ecли элемент с многоступенчатой релейной характеристикой представить в виде параллельного соединения линейного усилитель­нoгo элемента с коэффициентом k = 1 и нелинейного элемента с характеристикой, равной разности между линейной и релейной характеристиками. В этом случае квантованный по уровню сигнал можно представить, как сумму точного сигнала х [nТ] и добавочного сигнала sx[nТ], ограниченного по величине половиной ступени квантования:

Прежде чем выходной сигнал поступит в вычислительное устройство, осуществляется его кодирование - преобразование в цифровой код. Если в вычислительном устройстве используется двоичная система счисления, то с помощью кодирующего устройства каждый импульс, поступающий с квантователя по уровню, преобразуется в цифровой код, соответствующий амплитуде этого импульса.

Двоичные числа представляются в виде последовательности импульсов, разделенных некоторым интервалом времени. Каждому разряду двоичного числа отводится свой интервал времени. Если в данном разряде присутствует единица, то в соответствующем интервале возникает импульс. При наличии нуля в данном разряде импульс отсутствует.

На вычислительное устройство числа могут поступать последовательным или параллельным кодом. В первом случае разряды числа идут последовательно друг за другом по одному каналу, как правило, начиная с младшего разряда. Одно число от другого отделяется специальным маркерным импульсом. при параллельном коде все разряды числа поступают одновременно (параллельно) по нескольким каналам, число которых равно числу разрядов (шине).

Так как при кодировании сигнала x [nT] в цифровой код не происходит изменения информации, то передаточная функция кодирующего устройства равна единице.

Вычислительное устройство можно рассматривать как дискретный преобразователь, преобразующий входную последовательность чисел в выходную в соответствии с заложенной программой вычислений, представляющей собой алгоритм обработки информации. Довольно широкий класс алгоритмов обработки информации может быть описан разностным уравнением вида

Чтобы записать это уравнение в операционной форме, необходимо подвергнуть его операции z - преобразованию его обе части.

Из этой формулы видно, что передаточная функция дискретного преобразования представляет собой отношение двух многочленов. При составлении структурной схемы дискретного преобразователя необходимо учитывать время прохождения сигнала через преобразователь, а также время, необходимое для кодирования. Величина запаздывания зависит от быстродействия вычислительного устройства. Для учета времени запаздывания в структурную схему вводится элемент запаздывания с передаточной функцией е-tp.

Цифро-аналоговый преобразователь служит для преобразования числового кода в ступенчатый сигнал. Для выполнения этой операции чаще всего используются резисторы, соединенные по определенной схеме, включение которых на источник эталонного напряжения uЭ . происходит в соответствии с декодируемым числом. Выходное напряжение uвых, снимаемое с нагрузки, пропорционально декодируемому числу.

Во многих случаях информация представляется в форме последовательности коротких импульсов, что неприменимо для непосредственного воздействия на объект регулирования из-за узкой полосы пропускания.

В общем случае напряжение на выходе определяется из выражения

Данные преобразователи обладают высоким быстродействием (время преобразования не превышает нескольких микросекунд), достаточной точностью (погрешность преобразования не превышает 0,1%), имеют сравнительно простую схему и обеспечивают пропорциональное преобразование кодов с числом разрядов до 10, что вполне достаточно для цифровых автоматических систем.

В таких автоматических системах после вычислительного устройства включается преобразователь в виде экстраполятора нулевого порядка - фиксаторы. Передаточная функция фиксатора определяется выражением

Устойчивость цифровых автоматических систем оценивается аналогично исследованию устойчивости дискретных автоматических систем.

Будем говорить, что цифровых автоматическая система устойчива тогда и только тогда, когда ее реакция на любое ограниченное внешнее воздействие ограничена. Если же реакция цифровой автоматической системы хотя бы на одно ограниченное внешнее воздействие не ограничена, то такая система неустойчива.

Воспользуемся этим определением устойчивости для установления условий устойчивости. Для этой цели рассмотрим уравнение цифровой системы

Предположим, что внешнее воздействие при любом значении аргумента ограничено. Тогда считают, что импульсная система будет устойчива, если ряд, стоящий в правой части выражения, сходится

Абсолютная сходимость дискрет временной характеристики является необходимым и достаточным условием устойчивости цифровых автоматических систем.

По определению дискретного преобразования Лапласа

Если действительные корни этого уравнения отрицательны, то получим

Из этого неравенства и абсолютной сходимости ряда дискрет временной характеристики следует, что передаточная функция W(p) устойчивой цифровой автоматической системы должна быть ограничена справа от мнимой оси и не должна иметь особых точек - полюсов справа от мнимой оси.

Непосредственное вычисление нулей и корней характеристического многочлена представляет собой весьма громоздкую операцию, которая при степени многочлена выше 4 может быть решена в редких частных случаях. Поэтому важно найти критерии устойчивости, которые позволяют установить факт устойчивости без решения характеристического многочлена.

Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица применяется для цифровых автоматических систем любого порядка. Если получен характеристический многочлен в виде:

Цифровая автоматическая система будет устойчива если все диагональные миноры определителя, составленного их коэффициентов характеристического полинома, положительны, т. е.

Для установления частотного критерия устойчивости рассмотрим знаменатель замкнутой автоматической системы

Числитель этой передаточной функции представляет собой характеристический многочлен замкнутой автоматической системы, а знаменатель - характеристический многочлен разомкнутой автоматической системы. Частотный критерий устойчивости может быть получен на основании сопоставления устойчивости замкнутой и разомкнутой цифровых систем.

Не вдаваясь в подробные математические выкладки отметим, что замкнутая цифровая автоматическая система будет устойчивой, если все нули и корни характеристического полинома будут находиться внутри единичного круга.

Как уже отмечалось, устойчивость дискретных и импульсных автоматических систем в значительной степени зависит от значения коэффициента усиления. В отличие от линейных автоматических систем первого и второго порядка, устойчивых при любых положительных значениях коэффициента усиления, цифровые автоматические системы первого и второго порядка всегда имеют предельный коэффициент усиления, превышение которого приводит к неустойчивости автоматической системы.

Качество регулирования цифровой автоматической системы оценивается после нахождения дискретной передаточной функции разомкнутой автоматической системы W(z). Основные положения по оценке динамической точности линейных автоматических систем справедливы и для цифровых автоматических систем. В частности, характер зависимости точности в установившемся динамическом режиме в цифровой автоматической системе от коэффициента усиления, порядка астатизма, разомкнутых компенсационных связей по задающему и возмущающему воздействиям, такой же, как в линейных автоматических системах. Однако наличие естественных нелинейностей оказывает существенное влияние на динамическую точность автоматических систем, вызывая дополнительные ошибки.

Если элемент сравнения имеет зону нечувствительности, то при ошибках автоматической системы, меньших этой зоны, автоматическая система оказывается разомкнутой и не отрабатывает задающее воздействие. Это приводит к тому, что возникает статическая ошибка, равная зоне нечувствительности. В тех случаях, когда звено с зоной нечувствительности включено после усилителя с коэффициентом усиления k, статическая ошибка автоматической системы уменьшается в kраз. При включении интегрирующего звена до элемента с зоной нечувствительности статическая ошибка не возникает. Это объясняется памятью интегрирующего звена, благодаря чему его выходная величина удерживается равной зоне нечувствительности.

Для этой цели может быть найдена дискретная передаточная функция замкнутой автоматической системы

и дискретная передаточная функция по ошибке

Условие применимости этих выражений сводится к тому, чтобы начальное значение переходной функции линейной части равнялось нулю. Это будет выполняться в том случае, когда степень числителя передаточной функции линейной части W0(p) меньше степени знаменателя.

На основании изложенного можно представить структурную схему цифровой автоматической системы

Качество переходных процессов в цифровых автоматических системах оценивается теми же показателями, что и в линейных автоматических системах, т. е. временем регулирования tp, перерегулированием, количеством колебаний и т. п. Однако эти показатели в цифровых автоматических системах в отличие от линейных зависят от величины входного воздействия. Период колебаний переходной функции в цифровых автоматических системах не является постоянной величиной и зависит от входного воздействия.

Имеется ряд методов определения показателей качества переходного процесса цифровой автоматической системы. Если нелинейные элементы, входящие в автоматическую систему, не оказывают определяющего влияния на ее динамические качества, то вначале в порядке первого приближения можно построить кривую переходного процесса как для линейной автоматической системы, не принимая во внимание нелинейности. Такое исследование возможно при наличии незначительной зоны нечувствительности, насыщения, неоднозначной характеристики с узкой петлей и т. п. Если автоматическая система имеет несущественные нелинейности и рассматривается как линеаризованная, то при определении переходной функции ступенчатое воздействие на входе автоматической системы должно быть ограничено по значению, чтобы звенья автоматической системы не входили в область насыщения.

Для построения переходного процесса автоматической системы с учетом нелинейностей могут быть использованы методы численного интегрирования, метод фазовых траекторий, частотные методы, метод пространства состояний и т. п.

Вне зависимости от сложности решаемых математических задач можно считать, что вычислительное устройство определяет разность между заданным и фактическим значением регулируемой величины, т. е. ошибку регулирования Dx= x - y. В функции этой ошибки вычислительное устройство должно прикладывать к объекту регулирования управляющее воздействие. В общем случае в контуре автоматического регулирования может присутствовать элемент чистого временного запаздывания, выделенный в отдельное звено с передаточной функцией е-tp.

Эффекты запоминания результатов вычисления учитываются отдельным звеном. Ключи, изображенные на схеме, генерируют импульсные функции в соответствии с периодом повторения вычислительного устройства. Проходя через запоминающее устройство, последовательность импульсных функций образует ступенчатую функцию.

Пусть непрерывная часть автоматической системы представляет собой идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией

и дискретная передаточная функция разомкнутой автоматической системы

а также изображение регулируемой величины

Цифровая коррекция весьма интересна с практической точки зрения повышения качества регулирования в силу конструктивной универсальности устройств и гибкости настройки. Решения задач коррекции предполагают модификации низкочастотного и среднечастотного фрагментов ЛАЧХ, как правило, с уменьшением частоты среза wср. Известно, что в этом диапазоне системы с вычислительным устройством и их ЛАЧХ - L(l) не отличаются существенно по свойствам от непрерывных аналогов. Поэтому методика синтеза коррекции едина для цифровых и непрерывных систем. Проектирование же дискретной коррекции ведется в четыре этапа.

Синтез передаточной функции непрерывного корректирующего устройства Wк(р) по методикам разработанным для непрерывных систем. Переход от непрерывной передаточной функции корректирующего устройства Wк(р) к эквивалентной дискретной Wк(z) посредствам последовательных переходов по изображениям. Составление структурной схемы дискретной передаточной функции Wк(z), оптимизированной при реализации по объёму памяти, быстродействию или для контроля промежуточных фазовых координат системы. Написание программы для вычислительного устройства (периферийный контроллер, микроЭВМ, ЭВМ, цифровой сигнальный процессор) или разработка схемы на цифровых микросхемах.

Заметим, что из непрерывной передаточной функции можно получить бесконечное количество вариантов дискретной передаточной функции, при разных периодах дискретизации вычислительного устройства. Обычно частоту дискретизации fц=1/Tц выбирают в 6..10 раз больше частоты среза fср разомкнутой системы. Первоначально частоту дискретизации выбирают большой (fц=10 ... 30fср), за тем, за две три попытки стремятся ее уменьшить. При низких частотах дискретизации качество переходного процесса ухудшается настолько (в сравнении с непрерывной коррекцией), что платить за это понижением производительности вычислительного устройства не представляется возможным. Соответствующую передаточную функцию Wк(z) используют в дальнейшем.

При синтезе передаточной функции Wк(р) или Wк(z) необходимо, что бы степень числителя Wк(р) не была больше степени знаменателя или свободный коэффициент a0 в знаменателе передаточной функции Wк(z) не был нулевым, иначе невозможно реализовать программу. Если требуется обратный переход от Wк(z)НЧ к Wк(р)НЧ следует воспользоваться обратной формулой билинейного преобразования.