МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ им.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
«РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЁСТКОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ»
Направление подготовки «Строительство»
Очная форма обучения
Нальчик 2011
УДК 539.3/.6
ББК 30.121
Рецензент:
Кандидат тех. наук, доцент кафедры
строительных конструкций и сооружений Кабардино-Балкарской
государственной сельскохозяйственной академии
Барагунова материалов. Пример выполнения курсовой работы «Расчёты на прочность, жёсткость и устойчивость» – Нальчик: Каб – Балк. ун-т, 2010. -!!! с.
Издание охватывает основные разделы курса «Сопротивление материалов», встречающиеся при решении практических вопросов расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость. Каждая тематическая часть иллюстрируется примером выполнения задач.
Предназначено для студентов очной формы обучения направления подготовки «Строительство». Может быть использовано инженерами, занимающимися проектированием строительных конструкций.
УДК 539.3/.6
ББК 30.121
©
© Кабардино-Балкарский государственный университет им.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основной целью инженера является увеличение надёжности применяемых конструкций и достижение большей их экономичности, что возможно только при достаточно полном освоении курса дисциплины.
Курс сопротивления материалов играет важную роль в обеспечении фундаментальной базы профессиональной подготовки будущих специалистов в области строительства, вследствие чего Госстандартами высшего профессионального образования для его изучения отводится значительное время.
Данное издание предназначено для оказания конкретной помощи при выполнении курсовой работы, которая содержит 6 задач по тематике основных разделов курса:
10. Подбор сечения стальной балки при прямом поперечном изгибе.
11. Проверка прочности деревянной балки при прямом поперечном изгибе.
12. Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе.
13. Прямой поперечный изгиб балки.
16. Статически неопределимая балка.
20. Расчёт стойки на устойчивость по допускаемым напряжениям.
Издание составлено с учётом опыта преподавания дисциплины «Сопротивление материалов» и организации самостоятельной работы студентов на инженерных специальностях Кабардино-Балкарского государственного университета.
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
1.Каждый студент выполняет в течение семестра курсовую работу.
2.Исходные данные к задачам выбираются согласно индивидуальному шифру, состоящему из двух чисел. По первому числу берутся номера схем, чертежей и т. д., по второму – соответствующие количественные данные и единицы их измерений.
3.Курсовая работа должна быть оформлена на листах формата А4 согласно предлагаемому примеру.
4. Схемы, чертежи, эпюры необходимо выполнять карандашом с соблюдением масштабных соотношений, с применением чертёжных инструментов.
5.В начале каждой задачи должны быть приведены её номер, текст условия, расчётная схема и таблица исходных данных. Далее следует текст решения и ответы на поставленные вопросы. Все выкладки должны представлять собой стройную логическую последовательность и сопровождаться лаконичным пояснительным текстом. При этом не допускается сокращение слов кроме общепринятых. Не следует копировать пояснительный текст примеров решений. В большинстве случаев достаточно кратких пояснений или приведения названий вычисляемых величин.
6.Курсовая работа принимается с защитой и выставлением оценки. При этом учитывается качество выполнения задания, теоретические знания студента по теме, его умение и навыки решения конкретных практических задач. При неудовлетворительной защите работа не засчитывается, студенту предлагается повторная защита или выдаётся другое задание для выполнения вновь.
11.Работа считается завершённой лишь в том случае, если она зачтена преподавателем и об этом объявлено студенту.
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М. БЕРБЕКОВА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ «РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ, ЖЁСТКОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ»
Направление подготовки «Строительство» 2 курс, 1 группа, ОФО Шифр: 31 – 5 Дата сдачи _________
Курсовая работа зачтена с оценкой «______________» _________________ подпись Нальчик – 2011 |
Задача 10
ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СТАЛЬНОЙ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ
ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу балок.
Требуется подобрать стальной прокатный двутавр из расчёта на прочность по первому предельному состоянию.
Исходные данные
Шифр | a м | c м | FкН | MкНм | q кН/м | R МПа | γc |
31-5 | 2,3 | 1,0 | 22 | 45 | 12 | 320 | 0,90 |
Расчётная схема
Решение
Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для подбора сечения балки (рис. 1) потребуется максимальное значение изгибающего момента в сечениях балки.
Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Если при определении внутренних сил рассматривать только левые отсечённые части, опорные реакции не понадобятся. Поэтому не будем их находить и приступим к определению поперечных сил Q и изгибающих моментов Мх в сечениях балки с помощью метода сечений.
Разобьём балку по длине на 2 участка и обозначим их. Рассмотрим каждый участок отдельно. Проведём внутри них произвольные сечения 1-1, 2-2.
1 участок. z 
[0; с]
Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 2). Покажем оси y, z, переменное расстояние z, точку С, изгибающий момент Мх. Для изгибающего момента здесь и далее избирается положительное направление, что позволяет получить ответы, учитывающие установленные правила знаков. Они заключаются в том что, положительные изгибающие моменты растягивают нижние волокна.
Cоставим уравнение равновесия и найдём изгибающий момент
, 
, 
При составлении этого уравнения момент силы относительно точки С, направленный против часовой стрелке принят со знаком плюс. Мог быть принят и знак минус, и был бы получен тот же результат. Изгибающий момент в сечениях является линейной функцией z, поэтому потребуются как минимум две точки для построения эпюры. Найдём значения на концах участка
, 
Строим эпюру изгибающих моментов первого участка в виде прямой линии.
2 участок. z [0; a]
Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 3). Укажем на схеме оси y, z, точку D, изгибающий момент М. Строим эпюру для этого участка.
Воспользуемся уравнением равновесия для определения изгибающего момента
, F (c + z) + M + Mx = 0,
Mx = – F·(c+z) – M = – 22 (1+z) – 45 = – 67 – 22z.
Полученный результат свидетельствует, что эпюра изгибающих моментов на этом участке является прямой линией, поэтому необходимо иметь две её точки. Очевидно, что две точки целесообразно иметь на концах участка.
.
По результатам вычислений построена эпюра M, показанная на рис. 1.
Теперь перейдём к подбору сечения. Опасным является сечение с максимальным по модулю изгибающим моментом Мmax = 117,6 кНм. Требующийся номер двутавра найдётся из условия прочности по предельным состояниям, которое имеет вид
(1)
Определим осевой момент сопротивления поперечного сечения из (1)
.
По таблице сортамента двутавров наиболее подходящим является №30 с осевым моментом сопротивления W = 472 см3.
Задача 11
ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ДЕРЕВЯННОЙ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ
ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу деревянных балок прямоугольного поперечного сечения.
Требуется проверить прочность по первому предельному состоянию.
Исходные данные
Шифр |
м | a м | c м | bсм | hсм | FкН | q кН/м | R МПа | Rs МПа | γc |
31-5 | 2,0 | 1,2 | 0,6 | 11 | 20 | 13 | 11 | 16 | 1,7 | 0,95 |
Расчётная схема
Решение
Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки (рис. 1) потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.
Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении внутренних сил понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Целесообразно сначала составить такое уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение
Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия
Далее приступаем к определению внутренних сил Q и М в сечениях балки с помощью метода сечений. Разобьём балку по длине на 3 участка и обозначим их. Рассмотрим каждый участок отдельно. Проведём внутри них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3.
1 участок. z [0; а]
Для этого участка (рис. 2) целесообразно рассмотреть левую отсечённую часть балки, так как к ней приложено меньше нагрузок, и это повлечёт меньший объём вычислений. Покажем оси y, z переменное расстояние z, точку С, поперечную силу Q, изгибающий момент М. Для внутренних сил здесь и далее избираются положительные направления, что позволяет получить ответы, учитывающие установленные правила знаков. Получим их из уравнений равновесия. Первое из них даёт поперечную силу
, 
Эта величина постоянная, т. е. не зависит от z, поэтому на первом участке эпюра Q является горизонтальной прямой линией.
Cоставим второе уравнение равновесия и найдём изгибающий момент
, 
, 
Изгибающий момент в сечениях является линейной функцией z, поэтому потребуются как минимум две точки для построения эпюры. Найдём значения на концах участка
По этим результатам строим эпюру изгибающих моментов первого участка в виде прямой линии.
2 участок. z [0; l]
Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 3). Укажем на схеме оси y, z, точку D, поперечную силу Q, изгибающий момент М.
Поперечную силу находим из уравнения равновесия
Эпюра Q на втором участке является горизонтальной прямой линией.
Воспользуемся уравнением равновесия для определения изгибающего момента
, 
Поскольку эпюра является прямолинейной, найдём значения лишь на концах участка
3 участок. z [0; с]
Для этого участка целесообразнее использовать правую отсечённую часть. Указываем на схеме оси y, z, точку Е, поперечную силу Q, изгибающий момент М.
Составим уравнение равновесия и определим из него поперечную силу.
, 
(1)
Получена линейная функция, поэтому находим два значения поперечной силы
|
Теперь найдём изгибающие моменты.
В третьем участке эпюра оказалась криволинейной (квадратная парабола). Поэтому вычисления проведены для трёх точек.
По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.
Перейдём к проверке прочности балки. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 10,49 кНм. Условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид
(1)
где W – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для прямоугольника
Определим сечения, соответствующие такому значению момента сопротивления. Подстановка чисел приводит условие (1) к неравенству
Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.
У дерева расчётное сопротивление на скалывание незначительное, поэтому требуется отдельная проверка прочности по касательным напряжениям. В этом случае наиболее опасным является сечение с наибольшей поперечной силой. Для прямоугольного поперечного сечения соответствующее условие записывается в виде
(2)
Численные подстановки в (2) дают
Очевидно, что условие прочности выполняется.
По итогам двух проверок приходим к общему выводу, что прочность балки в целом обеспечена.
Задача 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЁМНОСТИ ЧУГУННОЙ БАЛКИ
ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу чугунных балок.
Требуется определить грузоподъёмность из расчёта на прочность по первому предельному состоянию.
Исходные данные
Второе число шифра |
м | a м | b cм | h cм | c cм | Rр МПа | Rс МПа | γc |
5 | 1,7 | 0,8 | 12 | 8 | 3 | 60 | 160 | 0,9 |
Расчётная схема
Решение
Заданы расчётные сопротивления чугуна на растяжение и сжатие и геометрические размеры балки (рис. 1). Необходимо определить грузоподъёмность балки, т. е. установить максимальные расчётные значения нагрузок. Для их вычисления воспользуемся условиями прочности балки из хрупкого материала, имеющего разные расчётные сопротивления на растяжение (Rр) и сжатие (Rc).
(1)
(2)
Искомые расчётные нагрузки должны удовлетворять обоим условиям прочности.
Опасным является сечение с максимальным значением изгибающего момента Мmax. Для его определения необходимо построить эпюру изгибающих моментов. Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении изгибающих моментов понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Сначала составим уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение
Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия
Поскольку к балке не приложена распределённая нагрузка, для построения эпюры достаточно вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях. Изгибающий момент в сечении А и во всех сечениях консольной части
По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.
Перейдём к определению осевых моментов сопротивления для растянутых и сжатых волокон заданного поперечного сечения балки. Данное сечение состоит из двух прямоугольников (рис. 1). На более крупном рисунке (рис. 2) обозначим их номерами 1 и 2, наметим центры тяжести для каждого соответственно: C1, C2. Проведём через них координатные оси, 
собственные для каждого элемента и обозначим их: x1, y, x2. Ввиду симметричности фигуры, вертикальные центральные оси обоих элементов совпадают и такая общая ось является центральной для всего сечения. По этой причине введена только одна ось y – ов. Нанесём на чертёж основные размеры.
Поскольку центр тяжести сечения лежит на оси y - ов, нет необходимости в отыскании его координаты хС. Для вычисления второй координаты yC проведём вспомогательную ось x0.
Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.
Прямоугольник 1. Площадь сечения
,
координата центра тяжести С1 в системе осей x0y
Осевой момент инерции
Прямоугольник 2. При аналогичных обозначениях
Общая площадь сечения
A = A1 + A2 = 24 + 54 = 78 см2.
Координата центра тяжести сечения
По этим значениям на рис. 2 намечаем точку С и через неё проводим центральную ось х. Ввиду того, что ось у – ов является осью симметрии, оси х, у являются главными осями инерции.
Расстояния между параллельными горизонтальными осями х - х1, х - х2
Главный осевой момент инерции относительно центральной оси
Осевые моменты сопротивления определяются путём деления Jx на расстояния от центральной оси х до крайних растянутых и сжатых волокон соответственно
Условие прочности по растягивающим напряжениям (1) принимает вид
Отсюда
Аналогичные вычисления проведём по прочности сжатых волокон
Меньшее из двух значений силы является грузоподъёмностью или несущей способностью балки
F = 15,49 кН.
При таком значении силы сосредоточенный момент, приложенный к балке, равен
M = Fa = 15,49 · 0,8 = 12,39 кНм.
Задача 13
ПРЯМОЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛКИ
Заданы размер l, нормативные нагрузки Fn, Mn, qn, предел текучести материала sт и коэффициенты надёжности γfF, γfM, γfq, γm, γc, γn.
Требуется:
1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.
2. Из расчёта по предельным состояниям подобрать прокатный двутавр, размеры поперечного сечения в виде круга и прямоугольника с заданным соотношением сторон h/b.
3. По максимальному значению поперечной силы определить касательные напряжения на нейтральной оси и проверить прочность.
4. Сравнить варианты балки по расходу материала и выбрать наиболее оптимальное сечение.
Исходные данные
Второе число шифра |
м | h/b | FnкН | MnкНм | qn кН/м | sт МПа | γfF | γfM | γfq | γm | γc | γn |
5 | 2,6 | 1,7 | 12 | 50 | 13 | 360 | 1,15 | 1,10 | 1,35 | 1,15 | 0,9 | 1,0 |
Расчётная схема
Решение
Заданы нормативные значения сопротивления материала и нагрузок. Расчётные значения нагрузок получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:
F = Fn γfF = 12 · 1,15 = 13,8 кН,
M = Mn γfM = 50 · 1,2 = 60 кНм,
q = qn γfq = 13 · 1,35 = 17,55 кН/м.
Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т. е. R = sT = 360 МПа. Расчётное сопротивление материала будет
Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении внутренних сил понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Целесообразно сначала составить такое уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку В и составим уравнение
, 
Разделим все слагаемые на l и найдём 
Составим второе уравнение равновесия
, 
Отсюда
= - 13,8 + 2·17,55·2,6 – 48,55 = 28,91 кН.
Далее приступаем к определению внутренних сил Q и М в сечениях балки с помощью метода сечений. Разобьём балку по длине на 3 участка и обозначим их. Рассмотрим каждый участок отдельно. Проведём внутри них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3.
1 участок. z [0; 
]
Целесообразно рассмотреть левую отсечённую часть балки (рис. 2), так как к ней приложено меньше нагрузок, и это повлечёт меньший объём вычислений. Покажем оси y, z, переменное расстояние z, точку С, поперечную силу Q, изгибающий момент М. Для внутренних сил здесь и далее избираются положительные направления, что позволяет получить ответы, учитывающие установленные правила знаков. Они заключаются в том что, положительные поперечные силы создают момент по часовой стрелке относительно отсечённой части, положительные изгибающие моменты растягивают нижние волокна. Получим их из уравнений равновесия. Первое из них даёт поперечную силу
, 
Эта величина постоянная, т. е. не зависит от z, поэтому на первом участке эпюра Q является горизонтальной прямой линией.
Cоставим второе уравнение равновесия и найдём изгибающий момент
, 
, 
При составлении этого уравнения момент силы относительно точки С, направленный по часовой стрелке принят со знаком плюс. Но это вовсе не обязательно. Мог быть принят и знак минус, и был бы получен тот же результат. Изгибающий момент в сечениях является линейной функцией z, поэтому потребуются как минимум две точки для построения эпюры. Найдём значения на концах участка
, 
По этим результатам строим эпюру изгибающих моментов первого участка в виде прямой линии.
2 участок. z [0; l]
Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 3). Укажем на схеме оси y, z, точку D, поперечную силу Q, изгибающий момент М.
Поперечную силу находим из уравнения равновесия
.
Поперечная сила является линейной функцией координаты сечения. Необходимо находить значения в двух точках
Строим эпюру для этого участка.
Воспользуемся уравнением равновесия для определения изгибающего момента
, 
Полученный результат свидетельствует, что эпюра изгибающих моментов на этом участке является криволинейной, поэтому необходимо иметь три её точки. Очевидно, что две точки целесообразно иметь на концах участка. Положение же третьей точки не совпадает с серединой участка и должно быть установлено специально. Дело в том, что поперечная сила в некотором сечении этого участка обращается в нуль, и из этого следует, что изгибающий момент в нём является экстремумом функции изгибающего момента. В этом месте поперечная сила меняет знак с плюса на минус, поэтому экстремум является конкретно максимумом. Чтобы установить положение этого сечения, приравняем поперечную силу к нулю
.
Отсюда имеем
Подставим это значение в (2) и найдём максимум функции изгибающего момента на этом участке
кНм.
Для построения эпюры находим ещё изгибающие моменты в концевых сечениях
,
Строим соответствующую эпюру по трём значениям в виде кривой линии.
3 участок. z [0; l]
Для этого участка целесообразнее использовать правую отсечённую часть (рис. 4). Указываем на схеме оси y, z, точку Е, поперечную силу Q, изгибающий момент М.
Составим уравнение равновесия и определим из него поперечную силу.
, Q – qz + R2 = 0, 
(1)
Получена линейная функция, поэтому находим два значения поперечной силы
|
Второе значение совпадает с результатом для данного сечения, полученным во втором участке.
Теперь найдём изгибающие моменты.
, 
,
(2)
Найдём три точки эпюры.
По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.
Теперь перейдём к подбору сечений. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 127,1 кНм. Требующиеся размеры поперечных сечений и номер двутавра найдутся из условия прочности, которое имеет вид
(1)
где W – искомый осевой момент сопротивления поперечного сечения. Определим его из (1)
.
Определим сечения, соответствующие такому значению момента сопротивления.
Двутавр.
По таблице сортамента наиболее подходящим является двутавр №30 с осевым моментом сопротивления W = 472 см3, осевым моментом инерции J = 7080 см4, площадью сечения АД = 46,5 см2, статическим моментом полусечения S = 268 см3, с толщиной стенки d = 0,65 см.
Проверим прочность по касательным напряжениям. В сечении с наибольшей поперечной силой должно выполняться условие
(2)
Здесь Rs – расчётное сопротивление материала балки при сдвиге, b – ширина сечения на уровне нейтрального слоя, т. е. b = d = 0,65 см. Для стали в данной балке
Rs= 0,6R = 0,6·313 = 187,8 МПа.
Подставляя численные значения в (2), получим
Очевидно, что условие прочности выполняется.
Прямоугольник.
Осевой момент сопротивления прямоугольника вычисляется по формуле
Приравнивая его к найденному выше значению, находим
Высота сечения и его площадь составляют
h = 1,7 · 9,78 = 16,6 см, Aп = 9,78 · 16,6 = 162,6 см2.
Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид
(3)
Численные подстановки в (3) дают
Условие прочности выполняется.
Круг.
Аналогично находим диаметр и площадь сечения.
Проверим условие прочности по касательным напряжениям
(4)
Подставляя числа, имеем
Условие прочности (4) выполняется.
Соотношения между найденными площадями имеют вид
АД :Ап : Ак = 1 : 3,5 : 4,66.
Поскольку расход материала прямо зависит от площади поперечного сечения балки, отсюда следует, что балка из двутавра является наиболее оптимальной. Её площадь сечения многократно меньше, чем в остальных случаях.
Задача 16
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ БАЛКА
Для заданной статически неопределимой балки из стального прокатного двутавра.
Требуется:
1.Определить степень статической неопределённости.
2.Раскрыть статическую неопределённость с помощью метода сил.
3.Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.
4.Вычислить прогибы на границах и в серединах участков.
5.Построить кривую изогнутой оси балки по результатам вычислений и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов.
Модуль упругости материала Е = 200 ГПа.
Исходные данные
Второе число шифра |
м | a м | b м | FкН | MкНм | q кН/м | [σ]МПа |
5 | 3,2 | 1,8 | 1,0 | 90 | 160 | 60 | 250 |
Расчётная схема
Решение
Данная балка (рис. 1а) статически неопределима, потому что количество опорных реакций равно четырём (три – в заделке, одна – в шарнирно-подвижной опоре), а уравнений равновесия – три. Степень статической неопределённости, таким образом, равна единице. Будем раскрывать статическую неопределённость с помощью метода сил. Соответствующее каноническое уравнение имеет вид
(1)
Здесь X1 - реакция отбрасываемой связи. В качестве такой связи примем шарнирно неподвижную опору. Основная система принимает вид геометрически неизменяемой консольной балки с защемлённым правым концом (рис.1б).
Прикладываем к основной системе заданную нагрузку и неизвестную опорную реакцию Х1 в отброшенной связи и получаем эквивалентную систему рис. 1в. Уравнение (1) является математическим выражением факта, что перемещение в направлении неизвестной силы X1 должно равняться нулю, поскольку в месте её приложения на самом деле имеется опора, не позволяющая балке перемещаться.
Для решения уравнения необходимо сначала найти коэффициент и свободный член. Они представляют собой перемещения в направлении силы X1 от единичной силы 
и нагрузок. Отсюда следует, что необходимо построить эпюры изгибающих моментов от этих сил. Влияние продольных и поперечных сил на величину перемещений весьма незначительное, поэтому они не учитываются в вычислениях.
Эпюры изгибающих моментов построены по их значениям в отдельных характерных точках балки A, B, C, D, G, H, K. Они вычисляются с помощью метода сечений несложным путём и поэтому соответствующие выкладки здесь не приводятся. Результатом действий являются расчётные схемы 1г, 1е и эпюры, соответствующие им 1д, 1ж. В последних соблюдается правило построения эпюр, по которому ординаты откладываются со стороны растянутых волокон.
Теперь приступим к определению перемещений, включённых в уравнение (1). По правилу Верещагина
.
По формуле Симпсона
Подстановка в уравнение (1) и сокращение на EJ даёт
42,67X= 0,
Решая, получим
X1 = 144,2 кН.
Знак плюс в ответе показывает, что направление силы Х1 совпадает с изображённым на рис. 1в.
Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях проведём вычисления для сечений, отмеченных на рис.1а.
QA=-F = -90 кН, QC = - F - q·b = ·1 = -150 кН,
QD= - F - q·b + X1= ·1 + 144,2 = -5,8 кН, QG = QH = QK = -5,8 кН.
Для вычисления изгибающих моментов воспользуемся их ранее вычисленными значениями и принципом независимости действия сил, т. е. формулой
M = MF + 
X1.
В соответствии с ней
MA= 0, MB = - 52,5 кНм, MC= MD = -120 кНм,
MG = -390 + 1,8· 144,2 = 130,4 кНм, MH = - 230 + 1,8·144,2 = 29,6 кНм,
MK = - 710 + 5·144,2 = 11,1 кНм.
По результатам вычислений построены эпюры Q и M, показанные на рис. 1з, 1и.
Теперь перейдём к подбору сечения. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 130,4 кНм. Требующийся номер двутавра найдётся из условия прочности допускаемым напряжениям, которое имеет вид
(2)
где W – искомый осевой момент сопротивления поперечного сечения. Определим его из (2)
.
Подберём двутавр, соответствующий такому значению момента сопротивления.
По таблице сортамента наиболее подходящим является двутавр №33 с осевым моментом сопротивления W = 597 см3, осевым моментом инерции J = 9840 см4.
Для определения угловых и линейных перемещений сечений воспользуемся методом начальных параметров. Введём координатную систему zy c началом на левом конце балки. Общие формулы для определения перемещений имеют вид
(3)
(4)
где θ(z), v(z) - угол поворота и прогиб произвольного сечения балки, θ0, v0 - угол поворота и прогиб в начале координат. Начало координат здесь совпадает с со свободным концом балки. Поэтому θ0 и v0 являются неизвестными величинами. М, F, q - нагрузки, причем положительными являются: момент по часовой стрелке, сосредоточенная сила, направленная вверх, равномерно распределённая нагрузка, направленная вверх, zМ, zF - абсциссы точек приложения момента и сосредоточенной силы, zq - абсцисса начала распределенной нагрузки. В формулу включаются лишь те нагрузки, которые находятся левее сечения, для которого вычисляются перемещения. Для непосредственного пользования формулами (3), (4) необходимо определить θ0 и v0. Для этого надо воспользоваться тем, что правый конец балки защемлён, и его угол поворота, вычисляемый по (3) при z = a + b + = 6 м, должен равняться нулю. Отсюда следует
При составлении уравнения слагаемые для сосредоточенной силы и распределённой нагрузки учтены дважды. В первом случае учтено, что левее рассматриваемого сечения действуют две силы: F и опорная реакция X1. Во втором случае учтено, что распределённая нагрузка q прерывается в точке С, расположенной левее рассматриваемого сечения K, что не допускается в методе начальных параметров. Поэтому распределённая нагрузка продлена до конца балки (см. пунктир на рис. 1а), и для сохранения эквивалентности расчётной схемы к ней приложена нагрузка противоположного направления. При подстановке в формулу числа преобразованы так, чтобы единицы измерения совпадали с основными единицами системы СИ. Знак плюс в ответе означает, что левый конец балки поворачивается против часовой стрелки.
Второй параметр v0 найдётся из условия, что прогиб в точке С над опорой также равен нулю
(5)
Отсюда получим
Теперь формулы метода начальных параметров (3), (4) готовы для вычислений перемещений в любой точке балки. Необходимо лишь помнить, что в их правых частях должны учитываться только нагрузки, расположенные левее рассматриваемого сечения.
Результаты проведённых вычислений для прогибов сведены в таблицу
z, м | 0,0 | 0,5 | 1,0 | 1,9 | 2,8 | 4,4 | 6,0 |
v, см | -1,00 | -0,47 | 0,00 | 0,48 | 0,45 | 0,09 | 0,00 |
По этим данным построена кривая изогнутой оси, показанная на рис. 1к. Отметим, что кривая направлена выпуклостью вверх на участке балки, где изгибающий момент отрицательный, и - вниз, где изгибающий момент положительный. На правом конце касательная к кривой горизонтальна, что соответствует равенству нулю угла поворота сечения балки в защемлении.
Задача 20
РАСЧЁТ СТОЙКИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Стальная стойка (рис.1) имеет в главных плоскостях zx и zy разные условия закрепления концов (рис. 2) и одну из форм поперечного сечения, изображенных на рис. 3. Модуль упругости материала Е = 200 ГПа. Определить из расчёта на устойчивость, используя коэффициент снижения основного допускаемого напряжения j, допускаемое значение силы [F]; вычислить коэффициент запаса по устойчивости.
Расчётная схема
Исходные данные
a, b – параметры формулы Ясинского
Второе число шифра | Форма попереч-ного сечения | Марка стали | sт МПа | sпц МПа | nт | a МПа | b МПа |
5 | V | Ст4 | 260 | 220 | 2,0 | 328 | 1,11 |
Первое число шифра | Схема закрепления в плоскости | l м | |
zx | zy | ||
31 | 5 | 3 | 2,5 |
Решение
Допускаемое значение силы должно удовлетворять условию устойчивости
σ = 
Отсюда
F = [F] = 
[σ] A.
Из таблицы: «Швеллеры стальные горячекатаные (ГОСТ 8240 – 89)» возьмём данные
А1 = 7,51 см2, J
= 8,7 см4, J
= 48,6 см4, b = 36 мм, z0= 1,24 см.
Вычислим геометрические характеристики составного сечения.
Площадь сечения
A = 2 A1 = 2 · 7,51 =15,02 см2.
Расстояние между параллельными осями x и x1
a = 1,2 / 2 + 3,6 – 1,24 = 2,96 см.
Осевые моменты инерции
Jx = 2(J + a2 A1) = 2(8,7 + 2,962 · 7,51) = 149 см4, Jy = 2 J = 2·48,6 = 97,2 см4.
Радиусы инерции
ix = 
см, iy = 
см.
Коэффициенты приведения длины определяются в зависимости от условий закрепления концов стержня
μx = 2, μy = 0,7.
В этих обозначениях индексы соответствуют названиям осей, вокруг которых поворачиваются поперечные сечения стержня при потере устойчивости и искривлении продольной оси.
Из-за неодинаковых условий закреплений концов гибкость стержня в двух плоскостях разная
λx = 
λy = 
Для расчётов на устойчивость имеет значение лишь большая из них
λmax = λx = λ = 158,7.
Фрагмент таблицы для коэффициента снижения основного допускаемого напряжения j для стали Ст4 имеет вид
Ст4 | |
λ |
|
· · · | · · · |
150 | 0,32 |
160 | 0,29 |
· · · | · · · |
Отсюда по линейной интерполяции для гибкости 158,7 получим
Вычислим основное допускаемое напряжение на простое сжатие
Тогда допускаемая нагрузка имеет значение
Теперь найдём коэффициент запаса по устойчивости
nу = 
.
Формула критического напряжения зависит от свойств материала и гибкости стержня. Поэтому предварительно вычислим параметры гибкости для заданного материала
.
Расчётное значение гибкости λ = 158,7 больше λ2. Поэтому критическое напряжение вычисляется по формуле Эйлера
Фактическое напряжение в поперечном сечении стержня
Коэффициент запаса по устойчивости
nу = 
ЛИТЕРАТУРА
1.Александров материалов - М.: Высшая школа, 2000. –560 с.
2. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - М.: изд. Ассоц. строит. вузов, 1995. –572 с.
3. и др. Сборник задач по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1984. –407 с.
4.Дарков материалов. М., 19c.
5., , Руководство к решению задач по сопротивлению материалов - М.: Высшая школа, 1999. –592 с.
6. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов –М: Высшая школа, 1985. –399 с.
7.Саргсян материалов, теории упругости и пластичности. М., 20с.
8.Сопротивление материалов. Под ред. М., 20с.
9.Феодосьев материалов. - М.: изд. МГТУ, 19с.
10., , Трошин материалов – М: Изд. МАИ, 2000. –616 с.
11.Сайт кафедры теоретической и прикладной механики:
http://kafedratpm. *****
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие………………………………………………………….. | 3 |
Общие указания по выполнению заданий…………………………. | 4 |
Задача 5.Растяжение-сжатие упруго-пластической статически неопределимой стержневой системы ………………………………… Задача 10.Подбор сечения стальной балки при прямом поперечном изгибе…………………………………………………… | 6 |
Задача 11.Проверка прочности деревянной балки при прямом поперечном изгибе……………………………………………………. | 11 |
Задача 12.Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе……………………………….. | 17 |
Задача 13.Прямой поперечный изгиб балки……………………… | 23 |
Задача 16.Статически неопределимая балка……………………… | 44 |
Задача 19.Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении. | 59 |
Литература…………………………………………………………….. | 83 |
