Задания для практических занятий по дисциплине “Математический анализ”

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФИЛИАЛ МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ИНДУСТРИАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ВЯЗЬМЕ

Утверждено

На заседании кафедры ЕНТД

Протокол № ___ от ________

Зав. кафедрой ЕНТД

__________//

“__” ____________ 2006 г.

Задания для практических занятий

по дисциплине “Математический анализ”

(второй семестр)

Для специальностей:

080801 “Прикладная информатика в экономике”

080109 “Бухгалтерский учёт, анализ и аудит”

080507 “Менеджмент организации”

Отделение: очное.

Составитель:

2006

Автор методического пособия: , старший преподаватель.

Рецензенты:

к. ф.-м. н. Н.

к. п.н. ,

Тираж – 50 экземпляров.

Издательство – РИЦ ВФ МГИУ

Место издания – а.

Содержание.

Страница

Пояснительная записка _________________________________ 4

План практических занятий ______________________________ 5

Занятие 1 _____________________________________________ 6

Занятие 2 _____________________________________________ 7

Занятие 3 _____________________________________________ 8

Занятие 4 _____________________________________________ 9

Занятие 5 _____________________________________________ 11

Занятие 6 _____________________________________________ 12

Занятие 7 _____________________________________________ 14

Занятие 8 _____________________________________________ 15

Занятие 9 _____________________________________________ 17

Занятие 10 ____________________________________________ 18

Занятие 11 ____________________________________________ 20

Занятие 12 ____________________________________________ 21

Занятие 13 ____________________________________________ 22

Занятие 14 ____________________________________________ 22

Занятие 15 ____________________________________________ 23

Занятие 16 ____________________________________________ 23

Литература ___________________________________________ 24

Пояснительная записка

Настоящее пособие предназначено для студентов очного всех специальностей отделения, изучающих дисциплину “Математический анализ”.

Курс математического анализа – один из базовых курсов, на которые сегодня опираются общепрофессиональные дисциплины и дисциплины специализации. Математические науки играют огромную роль в образовании современного высококлассного специалиста в технических областях, предоставляя ему аппарат исследования, дисциплинируя, приучая к строгим логическим рассуждениям. Поскольку язык и методы математики широко используются при современном преподавании всех естественнонаучных и технических дисциплин, математика изучается с первого семестра в любом высшем техническом учебном заведении, и на неё выделяется значительная часть бюджета времени студента.

Математический анализ занимает ведущее место среди всех математических дисциплин, изучаемых в технических институтах. Это связано, во-первых, с широким кругом вопросов, охватываемых этой дисциплиной, во-вторых, с тесной связью её практически со всеми изучаемыми в высшей школе предметами математического цикла и с некоторыми другими естественнонаучными дисциплинами (такими, как физика).

Предлагаемая рабочая программа составлена в соответствии с общей программой по математике для инженерно-технических специальностей ВУЗов Российской Федерации. Курс математического анализа, отражённый в данной программе, содержит в себе следующие основные части: элементы теории множеств, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, а также теорию рядов.

Цель изучения курса математического анализа – дать студентам представление о классических методах математического анализа и их применении к решению прикладных и конкретных технических задач; привить необходимую математическую культуру и развить технику математических вычислений; ознакомить студента с историей развития математической науки и ролью российских и советских учёных в её становлении.

Задачи, решаемые в ходе изучения курса математического анализа:

·  Дать студентам фундаментальное представление о теоретических основах способов исследования функций методами дифференциального и интегрального исследования, о возможностях применения аппарата математического анализа в смежных дисциплинах математического цикла, а также в других дисциплинах.

·  Сформировать у студентов представление о месте математического анализа в общематематической науке с точки зрения единства и диалектики образовательного процесса.

·  Научить студентов практическим методам исследования свойств функций и их применению к решению практических задач, в том числе, реализуемых с помощью ЭВМ.

По окончании изучения дисциплины студенты должны

- иметь чёткое представление об основных методах исследования свойств функций методами дифференциального и интегрального исследования;

- знать основные определения, теоремы и формулы математического анализа;

- уметь применять полученные навыки к решению практических задач, в том числе, решаемых с помощью ЭВМ.

В связи с относительно небольшим количеством часов, отводимых на изучение математического анализа, весьма большое время отводится студентам для самостоятельной работы. Существенное значение при правильной организации обучения любой математической дисциплины, в том числе, математического анализа, имеет самостоятельная работа студентов.

Данное пособие включает в себя план практических занятий по математическому анализу, задания для практических занятий и список учебной литературы.

План практических занятий по дисциплине “Математический анализ” (второй семестр)

№ п/п	Содержание занятия	Тема
1	Числовые ряды. Сумма числового ряда. необходимый признак сходимости знакоположительных рядов.	Числовые ряды. Сходимость числовых рядов. Степенные ряды. Функциональные ряды. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
2	Признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши.
3	Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
4	Степенные ряды. Радиус, интервал, и область сходимости степенного ряда.
5	Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.
6	Понятие первообразной. Основные свойства первообразной. Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.	Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования. Определённый интеграл, его свойства и приложения.
7	Основные методы интегрирования: замена переменной, внесение выражения под знак дифференциала, по частям.
8	Основные методы интегрирования: рациональные дроби, иррациональные выражения, тригонометрические функции.
9	Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
10	Несобственные интегралы и способы их вычисления.
11	Приложение определённых интегралов к вычислению площадей и объёмов. Понятие о криволинейных интегралах.
12	Численные методы вычисления определённых интегралов.
13	Способы задания функции двух переменных. Область определения и область значения функции двух переменных. График функции двух переменных.	Функция нескольких переменных. Её предел, непрерывность, дифференцируемость. Экстремум и условный экстремум
14	Предел и непрерывность функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных.
15	Дифференцирование функции двух переменных.
16	Производная по направлению. Градиент функции двух переменных.
17	Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных. Условный экстремум.
Всего за семестр: 17 занятий по 2 ч.

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма числового ряда. необходимый признак сходимости знакоположительных рядов.

Задание 1.1. Числовые ряды заданы своими первыми пятью членами. Составить формулу общего члена для каждого ряда.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Задание 1.2. Числовые ряды заданы формулами своих общих членов. Для каждого ряда найти первые пять членов и частичную сумму .

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 1.3. Для данных рядов проверить выполнение необходимого признака сходимости.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание на дом.

1. Числовые ряды заданы своими первыми пятью членами. Составить формулу общего члена для каждого ряда.

а) ;

б) ;

в) .

2. Числовые ряды заданы формулами своих общих членов. Для каждого ряда найти первые пять членов и частичную сумму .

а) ;

б) .

3. Для данных рядов проверить выполнение необходимого признака сходимости.

а) ;

б) .

Занятие 2. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши.

Задание 2.1. Исследовать ряды на сходимость.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 2.2. Исследовать ряды на сходимость.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

е) ;

ж) ;

з) .

Задание на дом.

Исследовать ряды на сходимость.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

е) ;

ж) .

Занятие 3. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимость.

Задание 3.1. Исследовать данные знакопеременные ряды на сходимость. В случае сходимости ряда выяснить её характер.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) .

Задание на дом.

Исследовать на сходимость знакопеременные ряды.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Занятие 4. Степенные ряды. Радиус, интервал, и область сходимости степенного ряда.

Задание 4.1. Найти радиус, интервал и область сходимости степенных рядов.

а)

б)

в)

г)

д)

Задание на дом.

Найти радиус, интервал и область сходимости степенных рядов.

а)

б)

Занятие 5. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Рабочие формулы:

Формула Тейлора:

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена:

Задание 5.1. Разложить данные функции в ряд Тейлора по степеням (до пятого члена разложения включительно).

а)

б)

в)

Задание 5.2. Разложить данные функции в ряд Маклорена (до пятого члена разложения включительно).

а)

б)

в)

Задание на дом.

1. Разложить данные функции в ряд Тейлора по степеням (до пятого члена разложения включительно).

а)

б)

2. Разложить данные функции в ряд Маклорена (до пятого члена разложения включительно).

а)

б)

Занятие 6. Понятие первообразной. Основные свойства первообразной. Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.

Задание 6.1. Для данных функций найти первообразные. Указать, на каком числовом интервале функция является первообразной для функции .

а) ;

б) ;

в) .

Задание 6.2. Для данных функций найти первообразные, график (интегральная кривая) которых проходил бы через указанную точку .

а) ;

б) .

в) .

Задание 6.3. Найти данные неопределённые интегралы, с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределённого интеграла.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

ж)

з) .

Задание на дом.

1. Для данных функций найти первообразные. Указать, на каком числовом интервале функция является первообразной для функции .

а) ;

б) .

2. Найти первообразную для данной функции , график (интегральная кривая) которой проходил бы через указанную точку .

.

3. Найти данные неопределённые интегралы, с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределённого интеграла.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Занятие 7. Основные методы интегрирования: замена переменной, внесение выражения под знак дифференциала, по частям.

Задание 7.1. С помощью метода подстановки найти неопределённые интегралы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) .

Задание 7.2. Найти неопределённые интегралы с помощью внесения выражения под знак дифференциала:

а) ;

б) ;

в) .

Задание 7.3. Найти интегралы, интегрируя по частям:

а) ;

б) ;

в) .

Задание на дом.

Найти неопределённые интегралы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

г) .

Занятие 8. Основные методы интегрирования: интегралы от рациональных дробей, иррациональностей, тригонометрических функций.

Задание 8.1. Найти интегралы от рациональных дробей:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание 8.2. Найти интегралы от выражений, содержащих радикалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 8.3. Найти интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание на дом.

1.  Найти интегралы от рациональных дробей:

а) ;

б) ;

2. Найти интегралы от выражений, содержащих радикалы:

а) ;

б) .

3. Найти интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) ;

в) ;

д) .

Занятие 9. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Задание 9.1. Вычислить определённые интегралы по формуле Ньютона-Лейбница.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 9.2. Вычислить определённые интегралы методом подстановки.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 9.3. Вычислить определённые интегралы по частям.

а) ;

б) ;

в) .

Задание на дом.

1.  Вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

2. Вычислить определённый интеграл методом подстановки.

3. Вычислить определённый интеграл по частям.

.

Занятие 10. Несобственные интегралы и способы их вычисления.

Задание 10.1. Вычислить интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 10.2. Вычислить интегралы от разрывных функций или установить их расходимость.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание на дом.

1. Вычислить интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость

а) ;

б) .

2. Вычислить интегралы от разрывных функций или установить их расходимость.

а) ;

б) ;

в) .

Занятие 11. Приложение определённых интегралов к вычислению площадей и объёмов.

Задание 11.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 11.2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание на дом.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

а) ;

б) .

2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной данными линиями.

а) ;

б) .

Занятие 12. Численные методы вычисления определённых интегралов.

Задание 12.1. Вычислить приближённое значение определённых интегралов с помощью формул прямоугольников. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

а) ;

б) .

Задание 12.2. Вычислить приближённое значение определённых интегралов с помощью формулы трапеций. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

а) ;

б) .

Задание 12.3. Вычислить приближённое значение определённых интегралов с помощью формулы Симпсона. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

а) ;

б) .

Задание на дом.

1. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формул прямоугольников. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

2. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы трапеций. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

3. Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона. Вычисления выполнять с пятью знаками после запятой.

Занятие 13. Функция двух переменных: основные понятия и определения. Предел и непрерывность функции двух переменных. Полный дифференциал и полное приращение функции двух переменных.

Задание 13.1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Задание 13.2. С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближённое значение выражения.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задание на дом.

1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных.

а) ;

б) ;

в) .

2. С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближённое значение выражения.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Занятие 14. Дифференцирование функции двух переменных.

Задание 14.1. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Задание 14.2. Найти все производные первого и второго порядков функций двух переменных.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 14.3. Найти частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных.

.

Задание на дом.

1. Найти частные производные первого порядка функций двух переменных.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Найти все производные первого и второго порядков функций двух переменных.

а) ;

б) .

3. Найти частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных.

.

Занятие 15. Производная по направлению. Градиент.

Задание 15.1. Найти производные данных функций по указанным направлениям.

а) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

б) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

в) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

г) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 15.2. Найди градиенты данных функций в указанных точках.

а) Найти градиент функции в точке.

б) Найти градиент функции в точке.

в) Найти градиент функции в точке.

г) Найти градиент функции в точке.

Задание на дом.

1. Найти производные данных функций по указанным направлениям.

а) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

б) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

2. Найди градиенты данных функций в указанных точках.

а) Найти градиент функции в точке.

б) Найти градиент функции в точке.

Занятие 16. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных. Условный экстремум.

Задание 16.1. Исследовать данные функций двух переменных на экстремумы.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Задание 16.2. Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных областях.

а) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

в) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

г) Найти производную функции в точке по направлению вектора .

Задание 16.3. Найти условные экстремумы данных функций.

а) Найти экстремум функции при условии .

б) Найти экстремум функции при условии .

в) Найти экстремум функции при условии .

г) Найти экстремум функции при условии .

1. Исследовать данные функций двух переменных на экстремумы.

а) ;

б) .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных областях

а) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

3. Найти условные экстремумы данных функций.

а) Найти экстремум функции при условии .

б) Найти экстремум функции при условии .

Занятие № 17 зарезервировано для проведения аудиторной контрольной работы.

Список литературы

Основная литература

1.  , Никольский и интегральное исчисление. - М.: Высшая школа, 1993.

2.  Кудрявцев математического анализа. - М.: Высшая школа, 1998.

3.  Миносцев высшей математики. - М.: РИЦ МГИУ, 2001.

4.  Миносцев типовых расчётов по высшей математике. - М.: РИЦ МГИУ, 2002.

5.  Пискунов и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1978.

Дополнительная литература

6.  Архипов по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 2000.

7.  Бараненков и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. - М.: Астрель, 2001.

8.  , Никольский математика (задачник). - М.: Высшая школа, 1993.

9.  , Никольский задач по математическому анализу. - РнД.: Феникс, 1999.

10.  , Шварцбурд анализ. - М.: Просвещение, 1973.

11.  Выгодский по высшей математике. - М.: Просвещение, 2002.

12.  Демидович и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов. – М.: Высшая школа, 1986.

13.  А, Поздняк математического анализа. - М.: Высшая школа, 1994.

14.  Кочетков анализ для студентов-экономистов. - М.: РИЦ МГИУ, 1999.

15.  Кузнецов задач по высшей математике (типовые расчёты). - М.: Просвещение, 1983.

16.  , Матвеев высшей математики. - М.: Высшая школа, 1996.

17.  и др. Сборник задач по математическому анализу (ч.1 и 2). - М.: Высшая школа, 1998.

18.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1967.

19.  Минорский задач по высшей математике (ч.1 и 2). – М.: Наука, 1982.

20.  Тер-Киркоров анализ. - М.: изд. МФТИ, 1998.

21.  Щипачёв математика (для экономических специальностей). - М.: Высшая школа, 2001.