УДК 681:324

МНОГОМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ КВАЗИКВАНТОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Предлагается идея многомерных дискретных квазиквантовых пространств (квазиквантовых ортоидных структур), базирующаяся на ранее высказанных автором идеях квазиквантовой криптографии и алгебре статических ортоидных структур. Рассматриваемые пространства могут быть использованы при разработке алгоритмов функционирования средств защиты данных в цифровых электронных устройствах.

Основные идеи квазиквантовой криптографии

Рассмотрим множество параллельных процессов P = {pi}, i = 0 … n-1. Будем считать, что процессы выполняются одним процессором в режиме разделения времени (РРВ), или квантования. Таким образом, фактически Р является множеством квазипараллельных процессов. С учетом динамики квантования и распределения квантов времени между процессами описать такую систему проще всего в виде матрицы размерности , где n – количество квазипараллельных процессов (далее – просто процессов), m – суммарное количество шагов (квантов времени), необходимых для завершения всех процессов множества Р. Таким образом, будет иметь следующий вид:

,

причем , где ki –количество квантов времени, необходимое для завершения процесса pi. Обратим внимание на то, что нумерация строк и столбцов начинается с нуля. Длительность всех квантов для всех процессов равна между собой. Тогда полное время работы процесса pi составит Ti = ki, при этом номер строки будет равен номеру процесса, а номер столбца – номеру кванта времени. Назовем матрицу матрицей квантования.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Опишем правила заполнения матрицы .

1.  Если в столбце j квант предоставлен строке i, то qij = 1. При этом все остальные элементы этого столбца равны 0.

2.  Не должно быть пустых столбцов, т. е. столбцов, все элементы которых равны 0.

3.  Допускаются пустые строки, т. е. строки, все элементы которых равны 0.

4.  Допускаются строки, все элементы которых равны 1.

Таким образом, полностью заполненная матрица представляет собой схему квантования всего множества процессов, при этом каждая строка i является схемой квантования для процесса pi. Очевидно, что схема квантования для любого отдельного процесса будет представлять собой бинарную строку вида

b0 b1…..bm-1, ,

в то время как схему квантования для всего множества процессов можно представить в виде строки

d0 d1…..dm-1, ,

Для примера рассмотрим матрицу квантования при n = 4 и m = 4.

Тогда схемы квантования для процессов будут соответственно равны 0100 для процесса p0, 0010 для процесса p1, 1000 для процесса p2 и 0001 для процесса p3. Схема квантования для всего множества процессов будет равна 2014. Очевидно, что схемы квантования представляют собой обычные числа (двоичные для отдельных процессов и n-ичные для всего множества). Тогда максимальное число M возможных схем для всего множества процессов можно вычислить по известной формуле

Выбрав из всех возможных схем одну и используя ее в качестве некоторого ключа, можно простроить класс алгоритмов, опирающихся на этот метод. Необходимо лишь обеспечить, чтобы множество процессов Р , решая в кооперации некоторую задачу, давало разный результат в зависимости от схемы квантования. Этот результат может быть использован в качестве ключа второго уровня, определяющего права доступа к тому или иному ресурсу. При этом степень защиты будет очень высока. Например, для n = 10 m = 128 M будет равно 10128, и задача поиска ключевой схемы методом прямого перебора, при переборе 1014 CPS (CPS – Combinations Per Second, вариантов в секунду; более удобной в данном случае оценки быстродействия дешифрующего компьютера, чем традиционно принятая в криптографии единица быстродействия MIPS – Mega Instructions Per Second) составит более 10108 лет. Понятно, что указанная скорость перебора на сегодняшний день явно завышена, но можно принять ее, как вполне достижимую в ближайшее время. Использование методов дизассемблирования для дешифрации также ничего не даст, ибо при динамическом дизассемблировании программа-трассировщик внесет некоторое возмущение в процесс работы и исказит схему квантования, а статическое дизассемблирование даст только начальное состояние еще не распараллеленного алгоритма.

Базовые ортоидные структуры и операции в них

Определение трехмерного ортоида. Рассмотрим некоторое пространство T , расположенное в декартовой системе координат и имеющее ячеистую (клеточную) структуру. По всем трем координатам пространство ограничено величинами m, l, k, где m, l, k – простые или составные числа. Таким образом, пространство T и образующие его ячейки будут иметь форму куба или правильного параллелепипеда.

Введем понятие объема пространства. Под объемом пространства V(Т) будем понимать количество ячеек, его образующих. При этом форма ячеек (куб или параллелепипед) и их физические размеры нас не будут интересовать. Адресация ячеек (координация, индексация) в таком пространстве осуществляется при помощи указания всех трех координат (индексов); при этом индекс может принимать любые значения от 0 до q-1, где q – количество ячеек по соответствующей координате. Очевидно, что пространство Т является дискретным и ограниченным. Назовем такое пространство ячеистой (клеточной) структуры трехмерным ортоидом.

Многомерные ортоиды. Представим себе ортоид, каждая ячейка которого также является ортоидом. В этом случае трех индексов будет явно недостаточно.

Трансформация ортоидов (реструктуризация). Количество координат в ортоиде будет равно количеству сомножителей, на которые разлагается его объем.

При разложении объема на простые множители получим n - максимально возможную размерность ортоида. Например, некоторый трехмерный ортоид имеет размерность 4*5*9 = 180. При разложении на простые множители размерность увеличится: 2*2*5*3*3, но объем останется неизменным – 180. Как видим, ортоид стал пятимерным. Далее, можем снова перейти к трехмерному ортоиду, но уже другой размерности, например, 6*10*3, при этом объем снова остался прежним. При операциях с количеством измерений меньше трех просто припишем недостающие измерения, приравняв их к единице. Например, для одномерного пространства это будет тройка чисел 0, 0, P, где Р – индекс по соответствующей координате. Таким образом, ортоид всегда будет выпуклым, сохраняя при этом некий инвариант – объем V(T), при этом геометрические свойства пространства (его структура) будет меняться. Теперь мы можем дать полное определение ортоида

Назовем ортоидом некоторую ячеистую пространственную структуру с произвольным количеством измерений, способную менять свою геометрию и размерность (структуру) при сохранении инварианта – количества ячеек, его составляющих. При этом счет по координатам должен начинаться с нуля до q-1, где q – максимальная размерность по соответствующей координате. Ортоид в трехмерном пространстве должен иметь форму куба или правильного параллелепипеда.

Назовем реструктуризацией результата процесс приведения результата некоторой операции с ортоидами к ортоиду при сохранении инварианта V(T).

Назовем элементарным ортоидом пустую (неструктурированную) ячейку. Объем элементарного ортоида равен единице по определению, независимо от его формы, физических размеров и координат.

Назовем путем в ортоиде вектор индексов {x1 x2 x3 ….. xn}, определяющий координаты заданной ячейки; при этом длина пути L будет равна n.

Назовем ортоидным кубом такую реструктуризацию ортоида, при которой его размерности по осям X, Y, Z одинаковы (рис. 7). При этом ортоидный куб может и не быть элементарным ортоидом.

Рис. 1. Рис. 2.

Назовем ортоидной плоскостью такую реструктуризацию ортоида, при которой его размерности по двум осям (X,Y), или (X,Z), или (Y,Z) одинаковы (рис. 8).

Назовем ортоидной прямой такую реструктуризацию ортоида, при которой его результирующий ортоид будет составлен из кубов, расположенных по одной из координат: X, или Y, или Z (рис. 9).

Рис. 3.

Сложение ортоидов. При сложении ортоидов будем руководствоваться следующим правилом:

,

после чего выполняется реструктуризация полученного тела при помощи разложения объема V(T + T1) на простые множители x1 * x2 * …..* xn с последующим приведением к нужной размерности.

Таким образом, полученное в результате тело может иметь размерность, отличную от размерности слагаемых; при этом физические размеры ортоида не изменяются, а объем увеличивается. На рис. 10 приведен самый простой пример, когда слагаемые имеют одинаковые объемы и размерность (2*2*2). В этом случае реструктуризация не нужна, ибо результирующий ортоид является ортоидной прямой по оси Х. В других случая необходима реструктуризация для придания ортоиду формы правильного параллелепипеда. Операция сложения коммутативна как по структуре ортодида, так и по по объему V(T); нейтральным элементом при операции сложения является ортоид нулевого объема (нуль-ортоид).

Рис. 4.

Рис. 5.

Умножение ортоидов выполняется путем вписывания ортоида-множителя в клетки ортоида-множимого (рис. 11). При этом объем результирующего ортоида определяется по формуле:

.

Операция умножения некоммутативна по структуре ортодида, но коммутативна по объему V(T); нейтральным элементом при операции умножения является пустой ортоид единичного объема.

В ортоидах возможна операция частичного умножения, которая заключается в том, что происходит умножение не всего ортоида-множимого на множитель, а лишь одной его ячейки с индексами x1, x2, …. xn на ортоид-множитель.

Нетрудно видеть, что при возведении ортоида в степень получается хорошо известная структура типа фрактал; при работе с ортоидной плоскостью получается матрица, а многомерные структуры ортоидов являются аналогами тензорами высоких рангов.

Таким образом, мы определили основные операции алгебры ортоидов. Нетрудно видеть, что в ней выполняется дистрибутивный закон при сохранении инварианта V(T).

Регулярные ортоиды. В регулярных ортоидах количество координат в любой точке (для любой ячейки) одинаково, т. е.

Возможна простая трансформация регулярного ортоида в ортоидную прямую, однако обратная трансформация весьма затруднительна из-за незнания взломщиком истинной размерности исходного ортоида и ограничений по его координатам. Это дает возможность рассматривать регулярные ортоиды как некоторую одностороннюю функцию и использовать их для систем парольной защиты; при этом ключем будет служить путь к ячейке, содержащей сам пароль.

Определим степень сложности снятия ортоидной защиты на регулярных ортоидах как Z = F + R1 + R2, где F = f(V(T)) – сложность решения задачи факторизации при обратной трансформации, R1 - сложность восстановления истинного количества координат n исходного ортоида и их размера qi, i = 1…n (алгоритм неизвестен), R2 = n! – сложность индексации координат (определения порядка их следования в исходном ортоиде, известная задача о коммивояжере).

Даже если допустить, что все координаты ортоида являются простыми числами и, после решения задачи факторизации, полученное произведение n простых чисел будет соответствовать реальным координатам ортоида (т. е. каждое простое число будет являться координатой с правильной длиной и число координат будет равно n), определение истинного порядка следования координат составит n! вариантов, что при большом n является на сегодняшний день неразрешимой задачей.

Нерегулярные ортоиды. В нерегулярных ортоидах количество координат в каждой точке (для каждой ячейки) определяется по некоторому задаваемому закону и может быть различным:

Так же как и в регулярных ортоидах, возможна простая трансформация нерегулярного ортоида в ортоидную прямую, однако обратная трансформация здесь становится практически невозможной. Возможность построения нерегулярных ортоидов обеспечивается операцией частичного умножения.

Ортоиды с циклическим путем. Подобные ортоиды используются для имитации бесконечномерных дискретных пространств. Для имитации применяются модулярные операции с вектор-индексом W. Рассмотрим регулярный n-мерный ортоидный куб фрактального типа. Все координаты при этом будут иметь одинаковые ограничения по длине. Вычисляя длину пути по формуле L(W) = g mod n , мы получим возможность указывать вектор-индекс W любой длины g, не выходя при этом за пределы ортоида. С помощью такого приема создается иллюзия бесконечномерного дискретного пространства (ортоида). Точно также защищается ортоид от указания индекса , размер которого по i-той координате превышает допустимый: , где pi - произвольно указанный индекс по i-той координате, qi – предел индекса по этой координате.

Динамические ортоиды. Динамические ортоиды представляют собой нерегулярные ортоиды, в которых параметры размерности и инвариант являются функцией от времени:

, или же

Это дает дополнительные возможности по сокрытию важной ннформации от злоумышленников.

Квазиквантовые ортоиды. В квазиквантовых ортоидах в каждой ячейке ортоидной структуры либо ее части располагается некоторый процесс, при этом процессы могут работать как независимо друг от друга, либо составлять некоторое связанное множество параллельных процессов, работающих в соответствие с изложенными выше принципами квазиквантовой криптографии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.  . Введение в теорию информационной безопасности: учеб. пособие / Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во ВлГУ, 20с. ISBN -1

2.  Илларионов структуры. / Проектирование и технология электронных средств. № 2, 2006.