Исследование динамической системы в пространстве состояний

Министерство образования Российской Федерации

Волгоградский государственный технический университет

Камышинский технологический институт

Кафедра “Информатика и вычислительная техника”

Исследование динамической системы

в пространстве состояний

(на примере модели электродвигателя

постоянного тока двойного питания)

Методические указания

РПК “Политехник”

Волгоград

2000

УДК 62-52

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ (НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ): Методические указания / Сост. , ; Волгоград. гос. техн. ун-т, Волгоград, 2000. – 18 с.

Рассматриваются теоретические и практические аспекты построения математической модели электродвигателя постоянного тока двойного питания. Приводятся указания для проведения исследований построенной модели электродвигателя. Изложение иллюстрируется примерами расчетов и комментариями.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 552800 “Информатика и вычислительная техника” и 220200 “Автоматизированные системы обработки информации и управления”.

Ил. 4. Библиогр.: 2

Рецензент .

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета.

Составители: Ольга Владимировна Барабашова

Елена Георгиевна Крушель

Редактор

Темплан 2000 г., поз. №

Подписано в печать. Формат 60 ´ 84 1/16

Бумага газетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л.1,45. Тираж 100 экз. Заказ.

Волгоградский государственный технический университет.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

400131 Волгоград, просп. им. , 28.

РПК “Политехник” Волгоградского государственного технического университета.

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

государственный

технический

университет, 2000

Вопросы для исследования:

1. Научиться составлять уравнения реальных процессов управления в пространстве состояний. Получить начальные представления о моделировании (формирование исходных данных, начальных условий, обеспечение сопоставимости результатов, оценки качества моделей и т. п.). Получить начальные сведения о вычислительных экспериментах.

2. Получить навыки в технике линеаризации нелинейных моделей, освоить технику работы в отклонениях от номинальных условий.

3. Убедиться в работоспособности линеаризованных моделей (путем сравнения процессов в нелинейной и линеаризованной моделях).

4. Убедиться в том, что линеаризованная модель сохраняет сходство с исходной (нелинейной) лишь при малых отклонениях от номинальных условий. Научиться оценивать количественно, какие из отклонений можно считать малыми. Убедиться в том, что понятие “малые отклонения” количественно различны для разных составляющих модели.

5. (дополнительная цель) Освоить технику численного решения систем дифференциальных уравнений в среде пакета программ для математических расчетов MathCad v.7.0 Plus.

1. Необходимые теоретические сведения

1.1. Содержательная постановка задачи

Разработать математическую модель электродвигателя постоянного тока двойного питания и привести ее к стандартной форме описания линейной системы в состояниях. Схема электродвигателя приведена на рис. 1.

Рис. 1. Схема электродвигателя постоянного тока с двойным питанием

Обозначения к рисунку:

Ф – магнитный поток; U – напряжение; I – ток в якорной цепи; МН – нагрузка на валу двигателя; R – сопротивление.

Необходимо за счет изменения магнитного потока (Ф) и (или) напряжения (U) добиться стабильной скорости вращения (W) при изменяющейся нагрузке на валу двигателя (МН).

Неоднозначность трактовки содержательной постановки задачи:

1) неясны требования к точности управления (т. е. что такое стабильность скорости вращения);

2) не ясно какое из управляющих воздействий (Ф или U) предпочтительнее;

3) неясна и природа предпочтения (стоимость, точность, наличие готовой техники и т. д.).

1. 2. Математическая модель электродвигателя

Введем обозначения для описания электродвигателя как системы управления:

1. Управляющие воздействия – напряжение (U) и магнитный поток (Ф).

2. Возмущающее воздействие – момент нагрузки на валу двигателя (МН).

3. Выход объекта – скорость вращения вала двигателя (W).

4. Переменные состояния (определим в ходе выполнения работы).

Для составления математической модели электродвигателя используем законы механики и электротехники.

1. II закон Ньютона для вращающихся тел.

, (1)

где J – момент инерции всех вращающихся частей, приведенный к валу двигателя (константа);

MД – момент двигателя.

Замечания:

a) уравнение (1) записано первым, поскольку в него входит выходная переменная W, интересующая заказчика;

b) уравнения (1) недостаточно для полного математического описания электродвигателя, т. к. в него входит неизвестная пока переменная MД.

2. Запишем закон для выражения MД через переменные, описанные в задаче.

, (2)

где kД – коэффициент момента (константа), вычисляется по формуле:

(MД0, I0, Ф0 – паспортные данные двигателя – номинальные значения).

Замечание: уравнения (2) недостаточно для построения математической модели электродвигателя, т. к. появилась новая переменная I (ток в якорной цепи), не входившая в постановку задачи.

3. Используем дифференциальный закон Ома для нахождения тока в якорной цепи.

, (3)

где L – индуктивность;

R – сопротивление;

EД - противо-ЭДС, развиваемая двигателем при вращении.

Замечание: уравнения (3) недостаточно, т. к. появилась новая переменная EД (ток в якорной цепи), не входившая в постановку задачи.

4. Для нахождения противо-ЭДС используем уравнение для рамки с током в магнитном поле.

, (4)

где – коэффициент ЭДС (константа), вычисляется по формуле:

(EД0, W0, Ф0 – паспортные данные двигателя – номинальные значения).

Т. к. в уравнении (4) не появилось новых переменных, то можно считать построение математической модели электродвигателя законченным.

В результате получилась система 4-х уравнений (5), которых достаточно для описания двигателя:

, (5)

где I, W - переменные состояния, причем I – внутренняя характеристика электродвигателя (не интересует заказчика).

Особенности полученной модели электродвигателя:

1. Уравнения (2) и (4) не дифференциальные, а алгебраические, поэтому их можно подставить в уравнения (1) и (3) и исключить из системы (5).

2. Оставшиеся уравнения (1) и (3) получаются нелинейными, т. к. в них присутствует произведение переменных состояния на управляющие воздействия (IФ, ФW).

1. 3. Линеаризация нелинейной математической

модели электродвигателя

Учитывая описанные в п.1.2. особенности модели электродвигателя, система (5) будет иметь вид:

(6)

Как было отмечено ранее, система (6) является нелинейной (из-за произведения переменных состояния на управляющие воздействия). Для того чтобы полученную математическую модель привести к стандартной форме (7), необходимо линеаризовать систему уравнений (6):

, (7)

где x – вектор состояния размерности 2´1; u – вектор управлений, размерности 2´1; f – возмущающее воздействие (скаляр); A, B, C – матрицы параметров объекта размерности 2´2, 2´2 и 2´1 соответственно.

Полученная математическая модель электродвигаотносится к многомерным нелинейным системам, поскольку описывается двумя различными дифференциальными уравнениями, каждое из которых является нелинейным. Общее описание многомерных нелинейных систем имеет вид:

где - вектор состояния, размерности 2´1;

- вектор управляющих воздействий, размерности 2´1;

k = MH – возмущающее воздействие, скаляр.

- нелинейная вектор-функция (f1(z, v, k) – 1-ое уравнение системы (6); f2(z, v, k) – 2-ое уравнение системы (6).

Для первого уравнения приведение к стандартной форме с помощью разложения в ряд Тейлора будет иметь вид:

(8)

где x – вектор состояния, размерности 2´1 (x1 = W ; x2 = I);

u – вектор управлений, размерности 2´1 (u1 = U; u2 = F);

f = MH – возмущающее воздействие (скаляр),

т. е. разложение в ряд Тейлора проводится в окрестности точки покоя {z0, v0, k0}.

В нашем случае точкой покоя является сбалансированное состояние, когда все переменные принимают свои номинальные значения: z0 = [WH; IH]; v0 = [UH; FH]; k0 = fH.

После расчета производных уравнение (8) примет вид:

Аналогичные действия выполним и для второго уравнения системы (6):

(9)

После расчета производных в уравнении (9) получим:

В результате проведенных вычислений стандартная форма описания для нашего объекта примет вид:

где .

2. Методика проведения работы

2.1. Параметры объекта и данные о номинальном режиме

1. Сопротивление якорной цепи (ом)

2. Индуктивность якорной цепи (гн)

3. Момент инерции ротора (н*с/(об/мин))

4. Коэффициент двигателя

5. Коэффициент обмотки возбуждения

В задаче имеется 5 переменных (U, M, I, W, Ф). Только три из них можно задать по паспортным данным двигателя, а две остальных (по числу переменных состояния) нужно вычислить из уравнений статического режима - так, чтобы производные и были равны 0. Иначе получится, что начальные условия не будут нулевыми, и в системе будут переходные процессы даже в отсутствие отклонений от номинальных условий.

Зададимся, например, следующими номинальными значениями:

1. Номинальное значение напряжения питания якорной цепи (В)

2. Номинальный ток в якорной цепи (А)

3. Номинальное значение магнитного потока (Вб)

Тогда значение остальных номинальных данных можно вычислить по формулам (получаются путем приравнивания правой части уравнений к нулю):

1. Номинальное значение момента нагрузки ; (Н)

2. Номинальное значение скорости вращения ; (об/мин)

Таким образом, задача состоит в исследовании изменений тока I и скорости вращения W при изменениях управляющих воздействий (напряжения U и магнитного потока Ф), а также при изменении возмущающего воздействия (момента нагрузки M). Эта задача должна быть решена для нелинейной и для линеаризованной модели процессов в двигателе. Должно быть произведено сравнение обеих моделей.

2. 2. Схема решения

1. Для нахождения решения системы дифференциальных уравнений используем встроенную процедуру-функцию MathCad rkfixed (a, b,c, d,e) с параметрами:

a - вектор искомых переменных; b, c - начальное и конечное значение аргумента (в данном случае - времени); d - число отсчетов аргумента на интервале (b, c) его изменения; e - вектор правой части системы уравнений.

Процедура осуществляет нахождение приближенного решения методом Рунге-Кутты. Функция возвращает матрицу, первый столбец которой - значения аргумента на интервале (b, c) с шагом d, а остальные столбцы - значения искомых переменных, соответствующих значениям аргумента.

2. Вначале проверим сбалансированность исходных данных: при отсутствии отклонений от номинальных режимов в обеих моделях не должны наблюдаться переходные процессы.

3. Затем проведем серию вычислительных экспериментов, в которых изменяется только один из варьируемых факторов (либо U, либо Ф, либо M). В каждом эксперименте будем рассматривать и сравнивать реакции нелинейной и линеаризованной моделей на ступенчатое и периодическое изменение фактора. В зависимости от степени отклонения фактора от номинального значения расхождения между нелинейной и линеаризованной моделями будут возрастать. Степень близости моделей будем оценивать по максимальной за время процесса ошибке (абсолютной и относительной, в процентах от номинального значения). Будем считать, что линеаризованная модель работоспособна, если относительная ошибка не превышает 10%. Определим, при каком значении отклонения фактора от номинального значения будет достигнут предел работоспособности модели (ошибка 10%). Таким способом определим количественную оценку “малых” отклонений от номинального режима, для которых допустима линеаризация.

4. Затем проведем вычислительный эксперимент по одновременному изменению всех факторов на величину, оцененную в п.3 (значение каждого из факторов такое, при котором расхождение между нелинейной и линеаризованной моделями 10%). Проверим, насколько хуже стала точность линеаризованной модели.

5. Сделаем выводы о возможностях линеаризации.

2. 3. Методика проведения экспериментов

Вычислительный эксперимент №1 Тема: Проверка сбалансированности исходных данных.

При отсутствии отклонений от номинальных значений всех параметров задачи (U, M, I, W, Ф) в системе должны отсутствовать переходные процессы, т. е. графики переменных состояния должны иметь вид:

Рис. 2. Графики тока и скорости вращения для номинального режима

Схема эксперимента

1. Установите стартовое значение всех параметров:

t max := 50;

- диапазон изменения аргумента (времени), с.;

- число дискретных отсчетов внутри интервала (0, tmax);

- отклонение напряжения от номинального значения;

- отклонение магнитного потока от номинального значения;

- отклонение момента нагрузки от номинального значения.

2. Рассчитайте нелинейную и линеаризованную модели.

3. Проанализируйте полученный результат (напишите выводы по эксперименту).

Вычислительный эксперимент №2. Тема: Влияние отклонения возмущающего воздействия (момента нагрузки (MH)) от номинального значения на переменные состояния (I, W).

Схема эксперимента

1. Установите стартовое значение всех параметров:

- отклонение напряжения от номинального значения

- отклонение магнитного потока от номинального значения.

2. Задайте ступенчатое изменение момента нагрузки

DM=d*S(t)* Mн,

где d – доля отклонения момента нагрузки от номинального значения (d=0,2);

S(t):=if(t<0,0,1).

3. Рассчитайте нелинейную и линеаризованную модели.

4. Сравните нелинейную и линеаризованную модели, рассчитав для них абсолютную и относительную ошибки.

Абсолютная ошибка для скорости:

max(½Wнел(t) - Wлин(t)½).

Относительная ошибка для скорости

абс. ошибка / номин. значение скорости (Wn).

Абсолютная ошибка для тока:

max(½Iнел(t) - Iлин(t)½).

Относительная ошибка для тока

абс. ошибка / номин. значение тока (In).

5. Изменяя d, добейтесь, чтобы относительная ошибка по току была равна 10% (т. о. будет определена количественная оценка “малых” отклонений от номинального режима, для которых допустима линеаризация).

6. Задайте переменное во времени (синусоидальное) изменение момента нагрузки:

DM(t) = d*sin(wt)*Mн,

где w - частота изменения момента нагрузки (w=2).

7. Повторите пункты 3-5.

8. Проанализируйте полученный результат (напишите выводы по эксперименту).

Вычислительный эксперимент №3. Тема: Влияние отклонения управляющего воздействия (напряжения (U)) от номинального значения на переменные состояния (I, W).

Схема проведения эксперимента аналогична эксперименту №2. В этом эксперименте изменяться будет DU(t), а DM(t) и DФ(t) будут равны 0.

Вычислительный эксперимент №4. Тема: Влияние отклонения управляющего воздействия (магнитного потока (Ф)) от номинального значения на переменные состояния (I, W).

Схема проведения эксперимента аналогична эксперименту №2. В этом эксперименте изменяться будет DФ(t), а DM(t) и DU(t) будут равны 0.

Вычислительный эксперимент №5. Тема: Одновременное изменение всех факторов (напряжения (U), магнитного потока (Ф) и момента нагрузки (МН)) на величину d, оцененную в экспериментах №№2 – 4.

Схема эксперимента

1. Задайте для каждого из факторов значение d (взятое из предыдущих экспериментов), при котором расхождение между нелинейной и линеаризованной моделями равно 10%.

2. Задайте ступенчатое изменение всех факторов

DM(t)=d*S(t)* Mн,

DФ(t)=d*S(t)* Фн,

DU(t)=d*S(t)* Uн.

3. Рассчитайте нелинейную и линеаризованную модели.

4. Сравните нелинейную и линеаризованную модели, рассчитав для них абсолютную и относительную ошибки.

5. Задайте переменное во времени (синусоидальное) изменение всех факторов

DM(t)= d*sin(wt)*Mн,

DФ(t)= d*sin(wt)*Фн,

DU(t)= d*sin(wt)*Uн.

6. Повторите пункты 3-4.

7. Проанализируйте полученный результат (напишите выводы по эксперименту).

Вычислительный эксперимент №6. Тема: Изменение факторов, входящих в нелинейную модель линейно (момента нагрузки и напряжения питания якорной цепи).

Для того, чтобы рассчитать схему управления скоростью вращения методами теории линейных автоматических систем, примем вариант, при котором магнитный момент равен номинальному значению и не варьируется, а стабилизацию скорости вращения (которая может измениться в результате действия возмущения - момента нагрузки) будем обеспечивать изменением напряжения питания якорной цепи.

Схема эксперимента

1. Установите стартовое значение параметров.

- доля отклонения напряжения питания от номинального значения;

- доля отклонения момента нагрузки от номинального значения;

- доля отклонения магнитного потока от номинального значения.

2. Задайте ступенчатое изменение напряжения и момента нагрузки:

DM(t)=d*S(t)* Mн;

DU(t)=d*S(t)* Uн;

DФ(t)=0.

3. Рассчитайте нелинейную и линеаризованную модели.

4. Сравните нелинейную и линеаризованную модели, рассчитав для них абсолютную и относительную ошибки.

5. Задайте переменное во времени (синусоидальное) изменение напряжения и момента нагрузки:

DM(t)= d*sin(wt)*Mн;

DU(t)= d*sin(wt)*Uн;

DФ(t)= 0.

6. Повторите пункты 3-4.

7. Проанализируйте полученный результат (напишите выводы по эксперименту).

Приложение

Пример выполнения вычислительного эксперимента №1

t max := 50;

- диапазон изменения аргумента (времени), с;

- число дискретных отсчетов внутри интервала (0, tmax);

- отклонение напряжения от номинального значения;

- отклонение магнитного потока от номинального значения;

- отклонение момента нагрузки от номинального значения.

а. Нелинейная модель

-вектор начальных условий для нелинейной модели (соответствует номинальным значениям скорости и тока);

- вектор правых частей уравнений процессов в двигателе;

- решение уравнений методом Рунге-Кутты.

Переобозначение столбцов ZN для удобства просмотра результатов:

- искомая переменная - скорость вращения двигателя;

- искомая переменная - ток в якорной цепи;

Рис. 3. Нелинейная модель: в отсутствии изменений факторов переходные процессы в системе не происходят. Значения скорости вращения и тока остаются номинальными

б. Линеаризованная модель

Параметры линеаризованной модели (вычисляются после разложения в ряд Тейлора):

- коэффициент скорости вращения;

- коэффициент потока;

- коэффициент момента;

- коэффициент тока;

- вектор начальных условий для линейной модели (отклонения от номинальных значений равны 0);

- вектор правых частей системы линеаризованных уравнений.

- решение линеаризованных уравнений методом Рунге-Кутты.

Переобозначение столбцов Z для удобства просмотра результатов:

- линейное приближение скорости вращения (сумма найденного значения отклонения и номинального значения);

- линейное приближение тока (сумма найденного значения отклонения и номинального значения).

Рис. 4. Линейная модель (в сравнении с нелинейной): если отклонения от номинальных условий отсутствуют, модели дают одинаковые результаты.

Вычислительный эксперимент 1 завершен. Подтверждена правильность расчета номинальных условий. Проверено утверждение о полном совпадении результатов расчета по линейной и нелинейной моделям для номинального режима.

Пример расчета абсолютной и относительной ошибок

;