Контрольная работа тема 1 (матрицы, определители, матричные уравнения)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ТЕМА 1

(матрицы, определители, матричные уравнения)

Все задания 1.-20. нужно выполнить "вручную", а затем в пакетах MATHCAD и MAPLE.

Даны матрицы .

Найти

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. Проверить, что .

9. Проверить, что .

10. Вычислить .

11. Даны . Найти .

12. Решить уравнение (х - неизвестное число)

.

13. Дана матрица . Найти .

14. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

15. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

16. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

17. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

18. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

19. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

20. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

21. Доказать, используя свойства определителя, что

.

Остальные задания выполнить в пакетах MATHCAD и MAPLE.

22. Доказать, что ,

.

(Это определители Вандермонда 3-го и 4-го порядка)

23. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

24. Решить матричное уравнение

,

где , - неизвестная матрица .

Тема 2

(системы линейных уравнений)

Задания 1.-9. сделать сначала "вручную", а затем, применяя пакеты MATHCAD и MAPLE.

1. Решить систему методом обратной матрицы

2. Решить систему методом Крамера

3. Решить систему методом Крамера (х, у - неизвестные), затем выяснить при каком значении параметра р будет выполнено равенство х+2у=4.

4. При каких значениях параметра для решения системы можно применить метод Крамера?

5. Решить систему методом обратной матрицы, методом Крамера и методом Гаусса

6. Решить систему методом Гаусса

7. Решить систему методом Гаусса

8. Решить систему методом Гаусса

9. Решить систему методом Гаусса

10. Сколько решений имеет система?

11. Сколько решений имеет система?

12. При каких значениях параметра система имеет единственное решение?

13. Имеет ли система однородных линейных уравнений нетривиальное (ненулевое) решение?

14. При каких значениях параметра система имеет нетривиальное решение?

Тема 3

(Линейная зависимость и независимость множества столбцов (строк). Базис во множестве столбцов (строк). Ранг множества столбцов (строк). Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.)

1. Дан набор столбцов: .

а) Почему эти столбцы линейно зависимы (это можно сказать сразу)?

б) Линейно выразить последний столбец через остальные.

в) Являются ли линейно независимыми первые три столбца?

г) Являются ли линейно независимыми 1-ый, 2-ой и 4-й столбец?

2. Дано множество строк:

Определить ранг этого множества.

3. Дана матрица: . Найти её ранг.

4. Найти ранг матрицы: .

5. Почему система линейных уравнений всегда совместна (независимо от значений коэффициентов )?

6. Доказать, что определитель

7. Найти все базисы в множестве столбцов:

Тема 4

(векторы, скалярное, векторное, смешанное произведение)

Все задания выполнить сначала вручную, затем сделать задачи 2., 4. , 7.-14., применяя пакет MATHCAD, а задачи 9.,10.,12 сделать, применяя подпакеты geometry и geom3d пакета MAPLE.

1. Даны координаты точек на плоскости . Найти

а) координаты вектора ,

б) координаты точки - середины отрезка ,

в) координаты точки , если ,

г) координаты точки , если ,

д) координаты точки , если .

2. Даны координаты векторов

Найти а) координаты ,

б) координаты ,

в) координаты .

3. Даны длины векторов и угол между ними

Найти а) скалярное произведение ,

б) скалярное произведение ,

в) длину вектора ,

г) проекцию вектора на направление другого вектора ,

д) угол между векторами и .

4. Даны координаты векторов

Выполнить задания пунктов а) - д) предыдущей задачи.

5. При каком значении параметра векторы и будут перпендикулярны?

6. При каких значениях и векторы и будут параллельны?

7. Даны длины векторов и угол между ними

Найти а) длину векторного произведения ,

б) длину векторного произведения .

8. Даны координаты векторов

Найти координаты векторного произведения .

9. Даны координаты вершин треугольника на плоскости

. Найти площадь треугольника .

10. Даны координаты вершин треугольника в пространстве

. Найти площадь треугольника .

11. Даны координаты векторов в пространстве

Найти смешанное произведение .

12. Даны координаты вершин пирамиды в пространстве

. Найти а) объём пирамиды ,

б) длину высоты .

13. При каком значении параметра векторы , , будут компланарны?

14. При каком значении параметра точки будут лежать в одной плоскости?

Тема 5

(прямая на плоскости)

Задачи 1.-9. выполнить "вручную", задачи 10, 11 в пакете MAPLE.

1. Найти координаты нормального вектора к прямой

а) ,

б) ,

в) .

2. Найти угловой коэффициент прямой

а) ,

б) .

3. Получить параметрические уравнения прямой .

4. Получить а) каноническое уравнение,

б) параметрические уравнения,

в) нормальное уравнение,

г) уравнение с угловым коэффициентом

прямой , если .

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -1) параллельно прямой .

6. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(2; -1) перпендикулярно прямой .

7. При каком значении прямые и будут параллельны?

.

8. При каком значении прямые и будут перпендикулярны?

.

9. Найти координаты точки пересечения прямых

10. Даны координаты вершин треугольника .

.

Найти а) уравнение стороны ,

б) уравнение высоты , опущенной из вершины ,

в) координаты точки - основания высоты ,

г) уравнение медианы ,

д) угол между высотой и медианой ,

е) расстояние от точки пересечения и до стороны ,

ж) площадь треугольника .

11. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

Тема 6

(плоскость и прямая в пространстве)

Задания 1.-16. выполнить "вручную", задания в пакете MAPLE.

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки .

3. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

4. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и .

5. При каком значении плоскости и будут перпендикулярны?

6. При каких значениях и плоскости и будут параллельны?

7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

8. Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой . .

9. При каких значениях плоскости имеют только одну общую точку? .

10. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

11. Найти объём пирамиды, которую плоскость отсекает от первого координатного октанта .

12. При каких и плоскость и прямая будут перпендикулярны?

13. Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой .

14. Найти параметрические уравнения прямой, по которой пересекаются плоскости .

15. Найти координаты точки, симметричной точке относительно плоскости .

16. Найти координаты точки, симметричной точке относительно прямой .

17. Даны координаты вершин пирамиды в пространстве

. Найти угол между плоскостями и .

18. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

.

19. Найти параметрические уравнения прямой проходящей через точку параллельно линии пересечения плоскостей и .

Тема 7

(Канонические уравнения и типы кривых второго порядка. Канонические уравнения и типы поверхностей второго порядка.)

1. Определить тип кривой второго порядка

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ж) .

2. Сдвигом системы координат привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, определить тип кривой

а) ,

б) ,

в) .

3. (выполнять в пакете MAPLE) Построить график уравнения второго порядка, определить тип кривой

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

4. Определить тип поверхности второго порядка

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) ,

ё) ,

ж) ,

з) ,

и) .

5. Сдвигом системы координат привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, определить тип кривой

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

6. (выполнять в пакете MAPLE) Построить график уравнения второго порядка, определить тип поверхности

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

Тема 8

(Общее понятие линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Общее понятие координат в данном базисе. Матрица перехода от базиса к базису.)

При решении задач целесообразно использовать MAPLE или MATHCAD.

1. Проверить, что множество всех многочленов, степени не выше второй, является линейным пространством. Определить размерность этого пространства.

2. Найти матрицу перехода от базиса к базису в линейном пространстве матриц .

3. Найти матрицу перехода от базиса к базису в пространстве всех многочленов, степени не выше второй.

4. Найти матрицу перехода от базиса к базису в пространстве всех многочленов, степени не выше второй.

5. В пространстве всех геометрических векторов на плоскости найти координаты вектора в базисе . (- декартов базис)

6. В пространстве всех многочленов, степени не выше второй найти координаты в базисе .(Использовать задачу 4.)

7. Проверить, что множество всех решений ( каждое решение в виде столбца чисел) системы линейных однородных уравнений образует линейное пространство. Определить базис и размерность пространства решений для системы .