Використання властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей

Кіровоградський обласний загальноосвітній

навчально-виховний комплекс гуманітарно-естетичного профілю

( гімназія-інтернат-школа мистецтв )

Методичне об’єднання учителів природничо-математичного циклу

Використання властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

Заняття-практикум в профільному класі.

Вчитель математики

Кіровоград – 2007

Обладнання: комп'ютер, проектор, демонстраційна програма Graphics, екран, друковані матеріали.

Мета: узагальнити методи розв'язування рівнянь і нерівностей при використанні

властивостей функцій та їх графіків; сприяти набуттю вмінь і навичок

учнями по застосуванню графічного метода розв'язування задач з

параметрами, перевірити результати засвоєння учнями цих вмінь;

виховувати культуру спілкування, толерантне ставлення до іншої думки,

формувати науковий світогляд; розвивати прагнення до самостійного,

творчого підходу при розв'язанні нестандартних завдань, формувати

вміння критично мислити, висловлювати і доводити свою думку.

Готовність абітурієнта по задачах цієї теми визначається навичками розв'язування конкретних видів рівнянь і нерівностей (коли час витрачається тільки на запис розв'язання); вмінням орієнтуватись в опорній інформації різних способів розв'язання однієї і тієї ж задачі; рівнем логічного мислення (тобто здібністю долати логічні складнощі побудови розв'язання). Використання властивостей функцій і їх графіків дає всі три критерії готовності та є одним із надійних помічників при розв'язуванні рівнянь і нерівностей з параметром.

І. Вступне слово.

Добрий день шановні учні! Ще 2400 років тому китайський педагог Конфуцій сказав: „Те, що я чую, я забуваю.

Те, що я бачу і чую, я трохи пам'ятаю.

Те, що я чую, бачу і обговорюю, я починаю розуміти.

Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю, набуваю знань і навичок.”

Тож закликаю вас до співпраці!

На протязі декількох уроків ми приводили до системи свої знання по темі „Рівняння, нерівності, системи”. Оглянули основні відомості про рівняння (область визначення, розв'язок, рівносильність, втрата коренів та поява сторонніх коренів, перевірка розв'язків) та методи розв'язування рівнянь, нерівностей і систем.

Сьогодні у нас з вами не зовсім звичайний урок. Незвичайний не тільки тим, що присутні гості. А й тим, що ми проведемо його по сходинках до вершини гори знань.

ІІ. Повідомлення теми і мети уроку. (слайд 1)

Тема нашого уроку: „Використання властивостей функцій та їх графіків при розв'язуванні рівнянь та нерівностей”.

Мета – узагальнити методи розв'язування рівнянь і нерівностей при використанні властивостей функцій та їх графіків.

ІІІ. Мотивація. (слайд 2)

Скільки проміжків монотонності має графік функції ?

Чи можна дати відповідь на це питання одразу?

(Необхідно побудувати графік функції. Це можна зробити, побудувавши його за допомогою відповідних перетворень графіків, а можна одразу отримати графік за допомогою комп'ютера і дати відповідь на поставлене питання.)

Увага на екран!

Демонстрація графіка. (Graphics)

На уроці ми розв'яжемо рівняння і нерівності аналітично, використовуючи властивості функцій і підтвердимо або спростуємо отримані результати за допомогою комп'ютерної програми побудови графіків.

ІV. Актуалізація опорних знань.

Сходинка 1. „Мозковий штурм”. (слайд 3)

Теоретичне опитування. (За правильну відповідь всі члени групи отримують 1 бал).

Рівняння та нерівності. (слайд 4)

1.  Дайте означення рівняння.

2.  Що називається коренем рівняння?

3.  Які види рівнянь вам відомі?

4.  Дайте означення нерівності.

5.  Що є розв'язком нерівності ?

6.  Які види нерівностей вам відомі?

Функції. (слайд 5)

1.  Дайте означення функції.

2.  Що називається областю визначення функції?

3.  Які властивості функцій вам відомі?

4.  Що називається графіком функції?

5.  Які геометричні перетворення графіків ви знаєте?

6.  Згадайте схему дослідження функції.

V. Розв'язування тестових завдань.

Сходинка 2. „Знайди помилку!”. (слайд 6)

Виконання індивідуальних тестових завдань (7 варіантів). Кожний отримує картку із завданням, виправляє помилки, працює індивідуально.

Перевірка правильності виконання тестів.

Перевіряємо правильність виконання за допомогою мультимедійного центру.

(За кожну правильно виправлену відповідь учень отримує 1 бал).

Увага на екран!

„Перевір себе!”. (слайд 7)

(слайди 8 – 14 )

Підведемо підсумки. Заповнимо таблицю.

Сходинка 3. „Додатковий бал”. (слайд 15)

(слайд 16)

1.  Скільки різних функцій записано в ряду:

Підведемо підсумки. Заповнимо таблицю.

VІ. Робота в групах.

Сходинка 4. „Ми – одна команда!”. (слайд 17)

1. Розв'яжіть рівняння:

2. Розв'яжіть нерівність:

3.Розв'яжіть нерівність:

4. Знайдіть кількість коренів рівняння в залежності від параметра b:

(Graphics)

Кожній групі потрібно розв'язати завдання творчого характеру. Лідер керує процесом. Захист аналітичного розв'язування відбувається біля дошки одним із членів групи, а в цей час іншим учнем готується графічна підтримка відповіді. За виконання завдання кожний отримує 4 бали.

Підведемо підсумки. Заповнимо таблицю.

V. Підсумок уроку.

1.  Які властивості функцій були використані при розв'язуванні рівнянь і нерівностей?

(Монотонність, екстремуми, найбільше і найменше значення.)

2.  Яку роль при розв'язуванні рівнянь і нерівностей відіграє графіка?

(Є надійним помічником при перевірці правильності отриманої відповіді.)

3.  Який спосіб „привабливіший”: аналітичний чи графічний?

(Кожний спосіб має свої переваги і недоліки.)

VІ. Домашнє завдання.

№15, №17, №20, №22 (вступні тести „Києво-Могилянської академії”).

Рівняння і нерівності.

 

Функції.

 

 

Варіант І*

 

1.  Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина:

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок:

 

 

4. Графік якої із функцій зображено на рисунку?

 

 

 

Варіант ІІ*

 

1.  Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина:

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок:

 

 

 

4. Графік якої із функцій зображено на рисунку?

 

 

Варіант ІІІ**

 

1.  Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина::

 

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок::

 

 

4. Графік якої функції зображено на рисунку?

 

 

 

Варіант ІV**

 

1.  Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина:

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок::

 

 

4. Графік якої із функцій зображено на рисунку?

 

 

 

Варіант V**

 

1.  Областю визначення функції є проміжок::

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина:

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок:

 

 

4. Графік якої із функцій зображено на рисунку?

 

 

 

Варіант VI***

 

1.  Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина::

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок:

 

 

 

4. Графік якої із функцій зображено на рисунку?

 

 

 

Варіант VII***

 

1. Областю визначення функції є проміжок:

 

 

2. Розв'язком рівняння є множина:

 

 

 

3. Розв'язком нерівності є проміжок:

 

 

 

4. Графік якої функції зображено на рисунку?

 

 

 

Схема дослідження функції.

  Знайти область визначення функції.

  З'ясувати специфічні ознаки: чи є функція парною або непарною, періодичною.

  Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву та з'ясувати їх характер.

  Знайти асимптоти графіка функції.

  Знайти точки екстремуму функції, обчислити значення функції у цих точках. Встановити інтервали монотонності функції.

  Знайти точки перегину графіка функції та інтервали опуклості.

  Побудувати графік функції.

Перетворення графіків.

y = f(x) + b, b>0	Графік паралельно переноситься вгору на в
y = f(x) – b, b>0	Графік паралельно переноситься вниз на в
y = f(x + с), с>0	Графік паралельно переноситься вліво на с
y = f(x – с), с>0	Графік паралельно переноситься вправо на с
y = –f(x)	Графік симетрично відображається відносно осі ОХ
y = f(–x)	Графік симетрично відображається відносно осі ОY
y = аf(x), а > 1	Всі точки графіка віддаляються від осі ОХ в а раз
y = аf(x),0 < а < 1	Всі точки графіка наближуються до осі ОХ в а раз
y = f(аx), а > 1	Всі точки графіка наближуються до осі ОY в а раз
y = f(аx),0 < а < 1	Всі точки графіка віддаляються від осі ОY в а раз
y = | f(x) |	Частина графіка із нижньої півплощини симетрично відображається відносно осі ОХ, інша частина залишається
y = f( |x| )	Частина графіка із правої півплощини симетрично подвоюється відносно осі ОY, інша частина зникає
| y | = f(x) (рівняння кривої)	Частина графіка із верхньої півплощини симетрично подвоюється відносно осі ОХ, інша частина зникає

Таблиця результатів

Прізвище та ім'я	„Мозковий штурм”	„Знайди помилку!”	„Додатковий бал”	„Ми – одна команда!”	Підсумок

 

Розв'яжіть рівняння:

 

Розв'яжіть нерівність:

 

Розв'яжіть нерівність:

 

Знайдіть кількість коренів рівняння в залежності від параметра b: