Основы «Сопротивления материалов»

Основы «Сопротивления материалов» Сопротивление материалов в отличие от теоретической механики рассматривает тела упругие. Упругие тела под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяют свою первоначальную форму и свои размеры. В сопротивлении материалов приняты следующие допущения и гипотезы: 1.  Допущение об однородности материала, заключающееся в том, что физико-механические свойства материала считаются одинаковыми во всех точках тела и по всем направлениям 2.  Допущение о непрерывности материала, заключающееся в том, что материал заполняет весь объем тела без пустот. Такие тела называются изотропными. Наиболее близки к изотропным телам такие материалы как литая сталь и медь. 3.  Гипотеза плоских сечений: плоские сечения, проведенные в теле до деформации, остаются плоскими и после деформации. Это положение в большинстве случаев подтверждается практикой. 4.  На практике большинство конструкций имеют сложные очертания, однако в зависимости от соотношения их размеров целесообразно представлять их упрощенно, например, пластиной (рис. a – один из размеров, толщина, существенно меньше остальных размеров) или брусом (рис. b – один из размеров, длина, существенно больше остальных размеров).

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ Внешние нагрузки, приложенные к телу, вызывают измене­ние его геометрических форм и размеров, или, как говорят, вы­зывают деформацию тела. Деформации, полностью исчезающие при удалении внешних сил, называются упругими деформациями. Если при удалении внешних нагрузок тело не восстанавлива­ет первоначальные размеры и форму, так что остается частич­ное их изменение, то такое изменение формы тела и его разме­ров называют остаточной или пластической деформацией. Одно и то же тело в зависимости от величины внешних на­грузок может обладать обоими видами деформаций. Размеры частей машин и строительных конструкций выбираются такими, чтобы при действии внешних сил деформации не выходили за пределы упругих. В процессе деформации между частицами деформируемого тела возникают силы взаимодействия, т. е. деформация какого-либо тела сопровождается появлением в нем внутренних сил упругости. Внутренние силы стремятся уравновесить внешние нагрузки, и деформация тела прекращается тогда, когда внутренние си­лы уравновесят внешние. Внутренние силы упругости возникают в любом сечении те­ла и по своему характеру относятся к распределенным по плоскости сечения. На рис. а изображено тело, подверженное действию внешних сил Р и P1. Тело под действием внешних сил находится в равновесии. В любом сечении, например в сечении abed или fgmn, вследствие испытываемой телом деформации возникают внутренние силы упругости. Интенсивность, или внутренняя сила, действующая на едини­цу площади сечения, называется напряжением внутренних сил или просто напряжением. Обычно рассматриваются сечения перпендикулярные оси бруса.

МЕТОД СЕЧЕНИЙ Для определения внутренних сил, возникающих при дефор­мации тела, применяют метод сечений. Метод сечений заключается в том, что тело, подверженное действию внешних сил, рассекают. Во всех точках сечения действуют внутренние силы, величи­на которых определяется напряжением. Внутренние силы, или напряжения, изображаются вектора­ми и уравновешивают внешние нагрузки, прило­женные к отсеченной части. Напряжение р в данной площадке сечения можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из кото­рых σ перпендикулярна к плоскости сечения, а другая τ лежит в плоскости сечения (рис. а). Напряжения σ называются нормальными, а напряжения τ — касательными. Тогда Складывая нормальные напряжения, взятые по всей площа­ди сечения, получаем внутреннюю нормальную силу N. Величина нормальной силы при равномерном распределении напряже­ний на площади сечения определится по формуле N= σ F где N — нормальная сила; σ — нормальное напряжение; F—площадь сечения. Складывая касательные напряжения, равномерно распреде­ленные в плоскости сечения, полу­чаем внутреннюю поперечную силу Q, определяемую по формуле Q= τ F где Q — поперечная сила; τ — касательное напряжение; F — площадь сечения. Внутренние силы N и Q уравновешивают внешние нагрузки, приложенные к отсеченной части тела, и определяются из усло­вий равновесия отсеченной части тела. При неравномерном распределении нормальных напряжений в плоскости сечения их сумма дает внутренний изгибающий мо­мент Ми = Na . Сумма касательных напряжений, которые расположены в плоскости сечений, приводит к крутящему моменту Мкр. Изгибающий момент Ми действует в плоскости, перпендикулярной к плоскости сечения. Крутящий момент Мкр действует в самой плоскости сечения.

В соответствии с наименованиями внутренних силовых факторов, возникающих в сечении, классифицируют Виды нагруження бруса. На­звание видов нагружения и соответствующие им внутренние силовые факторы приведены в таблице.

Метод сечений позволяет определить внутренние силовые факторы и вид нагружения в любом сечении бруса в зависи­мости от действующей нагрузки. В качестве иллюстрации, к применению метода сечений определим внутренние сило­вые факторы и вид нагружения бруса, изображенного на рис. а. !!! При расчетах аксиомы теоретической механики используются ограниченно: 1. При расчетах реальных деформируемых тел не следует заменять распределенную нагрузку сосредоточенной; 2. Нельзя перемещать сосредоточенную силу вдоль линии действия; 3. Нельзя переносить пару сил в другую точку детали; 4. Нельзя систему сил заменять равнодействующей при определении перемещений. так как все вышеперечисленное меняет распределение внутренних сил в конструкции. Исправить знаки на эпюре крутящих моментов: Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в любом сечении, тогда как теоретическая механика позволяет определить только величины внешних сил: решив уравнения равновесия (в данном случае - сумма моментов всех сил равна нулю), определили бы только момент mo. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов Для этого рассмотрим балку В данном случае можно обойтись без определения реакций в защемлении, если каждый раз рассматривать равно­весие левой отсеченной части балки. Разбиваем балку на четыре участка нагружения. Характерными сечениями являются сечения А, В, С, D и Е. Пользуясь методом сечений, устанавливаем, что в сечениях участков I и II нормальная сила отсутствует, а в сечениях участков III и IV она действует. Во всех сечениях балки возникает поперечная сила. В сечениях А и С на эпюре поперечных сил имеются скачки, равные величинам приложенных в этих сечениях сосредоточенных сил; на участке IV поперечная сила изменяется по линейному закону. Во всех сечениях балки возникают изгибающие мо­менты. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. В сечении В на эпюре изгибающих моментов имеет место скачок на величину момента приложенной пары. На участке IV эпюра изгибающих моментов – квадратная парабола, на остальных участках – наклонная прямая.

рис. а Опытное изучение механических свойств материалов Данные о механических свойствах различ­ных материалов получают в результате лабораторных испыта­ний их образцов на специальных машинах и установках. Испы­тания материалов на растяжение, изгиб, кручение и т. д. произ­водят при статических и динамических нагрузках. На рис. а дан график, полученный при испытании на статическое растяжение пластических материалов (сталь). По горизон­тальной оси графика отложены удлинения ∆l образца, а по вертикальной оси — растягивающая сила F. рис. в На прямолинейном участке О1 удлинения пропорциональны силе F1 (рис. в). Удлинения образца на участке О1 при снятии нагрузки ис­чезают. Следовательно, на этом участке кривой растяжения име­ют место упругие деформации. Начиная от точки 1, кривая переходит почти в горизонталь­ную прямую, т. е. на этом участке удлинение образца увеличи­вается без заметного увеличения силы F3. Это явление называют течением материала. Максимальная нагрузка Fmax, которая действует на образец во время испытания, соответствует наивысшей точке 4 диа­граммы. Диаграммы механических характеристик рис. а рис. в При построении диаграммы механических характеристик определяются величины, имеющие условный характер. Если усилия F (рис. а) в каждой из точек разделить на величину начальной площади поперечного сечения Ао, то получим диаграмму механических характеристик, имеющую условный характер. Причем, расчеты ведут, используя принцип начальных размеров: при работе конструкции деформации должны оставаться упругими, т. е. считают, что размеры под нагрузкой не должны изменяться, т. к. упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами детали. Напряжение в материале образца, возникающее от растяги­вающей силы F1, величина которой соответствует точке 1, на­зывается пределом пропорциональности. Величина предела пропорциональности обозначается σпп и определяется по формуле σпп = F1 / A0, где F1 — максимальное значение нагрузки на образце, соответ­ствующее участку О1; A0— площадь поперечного сечения образца. Напряжение в материале, соответствующее точке 3 диаграммы, называют пределом текучести и обоз­начают σт . Величина предела текучести определится по формуле σт = F3 / A0 , где F3 — сила на образце, соответствующая точке 3 диаграммы; По силе Fmax определяют предел прочности, который обозначают σв. Предел прочности есть напряжение, определяемое по формуле: σв = Fmax / A0 Предел пропорциональности σпп определяет те максимальные (предельные) напряжения, превышение которых вызывает от­клонение от прямой пропорциональности между удлинением и силой (отклонение от закона Гука). Практически предел про­порциональности можно рассматривать как предел упругости, т. е. как максимальное напряжение, превышение которого вызы­вает заметные остаточные (пластические) деформации. Пределом текучести σт называется напряжение, при достиже­нии которого происходит явление течения материала. Предел прочности σв есть такое напряжение, при котором мате­риал разрушается. При испытании хрупких материалов получают диаграммы растяжения, в которых слабо выражены или совсем отсутствуют такие характеристики, как предел пропорциональности и предел текучести. Основной характеристикой механических свойств хрупких материалов является предел прочности σв. Некоторые пластичные материалы (специальная сталь, брон­за) не имеют на диаграмме растяжения ярко выраженного уча­стка течения материала. В этом случае за предел текучести принимают напряжение, при котором остаточное удлинение испытываемого образца составляет 0,2% от первоначальной длины - σ0,2 . ЗАПАС ПРОЧНОСТИ. ДОПУСКАЕМЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ Деформации, полностью исчезающие при удалении внешних сил, называются упругими деформациями. Если при удалении внешних нагрузок тело не восстанавливает первоначальные размеры и форму, так что остается частичное их изменение, то такое изменение формы тела и его размеров называют остаточной или пластической деформацией. При проектировании машин и строительных конструкций необходимо стремиться к тому, чтобы усилия, действующие на ча­сти машин и конструкций, не вызывали в них недопустимых ос­таточных деформаций или разрушения. Необходимо, чтобы на­пряжения, которые испытывают в процессе работы детали ма­шин и конструкций, были меньше предельных напряжений и не превышали некоторой установленной величины. Установленная на основании опыта или теоретического ис­следования величина напряжения, которую можно допустить в частях машин и конструкций, называется допускаемым напря­жением. При испытании материалов на растяжение, как мы видели выше или на изгиб в поперечном сечении испытываемого образца определяют предел прочности и предел текучести от нормальных напряжений (σв и σт). При испытании материалов на срез или кручение вызывае­мые в поперечном сечении образца предел прочности при срезе (или кручении) и предел текучести при срезе (или круче­нии) определяют касательные напряжения, которые обозначаются соответственно τв и τт. Для допускаемых нормальных напряжений принято обозна­чение [σ], а для допускаемых касательных напряжений — обоз­начение [τ]. Для пластических материалов допускаемое напряжение на растяжение берется от предела текучести σт при растяжении по формуле: [σ]раст. = σт/ n где величина n называется запасом прочности. Запас прочно­сти всегда должен быть больше единицы. Для хрупких материалов допускаемые напряжения опреде­ляются как часть предела прочности σв. Например, допускае­мые напряжения на кручение [τ]кр. чугунной детали определяются по формуле: [τ]кр. = τ в / n где τв — предел прочности на кручение для чугуна; n — запас прочности. Таким образом, для установления величины допускаемого напряжения необходимо знать предельные напряжения для ма­териала, из которого изготовлена расчитываемая деталь, и ве­личину запаса прочности. Величина запаса прочности выбирается в зависимости от разных факторов: свойств материала, из которого изготовляется деталь, характера нагрузки, ответственности детали, формы и размера детали, точности определения нагрузок и расчетных формул, условий определения прочностных характеристик и пр. Запасы прочности устанавливаются на основании опыта. Для различных групп деталей, изготовленных из одного и того же материала, величина запаса прочности может быть различной. В различных областях машиностроения (станкостроение, ав­тостроение, самолетостроение и т. д.) запасы прочности для от­дельных деталей устанавливают на основании лабораторных ис­следований детали и на основании эксплуатационных данных. При установлении величины запаса прочности необходимо стремиться к ее обоснованному уменьшению, с тем чтобы избе­жать непроизводительного расхода материала. Действительными напряжениями называются напряжения, действующие в детали в процессе работы. Действительные на­пряжения должны равняться допускаемым или превышать их не более чем на 5%. Действительные напряжения обозначаются σ и τ. Задачи сопротивления материалов 120 В процессе эксплуатации машин мент конструкции в результате на, него внешних сил неизбежно первоначальные размеры и форму, { мируется. Например, после при Р (рис. 87, а) балка AD прогнется, укоротится примерно так, как пов ховыми линиями. Если снять силу Р (разгрузить кс то в зависимости от величины материалов и размеров балки и представиться два случая: 1) ба полностью восстанавливают свои чальные формы и размеры, т. е. в кс при заданной нагрузке возникают гие деформации; 2) деформации ба уменьшаются, но система остается мированном состоянии, т. е. в кс при заданной нагрузке возникают упругими и остаточные (пластически^ нации. Возникновение остаточных ций связано с нарушением нормально ты конструкции, что недопустимо, ность конструкции, а также ее частей лей выдерживать заданную нагрузку рушаясь и без появления остаточных маций называют прочностью. Вернемся к рассматриваемому (рис. 87, а). Может оказаться, что вертикального перемещения конца балки { ше допускаемой по условиям норн работы конструкции, хотя ее прочность > печена. В этом случае конструкция недостаточную жесткость. Под жестк понимают способность конструкции и ее' тей сопротивляться нагрузкам в огн деформации. При заданных нагрузках дефор­мации не должны превышать определенной величины, устанавливаемой в соответствии с требованиями, предъявляемыми к конструк­ции. Если стержень ВС сравнительно длинный и тонкий, то при некоторой силе Р он может внезапно изогнуться, как показано штрихо­выми линиями на рис. 87, б. В этом случае первоначальная прямолинейная форма равно­весия стержня становится неустойчивой. При этом конструкция выходит из строя. Под устойчивостью принято понимать способность конструкции сохранять первоначальную фор­му упругого равновесия. Конечная цель науки о сопротивлении ма­териалов — это (путем расчетов на прочность, жесткость и устойчивость) определение разме­ров элементов конструкции, обеспечивающих ее работоспособность при минимальной затра­те материалов. В своей теоретической части сопротивление материалов опирается на за­коны и теоремы теоретической механики и математики, в практической же части широко использует результаты, получаемые при испы­таниях конкретных материалов.

Для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам. В основу решения этой задачи положен метод сечений, сущность которого в следующем. Рассмотрим некоторое тело, имеющее фор­му бруса (рис 90, а). Пусть к нему приложена некоторая нагрузка, т. е. система сил Ри Р2, ..., Pn-i, Рп, удовлетворяющая условиям равновесия. Под действием этой нагрузки тело деформируется, и между его частицами возникают внутренние силы. Для их выявления мысленно рассечем брус на две части, например поперечным сечением /—/ (рис. 90,а). Отбросим условно одну из частей (например, левую) и рассмотрим остав­ленную отсеченную часть. Для обеспечения равновесия этой части надо приложить по проведенному сечению те силы взаимодей­ствия между частями тела, которые были внутренними силами для целого тела. Эти силы заменяют действие отброшенной части на оставленную отсеченную (рис 90, б). Таким образом, применяя метод сечений, силы, явля­ющиеся внутренними для тела в целом, пере­водят во внешние для одной из его частей, полученных в результате мысленно проведен­ного сечения. Принципиально совершенно безразлично, какую из частей тела отбрасывать, поскольку согласно принципу действия и противодей­ствия внутренние силы, возникшие в сечении / левой части тела, равны по величине и обратны по направлениям внутренним силам, возникшим в сечении / правой части тела. Воспользуемся правилами статики и при­ведем систему внутренних сил к центру тя­жести сечения. В результате получим главный вектор V и главный момент М (рис 90, в). Выберем систему координат так, чтобы ось х совпала с нормалью к сечению, а оси у и z совпали с главными центральными осями сечений (см. гл. 4). Разложив главный вектор и главный момент по осям координат, получаем составляющие: три силы и три момента. Эти составляющие называют внут­ренними силовыми факторами в сечении бруса. К внутренним силовым (рис. 90, г) нормальная сила силы Qy и Qz, изгибающие мс и крутящий момент Мх = М, При известной внешней внутренних силовых факторов определены из уравнений равв ленных для любой из отсеченных' Разрешая их относительно ней лучим Уравнения (13.1) позволяют сфорк правила определения каждого из силовых факторов: нормальная сшш| ленно равна алгебраической сумме на ось х всех внешних сил, де на одну из частей (левую или пра сеченного бруса, взятых с обратным тоже для определения поперечных Qz, только проектировать внешние < на оси у и z. Изгибающие моменты и крутящий момент Mt численно гебраической сумме моментов отно соответствующей оси у, z или х всех сил, действующих на одну из частей ного бруса, взятых с обратным зи Для установления знака внутреннего^ вого фактора будем придерживаться i щих правил. Нормальная сила N — \ тельна, если она направлена от сечения i рону внешней нормали, т. е. если по нию к рассматриваемой части брус является растягивающей (рис. 91, а). В ном случае ей приписывается знак Поперечная сила' Qy или Q, считается жительной, если она вращает рассмат мую часть бруса по часовой стрелке (рис.! Для крутящего момента примем след] правило знаков: если при взгляде на; сматриваемое сечение со стороны отбр ной части бруса, т. е. со стороны"внешней нормали, Мк имеет направление, противопо­ложное ходу часовой стрелки, то такой мо­мент будем считать положительным (рис. 91, в); в противном случае будет знак минус. Изги­бающие моменты Му и Mz будем считать положительными, если они изгибают рас­сматриваемую часть бруса таким образом, что выпуклость ее направлена в сторону положи­тельного направления осей у и z (рис. 91, г). В противном случае изгибающий момент будем считать отрицательным. Виды нагруження. В соответствии с наименованиями внутренних силовых факторов, возникающих в сечении, классифицируют виды погружения бруса. На­звание видов нагружения и соответствующие им внутренние силовые факторы приведены в табл. 2. Таким образом, метод сечений позволяет определить внутренние силрвые факторы и вид нагружения в любом сечении бруса в зависи­мости от действующей - нагрузки. В качестве иллюстрации, к применению метода сечений определим внутренние сило­вые факторы и вид нагружения в сечении 1—1 бруса, изображенного на рис. 92, а. Для выявления внутренних силовых факто­ров рассекаем брус сечением 1 — 1 на две части, отбрасываем одну из частей, например левую, и рассматриваем правую. Через центр тяжести сечения проводим оси координат, как показано на рисунке. Изображаем внутренние силовые факторы (направления внутренних силовых факторов, изображенных на рис. 92,6, приняты нами за положительные). Из урав­нений равновесия (13.1) для отсеченной части По табл. 2 устанавливаем, что в сечении 1—1 имеют место сжатие и поперечный изгиб. Нетрудно проверить, что, вычисляя внутрен­ние силовые факторы в сечении 1—1, рас­сматривая левую отсеченную часть, получим те же результаты. Очевидно, значения внутренних силовых фак­торов в различных сечениях одного и того же бруса различны. Графики, показывающие, как изменяются внутренние силовые факторы вдоль оси бруса, называют эпюрами внутрен­них силовых факторов. Методику построения эпюр рассмотрим на конкретных примерах. Построить эпюру нормальных сил для бруса, изображенного на рис. 93, а. Применяя метод сечений, мысленно на участке АВ рассекаем брус произвольным поперечным сечением / — / на расстоянии х от свободного конца бруса, отбрасываем правую часть (это позволяет не определять реакцию заделки) и рассматриваем условие равновесия левой отсеченной части (рис. 93, б). Поскольку сила Pt направлена от сечения, то JV/ = Pt — Р. Очевидно, что нормальная сила N, во всех сечениях участка одинакова, а остальные внутренние силовые факторы в этих сечениях отсутствуют. Проводя сечение 2—2 на участке ВС и рас­сматривая левую отсеченную часть бруса (рис. 93,в), получаем Nu = Pt+ P2— q(x — - I) = Р + ЪР-----—(х - 0- Таким образом, нормальная сила на участке ВС изменяется по длине бруса по линейному закону. Опре­деляем значения Nu в крайних сечениях: при х = / NB = Рх + Р2 = Р + ЪР = 4Р; при х = 2/ Nc = Р2 - ql = Р + ЪР - / = - Р. Аналогично определяем нормальную силу в произвольном сечении 3 — 3 участка CD (рис. 93, г): Nm = Pt + P2 - ql = P + ЪР - Из изложенного следует, что в пределах каждого из рассмотренных участков норма ная сила меняется по своему закону. Участок бруса, в пределах которого be ренние силовые факторы имеют неизмев закон поведения, называют участками нац жения. Сечения, совпадающие с транш этих участков, в которых приложены точенные нагрузки или которые onpeflej начало и конец распределенной нагр> называют характерными. Для построения эпюры N проводим/ абсцисс графика (базовую линию) параллед оси бруса (рис. 93, д). Величины нор* сил, подсчитанные в характерных сече! откладывают в выбранном масштабе и с том их знаков от оси эпюры под сое ствующим сечением бруса, а затем эти наты соединяют по закону изменения мальной силы на данном участке. Щ ось эпюры проводить тонкой, а саму толстыми линиями. Эпюру штрихуют, этом штриховка перпендикулярна оси : ры — каждая линия штриховки (ордината i фика) дает в принятом масштабе вех нормальной силы в соответствующем перечном сечении бруса. Построенная it образом эпюра N приведена на рис. 93, i Теперь сформулируем общие правила, меняемые для построения эпюр bf силовых факторов. 1. Разбиваем брус на участки натр} 2. Применяя метод сечений, выявляем ренние силовые факторы на каждом ~~ и устанавливаем закон их изменения. 3. Подсчитываем значения величин ви них силовых факторов в характерных се 4. Используя данные подсчетов и ус ленный закон изменения внутренних факторов, строим их эпюры.

Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в любом сечении сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению.

Для оценки прочности необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения.

•  Внутренняя сила взаимодействия, приходящаяся на единицу площади, выделенную в какой-либо точке сечения mn, называется напряжением в этой точке по проведенному сечению и измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади: кг/см², кг/'мм ² и т. д

Напряжения, действующие от части // на / и от I на //, по закону действия и противодействия равны между собой и уравновешивают систему внешних сил, приложенных к телу.