ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ.
Теоретические сведения
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
Pn(k) = Cnk·pk·qn-k,
где q = p – 1 ; Cnk = n! / k!·(n-k)! .
Локальная теорема Муавра - Лапласса. Если число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
Pn(k) = 1/√npq ·φ(x) ,
где φ(x) = 1/√2π · exp[-x2/2] ; x = k – np / √npq.
Таблица функции φ(x) приводится в приложении в книгах по теории вероятностей.
Интегральная теорема Муавра - Лапласса. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события одинакова и равна p (0<p<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближённо равна
Pn(k!, k2) = Φ(x2) – Φ(x1) ,
где
- функция Лапласса, x1 = k1 – np / √npq ; x2 = k2 – np / √npq.
Таблица функции Лапласса Φ(x) приводится в приложении в книгах по теории вероятностей.
Наивероятнейшее число наступлений события А - k0 определяется из двойного неравенства
np – q ≤ k0 < np+ p,
причём
a) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 ;
b) если число np – q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0 +1;
c) если число np – целое, то наивероятнейшее числ k0 = np .
Задачи:
5.1. Двор многоквартирного жилого дома освещают 8 электроламп. Вероятность того, что такая лампа не перегорит в течение года, равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение года
а) перегорят ровно три лампы;
б) перегорит хотя бы одна лампа?
5.2. Завод автомобильных двигателей поставил на автосборочный завод партию двигателей. 5 двигателей взяты для испытаний. Вероятность каждого из них успешно пройти испытания равна 0,95. Какова вероятность того, что успешно пройдут испытания
а) ровно три двигателя;
б) не менее трех двигателей;
в) все пять двигателей;
г) хотя бы один двигатель?
5.3. Теннисист играет с равным противником. Что вероятнее для него: выиграть одну партию из двух или две из четырех?
5.4. Испытывается новое лекарство - делают инъекции его десяти зараженным кроликам. Вероятность положительного эффекта такой инъекции исследователь оценивает равной 0,8. Какова вероятность того, что как минимум 7 кроликов пойдут на поправку?
5.5. При получении партии изделий заказчик берет на проверку 5 из них. Партия принимается, если не менее четырех успешно проходят испытания. Вероятность пройти испытания для каждого изделия из партии равна 0,95. Какова вероятность того, что партия будет принята?
5.6. Фирма, имеющая 5 магазинов в различных частях города, решила провести весеннюю распродажу товаров уходящего сезона. Вероятность того, что распродажа будет прибыльной, для каждого из магазинов равна 0,4. Какова вероятность того, что распродажа окажется прибыльной не менее чем в двух магазинах фирмы?
5.7. Предприятие имеет проблемы с поставками сырья. Вероятность того, что в каждом отдельном месяце предприятие будет полностью обеспечено сырьем, равна 0,9. Какова вероятность того, что за полугодовой период предприятие будет полностью обеспечено сырьем:
а) ровно в трех месяцах?
б) не менее чем в двух месяцах?
5.8. 40% продукции компании по производству парфюмерных изделий предназначено на экспорт. Какова вероятность того, что из четырех произвольно взятых изделий компании ровно три предназначены на экспорт?
5.9. Два ревизора проверяют счета фирмы. Каждый случайным образом выбрал по 10 счетов. Известно, что вероятность наличия ошибочного счета среди счетов фирмы равна 0,05. Какова вероятность того, что
а) каждый ревизор обнаружит хотя бы один ошибочный счет;
б) будет обнаружен хотя бы один ошибочный счет?
5.10. Опыт повторяется 6 раз. В каждом опыте с вероятностью р может наступить событие А. При каком значении р вероятность того, что в этих шести опытах событие А наступит ровно 4 раза, будет наибольшей?
5.11. Происходит демонстрация работы нового разрабатываемого фирмой изделия потенциальному заказчику. Демонстрируется работа трех изделий. Для каждого изделия вероятность того, что демонстрация пройдет без каких-либо сбоев, равна 0,9. Если все три изделия отработают без сбоев, вероятность того, что клиент сделает заказ, равна 0,8. Если одно из изделий допустит сбой, вероятность заказа равна 0,6; если два изделия допустят сбой, вероятность заказа уменьшается до 0,3. Если неполадки будут в работе всех трех изделий, заказа точно не будет. Какова вероятность того, что клиент сделает заказ?
5.12. Хоккейный матч команд А и В завершается вничью. В течение добавочного времени счет не изменился. Судья назначает серию из пяти бросков в ворота каждой команды. Вероятность того, что вратарь команды А пропустит шайбу, составляет 0,2. Вероятность того, что вратарь команды В пропустит шайбу, равна 0,16. Какова вероятность победы команды Л?
5.13. Владелец универсама считает, что в среднем каждый пятый посетитель его магазина совершает покупку. Допуская, что предположение владельца верно, определить вероятность того, что
а) двое из восьми посетителей универсама совершают покупки;
б) хотя бы один из пяти посетителей универсама совершит покупку.
5.14. В среднем каждые 4 из десяти выпускников (бакалавров) данного университета продолжают учебу в магистратуре. Опрошены 5 случайно выбранных выпускников. Какова вероятность того, что трое из них будут затем учиться в магистратуре?
5.15. Отдел контроля качества фирмы, производящей стереофонические системы, взял на проверку 4 системы. Вероятность обнаружения дефекта в каждой из них составляет 0,02. Какова вероятность, что
а) во всех системах будут обнаружены дефекты;
б) хотя бы в одной системе будут обнаружены дефекты?
5.16. Среднее число клиентов мастерской по понедельникам равно шести. Какова вероятность, что в данный понедельник будет
а) ровно 3 клиента;
б) не менее двух клиентов?
