Критерии оценивания

Часть 1

С1. Из формулы площади правильного многоугольника выразите число сторон .

Ответ: .

С2. Решите неравенство .

Ответ: или .

Часть 2

С3. Сократите дробь .

Ответ: 196.

Решение:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ	2
Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера (например, при вычитании), с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	2

С4. Дан правильный восьмиугольник ABCDEFKM. Докажите, что треугольники CDE и AMK равны, а прямые CE и AK параллельны.

Решение:

1.  У треугольников CDE и AMK по условию CD = AM = MK = DE, как стороны правильного восьмиугольника, а , как углы правильного восьмиугольника. Следовательно, треугольники CDE и AMK равны по двум сторонам и углу между ними.

2.  Треугольник AMK – равнобедренный (по условию AM = MK), , где О – центр правильного восьмиугольника. Тогда диагональ MD правильного восьмиугольника содержит биссектрису угла M треугольника AMK, проведенную к его основанию AK, следовательно, содержит и высоту равнобедренного треугольника AMK. То есть, прямые MD и AK – перпендикулярны.

Треугольник CDE – равнобедренный (по условию CD = DE). Диагональ DM правильного восьмиугольника содержит биссектрису угла D треугольника CDE, проведенную к его основанию CE, следовательно, содержит и высоту равнобедренного треугольника CDE. То есть прямые MD и CE – перпендикулярны.

Прямая MD перпендикулярна прямым CE и AK, следовательно, они параллельны.

Что и требовалось доказать.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Доказательство верное	3
Доказательство в целом верное, но содержит неточности	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

С5. Две бригады маляров могут за 1 час работы наклеить 60м2 обоев, работая вместе, а работая отдельно, первая бригада наклеивает 80м2 обоев на 2 часа быстрее, чем те же 80м2 может наклеить вторая бригада. За сколько часов каждая бригада сможет наклеить 200м2 обоев?

Ответ: 5ч и 10ч.

Решение:

1.  Пусть, производительность первой бригады – м2/ч, а производительность второй бригады –м2/ч. Тогда, первая бригада наклеит 80 м2 обоев за ч, а вторая – за ч.

2.  Учитывая первое условие задачи: . Второе даст: .

3.  Решим систему уравнений:

, .

– за столько часов первая бригада наклеит 200м2,

– за столько часов вторая бригада наклеит 200м2.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно составлена система уравнений, получен верный ответ	3
Правильно составлена система уравнений, но при ее решении допущена вычислительная ошибка, с ее учетом решение доведено до ответа	2
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	3

С6. Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра с прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: , или .

Решение:

Разложим числитель дроби на множители:

.

При , исходная функция принимает вид , ее график – парабола, из которой выколоты точки и . Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых – выколотая. Вершина параболы имеет координаты .

Поэтому , или .

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
График построен правильно, верно указаны все требуемые значения с	4
График построен правильно, указаны не все верные значения с	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4

С7. Найдите площадь остроугольного треугольника ABC, если известно, что , , а медиана AM=.

Ответ: 12.

Решение:

В остроугольном треугольнике основание высоты лежит на стороне .

В прямоугольном треугольнике :

Через точку М проведем прямую, параллельную прямой и пересекающую сторону в точке . Тогда по теореме Фалеса . Значит, отрезок является средней линией треугольника . Откуда имеем и .

В прямоугольном треугольнике : . Поскольку и , получаем . откуда .

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ	4
Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ	3
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	4