Тестовая задача для оценки точности расчета локальных функционалов методом Монте-Карло

Д. Н. СКОРОХОДОВ, Г. В. ТИХОМИРОВ

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ТЕСТОВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РАСЧЕТА ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

В данной работе рассматриваются аспекты проблемы смещения оценки локальных функционалов, применительно к программе MCNP, проводится демонстрация проблемы с помощью простого численного эксперимента и проверяется методика априорной оценки дисперсии локальных функционалов, предложенная в работе [1].

С ростом производительности вычислительных машин появилась возможность проводить полномасштабные расчеты больших реакторов с помощью программ, основанных на методе Монте-Карло. При анализе результатов расчетов было обнаружено значительное смещение оценки эффективного коэффициента размножения и локальных функционалов при решении однородного стационарного уравнения переноса нейтронов, что приводит к значительной недооценке погрешности [2].

Проблема смещения оценки локальных функционалов при проведении расчетов больших систем (система называется большой, если ее размеры существенно превосходят площадь миграции нейтронов в ней, т. е. ) связана с методом решения однородного стационарного уравнения переноса, примененным в программе MCNP. Данная задача является задачей на нахождение главного собственного значения и главной собственной функции и решается в программе MCNP степенным методом (методом поколений).

Метод последовательного моделирования поколений нейтронов — итерационный метод, особенностью которого является то, что для разыгрывания нейтронов следующего поколения в качестве источника используются нейтроны предыдущего поколения. Одно поколение — это жизнь нейтрона от рождения в результате реакции деления до смерти в результате утечки, паразитного захвата или поглощения, приводящего к реакции деления. При таком построении итерационного процесса возникает корреляция между соседними поколениями нейтронов, так как нейтроны следующего поколения рождаются вблизи нейтронов предыдущего поколения. Алгоритм оценки локальных функционалов, реализованный в программе MCNP, не учитывает корреляции соседних поколений, что приводит к значительному смещению оценки локальных функционалов при расчете систем с площадью, значительно превышающей площадь миграции в среде [3].

Значение локального функционала вычисляется программой MCNP как экспериментальное среднее функционала X, разыгранного N раз (N велико):

.

Оценка функционала вычисляется программой MCNP как экспериментальная дисперсия в предположении независимости :

.

Истинная оценка, учитывающая корреляции между соседними поколениями может быть записана следующим образом:

,

где – коэффициенты корреляции . Причем в случае, если корреляции положительны. Также стоит отметить, что недооценка дисперсии не зависит от числа разыгрываемых историй. Код MCNP игнорирует корреляции между соседними поколениями, что приводит к недооценке .

Был проведен численный эксперимент с целью проверки гипотезы о связи точности оценки локальных функционалов с площадью рассчитываемой модели. Помимо исследования смещения оценки локальных функционалов при решении задачи на собственные значения, было также проведено исследование при решении задачи с внешним источником.

Для исследования была построена простая модель, представляющая собой прямоугольный параллелепипед с фиксированной высотой и квадратным сечением. Сечение имеет размеры и разбито на одинаковых квадратов размера , где . На всех границах модели действует граничное условие отражения. Модель гомогенная и состоит из материала, изотопный состав которого приведен в табл. 1. Ядерная концентрация материала .

Для данного материала рассчитана площадь миграции нейтронов в среде:

.

Константы, необходимые для оценки были предварительно посчитаны с помощью программы MCNP. Численно .

В каждой ячейке выделен круг диаметром b, внутри которого рассчитывается интегральный поток:

, где .

Все ячейки находятся в одинаковых условиях и не зависят друг от друга. Поэтому можно рассматривать как результаты независимых измерений одной и той же физической величины. Для проверки гипотезы о влиянии площади расчетной модели требовалось провести серию расчетов с моделями разной площади. При изменении площади модели менялся размер ячейки. В качестве единичной площади модели была взята площадь миграции . Проводились расчеты моделей с площадью в диапазоне от до .

Чтобы локализовать проблему как проблему, возникающую исключительно при решении критических задач, была исследована подкритическая модель с внешним источником. Проведены расчеты задачи с внешним источником для всего диапазона площадей. В каждом расчете разыгрывалось историй нейтронов. Наряду с относительной дисперсией, полученной по программе MCNP , рассчитана экспериментальная дисперсия :

, , ,

где – значение интегрального потока в i-й ячейке.

Результаты показывают, что для всего диапазона площадей выполняется условие . Это говорит об отсутствии недооценки локальных функционалов в программе MCNP при решении задачи с внешним источником. Данный вывод также подтверждается однофакторным дисперсионным анализом. Критерий Фишера выполняется для всех площадей модели.

При исследовании модели с критическим источником, наряду с проверкой гипотезы о влиянии площади модели, также проверялось влияние количества разыгрываемых историй нейтронов на точность оценки локальных функционалов.

Были проведены серии расчетов с различным количеством разыгрываемых историй нейтронов. Статистические характеристики расчетов представлены в табл. 2.

Результаты анализа расчетов критической задачи для всех площадей и серий представлены в табл. 3. Результаты показывают, что условие выполняется для моделей с площадью меньшей или пропорциональной площади миграции Для моделей с площадью, превосходящей площадь миграции в среде, экспериментальная дисперсия значительно превышает дисперсию, рассчитанную по MCNP. Такая ситуация наблюдается для всех серий, что говорит о справедливости гипотезы об отсутствии связи между смещением оценки локальных функционалов и количеством разыгрываемых историй.

Таблица 3

Результаты расчетов критической задачи

Площадь модели в единицах	Серия
1	2	3

Наличие смещения оценки локальных функционалов подтверждает однофакторный дисперсионный анализ. Критерий Фишера выполняется только для моделей с площадью, меньшей или пропорциональной Для моделей с большей площадью критерий Фишера не выполняется.

Был проведен графический анализ, заключавшийся в нанесении на рисунок знаков отклонения значения от в каждой ячейке. На рис. 1,а–в показаны результаты для моделей с площадью , , соответственно. Знаками ‘#’ и ‘.’ отмечены области, в которых отклонение от среднего положительно и отрицательно соответственно.

Рис. 1. Результаты графического анализа результатов расчета критической задачи

Графический анализ показал, что для моделей с площадью, меньшей или равной (рис. 1,а,б), никаких аномалий не наблюдается, а для моделей с площадью, превосходящей наблюдается четкая граница (рис. 1,в).

В работе [1] предлагается учитывать описанный эффект по той же схеме, что и влияние технологических допусков, также оказывающих значительное влияние на деформацию нейтронного поля в больших реакторах. В работе была предложена формула, позволяющая получать априорную оценку локальных функционалов:

,

где – площадь модели, – площадь миграции в среде, – количество разыгрываемых историй, – коэффициент Шевелева, зависящий от формы модели.

По данной формуле можно уже до начала расчета получить нижнюю оценку погрешности локальных функционалов. Также данная формула позволяет при задании требуемой погрешности вычислить количество историй, которое необходимо разыграть.

Для всех трех серий проведена оценка . На рис. 2 представлен результат для серии 1.

Рис. 2. Априорная оценка погрешности локальных функционалов

Как видно из рисунка, для моделей с площадью, меньшей или порядка площади миграции, значение дисперсии, рассчитываемое программой MCNP (линия 1), совпадает с экспериментальной дисперсией (линия 2). Для моделей с площадью, значительно превосходящей площадь миграции нейтронов в качестве нижней оценки дисперсии локальных функционалов можно использовать значение (линия 3).

В работе описана актуальная проблема смещения оценки локальных функционалов при расчете больших систем программой MCNP, проблема продемонстрирована с помощью простого численного эксперимента, проведена проверка методики априорной оценки погрешности локальных функционалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. // Атомная энергия. 2007. Т. 103. В. 2. С. 115.

2. // Атомная энергия. 2005. Т. 99. В. 4. С. 243.

3. T. Ueki. // Nucl. Sci. Eng. 2002. V. 141. P. 101.

4. T. Ueki, F. B. Brown. // Trans. Am. Nucl. Soc. V. 86. P. 210.

5. // Атомная энергия. 2005. Т. 99. В. 4. С. 243.