РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 11 КЛАССА
Задача 1. В трапеции ЕВСD диагональ ЕС образует с меньшим основанием угол в 300 и перпендикулярна боковой стороне СD. На большем основании выбрана точка А так, что угол ВАD равен 600. Найдите периметр трапеции АВСD, если известно, что длина АD равна 15 и отрезок ВА диагональю EС делится пополам.
Решение.
1. 
, BO=AO => 
=> BC=EA.
2. 
(т. к. 
) => 
=> BC=BO.
3. 
.
4. 
, 
=> 
=> 
5. Дополнительное построение: 
=>
.
6. 
7. 
=> x=5.
8. 
, 
, 
.
9. 
Задача 2. Даны длины медиан треугольника АВС - 9, 12 и 15. Найдите длину стороны АВ, если медиана, проведенная к ней равна 15.
Решение.
1. Дополнительное построение: К – середина МВ.
2. 
=> 
(свойство медиан треугольника) => AM=6, BM=8, 
.
3. 
=> 
, 
, 
.
4. 
, , 
=> 
=> 
5. 
=> 
=> AB = 10.
Задача 3. Дан параллелограмм АВСD, причем АD = 2АВ, Е — середина АD. Из точки С на прямую АВ опущен перпендикуляр СН. Докажите, что
.
Доказательство.
1. Дополнительное построение: М – середина ВС.
2. 
.
3. 
=>
(накрест лежащие углы)
4. 
, HM – медиана => 
, 
5. 
=> 
6. 
, 
=> 
7. 
8. 
=> 
9. 
10. 
, 
Задача 4. Дан равногранный тетраэдр (тетраэдр называется равногранным, если все его грани равные между собой треугольники). Докажите, что, если его грани остроугольные треугольники, то центры вписанной и описанной сфер данного тетраэдра совпадают.
Будет ли верно данное утверждение, если не накладывать ограничение на вид граней равногранного тетраэдра?
Доказательство.
1. Построение центра описанной сферы:
· Пусть Е – центр окружности описанной около 
(центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника)
· 
=> l – множество точек равноудаленных от А, В и С.
· Плоскость 
к РС
=> 
· 
=> E лежит внутри
2. Радиусы окружностей, описанных около всех граней, равны т. к все грани равные между собой треугольники => 
(К – центр окружности описанной около 
РАВ)
3. 
(по гипотенузе 
и катету 
) => OE=OK= 
4. Если грани прямоугольные или тупоугольные треугольники, то центр описанной окружности – это середина гипотенузы или вне треугольника => О – вне тетраэдра => не может быть центром вписанной сферы.
Задача 5. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину диагонали и перпендикулярно к ней. Найдите площадь сечения, если ребро куба равно а.
Построение:
1. 
=> 
2. 
=>
3. 
в 
, где 
- середина стороны 
, 
- середина стороны 
4. Аналогично имеем: 
· 
=> 
, 
· 
=> 
· 
К
· 
5. 
Задача 6. Ось прямого кругового конуса совпадает с ребром куба, а его боковая поверхность касается шара, вписанного в куб. Найдите объем конуса, если ребро куба равно 2.
Решение.
1. Рассмотрим сечение тел плоскостью α: 
(диагональ квадрата)
2. 
3. КО=КЕ, 
(свойство касательных)
4. 
АК=DC, 
, 
5. 
