Примеры решения задач по «Механике»

Примеры решения задач по «Механике»

Пример решения задачи № 1

Дано: схема конструкции (рис.1); , , , .

Определить реакции связей и опор.

Решение: Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных ко всей конструкции (рис.2). Согласно рисунку система содержит четыре неизвестные реакции:

Уравнений статики для их определения можно составить только три, т. к. система сил плоская.

Недостающее уравнение статики получим, если конструкцию разделим по шарниру В на две (рис. 3а, б).

Тогда по рис.3б составим уравнения статики не только для определения реакции опоры С, но и реакции связи В:

; , где ;

; ;

; .

Решение этой системы уравнений даёт:

; ; ; .

По рис. 3а составим уравнения статики для определения реакции опоры А:

; ,

; ;

;

Решение этой системы уравнений дает:

; ; ;

.

Уравнения статики, составленные по рис. 2, могут служить для проверки правильности ответов, полученных по предыдущим уравнениям:

;

; ;

; ;

Подстановка в эти уравнения найденных по предыдущим уравнениям ответов свидетельствует, что найденные реакции верны.

Результаты расчетов предоставлены в таблице.

Пример решения задачи № 2

Дано: схема пространственной конструкции (рис. 1); , , , .

Определить реакции опор.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции (рис. 2).

;

;

;

Согласно рисунку система содержит шесть неизвестных составляющих реакций Так как конструкция пространственная, то для определения этих неизвестных можно составить шесть уравнений статики. Для этого примем за полюс, например, точку В и поместим в ней прямоугольную систему координат . Тогда получим следующую систему уравнений статики:

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Из этих уравнений найдем: , , , , , .

, .

Для проверки правильности полученных ответов следует составить другие уравнения статики, взяв, например, за полюс другую точку.

Пример решения задачи № 3

Схема нагружения бруса предоставлена на рис. 1.

Дано: , , , , , , , , .

Требуется найти продольные силы , нормальные напряжения и перемещения на участках . Результаты расчетов предоставить соответствующими эпюрами.

Для определения продольных сил используем метод сечений. Его следует применить столько раз, сколько раз меняется нагрузка по длине бруса. В нашем случае – три раза (сечения 1-1, 2-2, 3-3, рис. 1). При каждом сечении будем оставлять правую часть бруса, а левую – отбрасывать, чтобы не определить реакции опоры А.

Сечение 1-1 (рис. 2).

Длина отсеченной части . Неизвестную внутреннюю продольную силу найдем из уравнения статики , т. е. откуда .

*) Результат получился положительным, т. е. направления оказалось правильным и согласно рис. 2 сжимает участок . Такую внутреннюю силу будем считать отрицательной и на эпюре откладывать вниз.

Поскольку в уравнении длина участка не вошла, то сила постоянна на всем участке бруса.

Площадь поперечного сечения участка бруса также постоянна, поэтому постоянна на всем участке и направление:

.

Изменение длины участка

,

а т. к. сжимает участок, то максимальное изменение длины участка (сжатие)

.

Сечение 2-2 (рис. 3).

Длина отсеченной части , где . Неизвестную внутреннюю продольную силу найдем из уравнения статики для второго участка :

,

откуда . Она так же постоянна на всем участке , т. к. в уравнении не вошла длина , так же сжимает участок и поэтому на эпюре сил откладывается вниз от оси бруса.

Направление на участке :

.

Изменение длины участка

,

Максимальное изменение длины участка (сжатие)

.

Сечение 3-3 (рис. 4).

Длина отсеченной части , где . Неизвестную внутреннюю продольную силу найдем из уравнения статики для третьего участка :

,

откуда .

Сила постоянна на всем участке ( в уравнение не входит), имеет обратное направление, т. е. растягивает участок, поэтому на эпюре откладывается вверх от оси бруса.

Напряжение на участке :

.

Максимальное изменение длины участка (растяжение):

.

Пример решения задачи № 4

Схема нагружения бруса представлена на рис. 1.

Дано: , , , , , , , .

Требуется найти крутящие моменты и на участках АВ и ВС бруса, подобрать диаметры поперечных сечений (размер стороны квадрата) на этих участках по условиям прочности , и жесткости , . Принять единый размер поперечного сечения для обоих участков, для принятого размера сечения найти углы закручивания участков и угол поворота свободного конца бруса , , . Построить эпюры крутящих моментов и углов поворота сечений бруса. Результаты расчета представить в таблице:

100	300	20,51	24,26	37,90	39,90	40	2,527	4,185	6,712

1.  Определение крутящих моментов на участках АВ и ВС.

Для определения крутящих моментов и используют метод сечений. Перемещения точек (отсчитываются от заделки):

;

;

;

.

Проверка величины перемещения свободного конца с помощью принципа независимости действия сил.

От силы перемещение

;

От силы перемещение

;

От силы перемещение

.

Суммарное перемещение от всех трех сил

, т. е. .

Сечение 1-1 (рис.2).

Длина отсеченной части , где . Неизвестный крутящий момент на участке АВ найдем из уравнения статики .

Для этого участка: ,

откуда .

Сечение 2-2 (рис.3).

Длина отсеченной части . Неизвестный крутящий момент на участке ВС найдем из уравнения статики .

Для этого участка: , откуда .

2.  Подбор диаметров поперечных сечений на участках АВ и ВС по условию прочности: .

;

.

3.  Подбор диаметров поперечных сечений на участках АВ и ВС по

условию жесткости: .

;

.

4.  Единый диаметр для обоих участков – наибольший из четырех - .

5.  Углы закручивания участков АВ и ВС

;

.

6.  Углы закручивания сечений ;

;

.

7.  Эпюры крутящих моментов и углов поворота сечений бруса представлены на рис.4.

Пример решения задачи № 5

Схема нагружения балки представлена на рис. 1.

Дано: ; ; ; .

Требуется: построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил ; определить положения сечений, в которых поперечные силы равны 0 и найти изгибающие моменты для этих сечений. Все расчеты данные свести в таблицу.

1.  Определение опорных реакций. Используем уравнения равновесия статики:

; , .

; , .

2.  Для определения изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях воспользуемся методом сечений.

Сечение 1-1 (рис. 2).

. Уравнения статики для этого участка (участок АВ на рис.1):

; , откуда .

На всем участке АВ постоянна.

; , откуда .

При (в т. А)

При (в т. В) .

Сечение 2-2 (рис.3) оставим правую часть.

. Уравнения статики для этого участка (участок ВС на рис.1):

; , откуда .

; , откуда .

При (в т. С) ,

При (в т. В) ,

.

Сечение 3-3 (рис.4) оставим правую часть.

. Уравнение статики для этого участка (участок СD на рис.1):

; (постоянна на всем участке СD).

; , откуда - постоянен на всем участке СD.

3.  Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил представлены на рис. 5.

Пример решения задачи № 10

Схема нагружения балки представлена на рис.1, а форма поперечного сечения балки – на рис.2.

Дано: ; ; ; .

Требуется: 1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил . Для этого определим сначала реакции и опор А и В, составив два уравнения статики:

; ;

; ;

Из них найдем: ,

.

Для определения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки используем метод сечений.

Сечение 1-1 (рис.3).

. Уравнения статики для этого участка (участок АС на рис.1):

; ; .

; ; .

Из этих уравнений следует: поперечная сила на всем участке постоянна (т. к. в уравнение не входит), а изгибающий момент изменяется по закону наклонной прямой линии, т. к. входит в уравнение в первой степени и в точке А, где , , а в точке С, где , .

Сечение 2-2 (рис.4).

. Уравнения статики для участка CD (рис.1 и 4):

; , .

; , .

Из этих уравнений следует: на участке CD поперечная сила изменяется по закону наклонной прямой линии т. к. входит в уравнение в первой степени, а изгибающий момент изменяется по параболе, т. к. входит в уравнение во второй степени.

При , ,

.

При , ,

.

Сечение 3-3 (рис.5).

. Уравнения статики для участка DE (рис.1 и 5):

; , .

; , .

Из этих уравнений следует, что на участке DE поперечная сила и изгибающий момент изменяются по тем же законам, что и на участке CD.

При , ,

.

При , ,

.

Сечение 4-4 (рис.6).

. Уравнения статики для участка ЕВ (рис.1 и 6).

; ; ;

; ; .

Из этих уравнений следует, что поперечная сила на всем участке ЕВ (как и на участке АС) постоянна, а изгибающий момент изменяется по закону наклонной прямой:

При , ,

При , .

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил представлены на рис.7.

2.  Составить универсальное уравнение упругой линии:

·  Для углов поворота:

;

·  Для прогибов:

Константы и найдем из второго уравнения, приняв во внимание, что прогибы балки на опоре А (при ) и на опоре В (при ) равны нулю. Воспользовавшись дважды уравнением для прогибов, получим (отбросив члены отрицательные в скобках):

,

при , ,

откуда .

Тогда окончательно получим:

;

.

3.  Определить:

·  Координату центра тяжести поперечного сечения (рис.8):

.

Здесь и - координаты центра тяжести площадей и .

·  Момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси :

.

·  Толщину стенки поперечного сечения балки из условия жесткости в сечении .

При ,

По условию , ,

Тогда , .

Отсюда .

·  Углы поворота оси балки и на опорах А и В.

При , ,

Откуда .

при ,

.

4.  Результаты расчета представлены в таблице.

	-
2,25	2,75			-1,917	0	14	2,389	-0,0035	0,0017

·  Прогиб балки в сечении, расположенные сосредоточенной силой (т. е. при ):