МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
С. Б.КЛИМЕНТОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по курсу дифференциальной геометрии для студентов математиков
2-го курса механико-математического факультета
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Ростов-на-Дону
1988
Печатается по решению редакционно-издательской комиссии механико-математического факультета РГУ (протокол от 3 июня 1988 года).
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания предназначены для студентов второго курса механико-математического факультета, изучающих дифференциальную геометрию (математиков и механиков). Они содержат доступное изложение основных понятий тензорной алгебры на n - мерном евклидовом пространстве и тензорных полей на двумерной поверхности (кроме ковариантного дифференцирования).
С использованием тензорного аппарата выводятся деривационные формулы и основные уравнения теории поверхностей. Разбирается ряд примеров тензоров, тензорных полей, операций над тензорами и тензорными полями.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. , , Линейная алгебра и многомерная геометрия. -
М.,1970.
2. , Основы тензорного анализа и теории ковариантов. - М., 1978.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. , Основы теории поверхностей. - Т.1, Т.2. - М., 1948.
2. , Тензорный анализ для физиков. - М., 1965.
Тензор - совокупность чисел, присоединённых к точке пространства и определяющих там некоторый объект (геометрический или физический). Следовательно, сам тензор зависит от точки, а не от выбранной системы координат, хотя компоненты тензора при изменении системы координат меняются.
Эли Картан, Риманова геометрия в ортогональном репере, с.74.
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О п р е д е л и т е л ь Г р а м а
Предположим, что в произвольном действительном линейном пространстве L дана квадратичная форма 
и конечная система векторов 
.
О п р е д е л е н и е. Определителем Грама для квадратичной формы 
и системы векторов 
называется величин
Т е о р е м а 1.1 .Пусть квадратичная форма 
положительно определена. Тогда, если векторы 
линейно независимы, то 
. Если векторы зависимы, то 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы линейно независимы. В таком случае они составят базис в своей линейной оболочке 
. Произвольный вектор 
можно записать в виде
.
Будем рассматривать 
на векторах из 
.В базисе имеем
Так как положительно определена на всём пространстве L, то она положительно определена и на подпространстве 
, так что по критерию Сильвестра
(1.1)
Заметим, что 
. Отсюда и из(1.1)
Пусть теперь 
линейно зависимы. Тогда найдутся числа 
, не все равные нулю, для которых
,
где 
- нулевой элемент линейного пространства L. Подставим в тождество
.
Придавая i значения 1,…,k, получим однородную систему K линейных уравнений с К неизвестными:
Эта система заведомо имеет ненулевое решение 
, то есть её определитель равен нулю:
.
Теорема 1.1 доказана.
К о в а р и а н т н ы е и к о н т р а в а р и а н т н ы е к о о р д и н а т ы в е к т о р а.
Рассмотрим n - мерное евклидово пространство 
и базис 
в этом пространстве. Любой вектор 
может быть разложен по этому базису:
. (1.2)
В последнем равенстве в (1.2) использовано следующее с о г л а ш е н и е о с у м м и р о в а н и и : если в выражении один и тот же индекс встречается вверху и внизу, то по нему производится суммирование от 1 до n, где n - размерность рассматриваемого пространства. Это соглашение называют также правилом Эйнштейна. Далее оно будет использоваться без специальных оговорок.
При переобозначении индекса суммирования сумма, очевидно, не изменяется, в связи, с чем индексы, по которым производится суммирование, иногда называют "глухими":
Числа 
в (1.2) называются контравариантными координатами вектора 
в базисе 
(смысл этого термина разъяснён ниже). Очевидно, числами вектор определяется однозначно.
Числа 
(где 
- скалярное произведение вектора на вектор в ) называют ковариантными координатами вектора . Если векторы базиса единичные, то 
- ориентированная длина проекции вектора на
Л е м м а 1.1. Ковариантными координатами вектор определяется однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Подставим в выражение разложение вектора из (1.2). При 
получим для систему линейных уравнений:
(1.3)
Так как 
- базис в , определитель системы (1.3):
по теореме 1.1, где 
.
Таким образом, контравариантные координаты вектора однозначно определяются ковариантными координатами .
Лемма 1.1 доказана.
Любые n линейно независимых векторов 
, также образуют базис, в , который будем называть новым базисом, а 
- старым базисом.
Разложим векторы нового базиса по старому базису:
или, сокращённо,
(правило Эйнштейна!). (1.4)
Матрица 
называется матрицей преобразования базиса : как известно из курса линейной алгебры, 
Обратный переход
(1.5.)
имеет матрицу 
, обратную матрице 
:
(
- символы Кронекера), 
.
П р е о б р а з о в а н и е к о о р д и н а т в е к т о р а п р и з а м е н е б а з и с а.
В формулу 
подставим выражение для 
из (1.4):
то есть
(1.6.)
Закон преобразования ковариантных координат тот же, что при преобразовании векторов базиса в (1.4), откуда их название - ковариантные, что значит "сопреобразующиеся".
В разложение вектора 
подставим выражение через 
из формулы (1.5); получим
В силу единственности коэффициентов разложения вектора по базису, отсюда имеем
(1.7.)
Таким образом, преобразование контравариантных координат аналогично обратному преобразованию базиса (1.5), откуда название – контравариантные, что значит "противопреобразующиеся".
О б р а щ е н и е ф о р м у л п р е о б р а з о в а н и я.
Умножим формулы (1.6) на матрицу 
; получим, 
что эквивалентно 
то есть
.
Чтобы иметь полную аналогию с (1.7), переобозначим "глухой" индекс 
на 
. Окончательно получим
(1.8)
Аналогично, умножением (1.7) на матрицу 
, получим формулы перехода от новых контравариантных координат к старым:
(1.9)
М е т р и ч е с к а я ф о р м а е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а .
Рассмотрим скалярное произведение векторов:
Обозначим 
, тогда
(1.10)
Числа 
позволяют вычислять скалярное произведение векторов и 
с помощью их контравариантных координат. Квадратичную форму 
называют метрической формой пространства . Элементы её матрицы 
называют ковариантными коэффициентами метрической формы пространства (смысл такой терминологии разъяснён в следующем параграфе).
Покажем, что с помощью матрицы можно выразить ковариантные координаты вектора через контравариантные.
Подставим в формулу, определяющие ковариантные координаты, разложение вектора по базису 
: 
получим
,
или
(1.11)
Переход от контравариантных координат вектора к ковариантным называют опусканием индекса. Покажем, что аналогично (1.11) можно выразить контравариантные координаты вектора через ковариантные, но с участием матрицы, обратной матрице .
Обозначим 
элементы матрицы, обратной к .
Умножим формулы (1.11) на матрицу 
:
или, окончательно,
. (1.12)
Операцию перехода от ковариантных координат к контравариантным называют поднятием индекса, а элементы матрицы - контравариантными коэффициентами метрической формы пространства.
Отметим, что операция поднятия и опускания индексов позволяет получить следующие выражения для скалярного произведения векторов:
(1.13)
2. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ. ТЕНЗОРЫ
О п р е д е л е н и е п о л и л и н е й н о й ф о р м ы. Пусть задана вещественнозначная функция 
от m векторных аргументов, принадлежащих :
(2.1)
Она называется полилинейной формой, если линейна по каждому аргументу, то есть
З а п и с ь п о л и л и н е й н о й ф о р м ы в к о о р д и н а т а х. Пусть в пространстве введён некоторый базис . Тогда каждый вектор 
имеет единственное разложение
.
Подставим эти векторы в качестве аргументов в (2.1), В силу полилинейности формы F будем иметь:
Введём обозначение
(здесь 
- действительные числа), после чего получим выражение для F в координатах:
(2.2)
Ясно, что полилинейная форма F полностью определяется коэффициентами , то есть своими значениями на векторах базиса.
В частном случае m=1 (линейной функции F), выражение (2.2) принимает вид
,
где 
- некоторый вектор в .
О п р е д е л е н и е т е н з о р а. Тензором валентности m (на евклидовом пространстве ) называется полилинейная форма m аргументов. Коэффициенты 
этой формы называются ковариантными компонентами тензора в данном базисе.
З а к о н п р е о б р а з о в а н и я к о в а р и а н т н ы х к о м п он е н т о в т е н з о р а п р и и з м е н е н и и б а з и с а. Рассмотрим в, как и выше два базиса: старый 
и новый 
В силу (2.2) и (1.9) будем иметь:
Поскольку полилинейные формы совпадают тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты, отсюда имеем закон преобразования ковариантных компонент тензора при изменении базиса:
(2.3)
Умножая формулы (2.3) на матрицы 
получим
или
(2.4)
К о н т р а в а р и а н т н ы е и с м е ш а н н ы е к о м п о н е н т ы т е н з о р а. Выражение (2.2) для полилинейной формы в координатах можно переписать, перейдя для некоторых аргументов от контравариантных координат к ковариантным:
Коэффициенты формы
в этом случае называются смешанными компонентами тензора; при этом говорят, что индексы 
и 
получены поднятием индексов i и k, а место, с которого они подняты, принято обозначать точкой (это нужно для того, чтобы из вида коэффициентов знать, у каких по счёту аргументов в выражении для формы участвуют ковариантные координаты).
Если осуществлено поднятие всех индексов, то полученные компоненты тензора называют контравариантными и внизу точки не ставят, так как порядок индексов наверху определяет их порядок внизу:
При этом
(2.5)
Формулы обратного преобразования
(2.6)
получаются умножением (2.5) на матрицы 
.
З а к о н п р е о б р а з о в а н и я с м е ш а н н ы х к о м п о н е н т т е н з о р а. Пусть 
старый базис в , а 
- новый базис.
Запишем выражение F в координатах в новом и старом базисах и воспользуемся формулами (1.9):
Поскольку полилинейная форма определяется своими коэффициентами, отсюда имеем
(2.7)
Таким образом, каждый ковариантный индекс тензора преобразуется как ковариантный индекс координат вектора; каждый контравариантный индекс тензора - как контравариантный индекс вектора. В связи с этим правило преобразования нижних индексов называется ковариантным, верхних - контравариантным.
Для установления формулы обратного преобразования, умножим (2.7.) на
0тсюда получим выражение старых смешанных компонентов тензора через новые:
(2.8)
Компоненты тензора третьей валентности 
называются дважды ковариантными и один раз контравариантными.
Аналогично для любой валентности, например 
- дважды ковариантные и дважды контравариантные компоненты.
Указание численного значения компонент тензора и только лишь количества ковариантных и контравариантных индексов не описывает тензор полностью, например, 
и 
- различные тензоры (компоненты различных, вообще говоря, форм), важен ещё порядок расположения индексов.
В т о р о е о п р е д е л е н и е т е н з о р а.
Система, величин 
, которая при замене базиса (системы координат) преобразуется по закону
(2.9)
называется дважды ковариантным и один раз контравариантным тензором. Аналогично для любой валентности.
Покажем, что система величин , преобразующаяся по закону (2.9), может служить коэффициентами инвариантной полилинейной формы, заданной следующим образом:
(2.10)
Для этого необходимо и достаточно показать, что функция (2.10), с учётом закона преобразования её коэффициентов, не зависит от выбора координат, то есть, является функцией векторов, а не их координат.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем выражение (2.10) в новых координатах, а затем подставим в него (2.9), (1.6) и (1.7). Получим
чем доказана независимость (2.10) от выбора системы координат.
Таким образом, система величин, преобразующаяся по закону (2.9), представляет собой коэффициенты инвариантной полилинейной формы: в то же время коэффициенты инвариантной полилинейной формы преобразуются по этому закону, что означает эквивалентность двух данных определений тензора. Второе менее естественно, но бывает удобнее при решении конкретных задач.
Например, согласно второму определению, координаты вектора (ковариантные либо контравариантные) являются ковариантными либо, соответственно, контравариантным, тензором валентности единица (см. (1.6) и (1.7)). Таким образом, вектор - это система величин, преобразующаяся по закону (1.6) или (1.7), что совсем не естественно; однако при решении большинства задач, в которых участвуют векторы, гораздо удобнее представлять вектор координатами, чем направленным отрезком.
Аналогично этому примеру в общем случае тензор - это система чисел, при замене координат преобразующаяся по известному закону, то есть зависящая от выбора системы координат ; однако эти числа описывают в координатах какой-либо инвариантный геометрический или физический объект либо свойство (например, метрику пространства). Как показано выше, эту систему чисел всегда можно трактовать как коэффициенты инвариантной полилинейной формы.
3. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
В этом параграфе мы займёмся тензорной алгеброй, то есть рассмотрим основные инвариантные операции, позволяющие по тензорам составлять новые тензоры. Инвариантность этих операций нужно понимать в том смысле, что, примененные к данным тензорам, они дают в результате вполне определённый тензор, не зависящий от того, в какой координатной системе происходит выкладка.
Р а в е н с т в о т е н з о р о в понимаем как равенство форм. Тензоры равны тогда и только тогда, когда в данном базисе равны их компоненты одинаковой структуры (например, ковариантные).
Н у л ь - т е н з о р - это тождественно равная нулю форма. Очевидно все её коэффициенты любой структуры - нули (в любом базисе).
С л о ж е н и е т е н з о р о в - это сложение форм от одинаковых аргументов, то есть, если 
то форму h называют суммой форм f и g. В координатах:
или
(3.1)
Поскольку равенство (3.1) справедливо при произвольных 
оно эквивалентно равенству
, (3.2)
которое задаёт компоненты суммы тензоров как сумму компонент одинаковой структуры. Складываются всегда тензоры одной валентности, а при задании суммы через компоненты суммируются компоненты одной структуры с одинаковыми индексами. Например,
У м н о ж е н и е т е н з о р о в - это умножение форм
с заданным порядком следования аргументов. Обозначается 
. Умножение тензоров, вообще говоря, не коммутативно, так как, вообще говоря
При умножении тензоров компоненты (неважно какой структуры у каждого сомножителя) перемножаются. Заданный порядок аргументов у произведения форм задаёт порядок индексов у произведения компонент:
Если 
, то 
.
С и м м е т р и ч н ы е и к о с о с и м м е т р и ч н ы е т е н з о р ы. Если полилинейная форма не изменяется при перемене местами двух её аргументов, например
то говорят, что она симметрична по этой паре аргументов. В координатах при этом будем иметь
откуда 
, то есть симметрия полилинейной формы по паре аргументов влечёт за собой симметрию её коэффициентов соответствующей паре одноимённых (ковариантных либо контравариантных) индексов. Обратное очевидно.
Полилинейная форма называется симметричной, если она симметрична по каждой паре аргументов: симметричной форме соответствуют симметричные по всем ковариантным (либо контравариантным) индексам коэффициенты.
П р и м е р. 
- метрическая форма пространства - симметричный тензор.
Тензор 
называется кососимметричным по первому и третьему аргументам, если для 
Это свойство эквивалентно косой симметрии его компонент по соответствующим одноимённым индексам, например
Тензор называется кососимметричным (косым), если он кососимметричен по любой паре аргументов (его компоненты кососимметричны по любой паре одноимённых индексов).
С и м м е т р и р о в а н и е. Произвольному тензору второй валентности 
сопоставляется симметричный тензор 
по формуле
Эта операция называется симметрированием. С симметрированием тензора приходится иметь дело в тех случаях, когда его аргументы отождествляются. Именно, если
билинейная (вообще говоря, не симметричная) форма и мы строим квадратичную форму 
, то 
С в ё р т к а - специфичная операция с компонентами тензора, которая не укладывается в операции с формами.
Зафиксируем в компонентах тензора ковариантный и контравариантный индексы и произведём по ним суммирование: 
Эта операция называется свёрткой тензора по отмеченной паре индексов. Покажем, что в результате свёртки получится тензор валентности на две единицы ниже.
Если свёртка производится в произведении тензоров по индексам, принадлежащим различным множителям, то в этом случае говорят о свёртке двух тензоров по отмеченным индексам.
Это основная тензорная операция!
П р и м е р. 
(поднятие индекса)
Если у тензора одинаковое количество ковариантных и контравариантных индексов, то, попарно их, сворачивая, получим величину, не содержащую индексов, то есть не меняющуюся при замене координат - инвариант.
П р и м е р: 
.
Инвариант - это какая-то геометрическая характеристика.
А л ь т е р н и р о в а н и е. Операция альтернирования состоит в сопоставлении произвольному тензору (либо 
) кососимметрического тензора 
(соответственно 
) по формуле
Каждый тензор второй валентности представим в виде суммы симметрического и кососимметрического тензора:
=+
4.ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
В этом параграфе рассматриваются тензоры на плоскости и тензорные поля на двумерной поверхности. Понятие тензорного поля дословным повторением распространяется на любую размерность, но так как в курсе дифференциальной геометрии изучаются лишь двумерные поверхности, здесь ограничимся случаем n=2.
Пусть регулярная поверхность S отнесена к локальным параметрам 
. Обозначим 
радиус-вектор текущей точки поверхности S; 
. В каждой касательной плоскости поверхности векторы 
задают (аффинный) базис. При преобразовании локальных координат 
на поверхности с ненулевым якобианом
базис 
касательной плоскости в каждой точке поверхности преобразуется следующим образом (правило дифференцирования сложной функции):
(правило Эйнштейна!).
Обратное преобразование:
Таким образом, при преобразовании базиса в касательной плоскости роль матрицы играет матрица 
, а матрицы 
- матрица 
.
Пусть на векторах каждой касательной плоскости к поверхности задан тензор (например, третьей валентности):
.
Такого сорта форму называют тензорным полем на поверхности S; числа 
компонентами тензорного поля ; часто сами эти компоненты называют тензорным полем или тензором на поверхности, в данном случае один раз контравариантным и дважды ковариантным.
Закон преобразования компонент тензорного поля:
(4.1)
Матрицы преобразования, разумеется, так же, как и компоненты тензорного поля, зависят от точки поверхности и от её локальных координат . Часто, если невозможны недоразумения, зависимость компонент тензорного поля от точки поверхности не указывают:
.
Преобразование, обратное (4.1), имеет вид:
.
Правило выписывания таких формул при введённых обозначениях очень простое: справа, у матриц преобразования повторяются те же индексы, что и слева у тензора, причём в том же положении, что были слева - те, что внизу слева - также внизу справа; аналогично с верхними индексами. Затем они у матриц преобразования дополняются штрихованными индексами противоположного расположения (либо не штрихованными, если слова были штрихованные), которые суммируются с индексами компонент тензора, стоящих справа.
П р и м е р ы т е н з о р н ы х п о л е й.
1) Координаты 
векторного поля 
на поверхности - одновалентное контравариантное тензорное поле.
2) Первая квадратичная форма поверхности:
;
.
- дважды ковариантный симметричный тензор на поверхности - первый основной тензор поверхности.
3) Вторая квадратичная форма:
(4.2)
- дважды ковариантный симметрический тензор – второй основной тензор поверхности.
4) Положим 
в любой системе координат в любой точке поверхности. Проверим, что получим тензор:
- один раз ковариантный и один раз контравариантный тензор, называемый тензором Кронекера.
О п е р а ц и и н а д т е н з о р н ы м и п о л я м и осуществляются поточечно в каждой точке поверхности.
П р и м е р ы.
1) 
В каждой фиксированной точке поверхности это обычное сложение тензоров на касательной плоскости в этой точке.
2)Свёртка - поднятие индекса:
- смешанные компоненты второго основного тензора.
Докажем, что 
, где 
- средняя кривизна поверхности (инвариант).
5. ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
Пусть S - регулярная поверхность класса 
- её регулярная параметризация. Обозначим
где 
дискриминант первой квадратичной формы поверхности
.
Векторы 
линейно независимы и образуют базис в пространстве 
, следовательно, любой вектор можно разложить по этому базису. Выясним компоненты разложения по этому базису частных производных векторов базиса . Формулы, которые при этом будут получены, аналогичны формулам Френе в теории кривых и называются деривационными формулами теории поверхностей.
С и м в о л ы Х р и с т о ф ф е л я.
Предварительно введём в рассмотрение специальные символы. Продифференцируем по 
соотношение 
. Получим
(5.1)
В равенстве (5.1) дважды пере обозначим индексы по схеме
 |
(такая операция называется также циклической подстановкой индексов). В результате будем иметь:
(5.2)
(5.3)
Учитывая симметрию скалярного произведения и частных производных 
сложим равенства (5.1) и (5.2), из их суммы вычтем (5.3), а результат умножим на 
. В итоге получим
(5.4)
Для величины в правой части введём обозначение
(5.5)
Числа 
называют символами Христоффеля первого рода. Отметим, что
(5.6)
Из (5.4) непосредственно следует соотношение
(5.7)
дающее выражение частных производных метрического тензора через символы Христоффеля первого рода.
Величины
(правило Эйнштейна!) (5.8)
называют символами Христоффеля второго рода. Отметим, что из (5.6) непосредственно следуют соотношения
(5.9)
а из (5.8)
(5.10)
Символы Христоффеля - не тензоры (докажите!), однако к ним применяются тензорные операции поднятия и опускания индекса (5.8) и (5.10).
Непосредственно из определения следует, что символы Христоффеля зависят только от метрики поверхности и её параметризации.
Ф о р м у л ы Г а у с с а – В е й н г а р т е н а.
Разложим вектор 
по базису , пока с неопределенными коэффициентами:
(5.11)
Умножим (5.11) скалярно на 
. Так как 
получим 
.
Умножим теперь (5.11) скалярно на 
:
или
Свернём обе части последнего равенства с 
по индексу 
Таким образом, формулы (5.11) приобретают вид
(5.12)
Соотношения (5.12) называют формулами Гаусса.
Обозначим 
и разложим вектор 
по базису пока с неопределёнными коэффициентами:
(5.13)
В (5.13) компонента по отсутствует, так как дифференцированием по 
равенства 
получаем, 
то есть 
и принадлежит касательной плоскости поверхности.
Умножим (5.13) скалярно на :
или, с учётом (4.2),
(5.14)
Свернем обе части равенства (5.14) с по индексу k,
или
Окончательно формулы (5.1З) принимают вид:
, или 
(5.15)
Соотношения (5.15) называют формулами Вейнгартена.
6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Первая и вторая квадратичные формы поверхности не независимы. В этом параграфе будет получена связь между их коэффициентами. Предполагаем, что рассматривается регулярная поверхность S класса 
с регулярной параметризацией .
Вычислим третьи частные производные радиуса - вектора поверхности, исходя из формул Гаусса (5.12):
Выразив вторые производные радиуса - вектора и первые производные нормали по формулам Гаусса - Вейнгартена, будем иметь
Аналогично
Так как поверхность S класса , порядок дифференцирования радиуса - вектора не важен, поэтому
(6.1)
Равенство векторов (6.1) влечёт равенство их составляющих по векторам базиса 
,
,
. Приравняем составляющие 
и 
по 
Свернём по обе части этого равенства с 
Для преобразования частных производных метрического тензора воспользуемся равенствами (5.7):
Окончательно
Существенное равенство даёт комбинация значений 
. Остальные комбинации значений индексов либо приходят к тождеству 0 =0, либо дают уже полученное равенство:
(6.2)
Соотношение (6.2) называют уравнением Гаусса. Из формулы
и (6.2) получаем следующую формулу для гауссовой кривизны
6.3)
Из (6.3) следует.
Т е о р е м а (Г а у с с а). Гауссова кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные до второго порядка.
Теперь приравняем составляющие и по
.
Наборы значений индексов 
и 
дают существенные равенства. Остальные наборы значений дают либо тождество 0=0, либо уже имеющиеся равенства:
(6.4)
Равенства (6.4) называют уравнениями Петерсона - Кодацци.
Мы доказали, что если и - первый и второй основные тензоры регулярной поверхности класса, 
то их компоненты необходимо связаны соотношениями (6.2) и (6.4). Оказывается, эти соотношения являются и достаточными условиями того, чтобы тензоры и были первым и вторым основными тензорами поверхности. Именно, справедлива
О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о в е р х н о с т е й.
Для формулировки нам нужно ещё одно определение. Симметрический тензор называется положительно определённым, если положительно определена квадратичная форма 
.
Т е о р е м а. Пусть в односвязной области D - плоскости задан положительно определённый тензор 
и симметрический тензор, 
удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Петерсона-Кодацци.
Тогда в пространстве 
существует единственная с точностью до движения регулярная поверхность 
, параметризованная в области D, у которой и - первый и второй основные тензоры.
Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса.
