А. В. ЗЕЛЕНЦОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
Численное моделирование решений
системы лоренца
Рассматривается система дифференциальных уравнений Лоренца (1). Проведено численное исследование решений данной системы уравнений при постоянных значениях параметров σ=10 и b=8/3, и изменении параметра r от 0 до 500, для начальных условий вблизи начала координат. Численный расчет произведен методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Численное моделирование модели Лоренца
в зависимости от параметра r показало следующие характерные фазовые портреты:
1) При 0 < r < 1 система Лоренца имеет единственный аттрактор: устойчивую неподвижную точку в начале координат О(0,0,0) (рис.1).
Рис.1: r = 0.1 Рис.2: r = 10 Рис.3: r = 13.926
2) В случае 1 < r < 13,926 точка O теряет устойчивость, а аттракторами становятся две неподвижные, стационарные точки O1
, O2
(численно полученные значения для стационарных точек совпадают с аналитическими). Фазовые траектории приближаются к устойчивой точке по спирали, что соответствует затухающим осцилляциям. Чем больше параметр r, тем больше начальный размах этих осцилляций (рис.2, 3) .
3) При r ≈ 13.926 спирали, начинаются из нуля, попадают на его входящую кривую, образуя гомоклинические траектории вокруг устойчивой точки (рис.3).
4) В случае 13.926 < r < 24.06 стационарные точки O1 и O2 остаются устойчивыми, но траектории, сделав петлю вокруг одной стационарной точки, начинают спиралевидно стремиться к другой. При увеличении r размах осцилляций начинает уменьшаться (рис. 4, 5, 6).
Рис.4: r = 13.927 Рис.5: r = 17 Рис.6: r = 24.05
5) При r ≈ 24.06 стационарные точки O1 и O2 продолжают оставаться устойчивыми, но траектории, выходящие из точки O, не стремятся к ним, а наматываются на седловые траектории. Вместо предельного множества не являющегося аттрактором, возникает множество циклических траекторий, которое при r > 24.06 становится притягивающим (рис. 7).
6) В случае r ≈ 24.74 предельные циклы стягиваются к стационарным точкам O1,O2, и точки теряют устойчивость. Устойчивым становится некоторое предельное притягивающее множество - аттрактор Лоренца.
Рис.7: r = 24.06 Рис.8: r = 28 Рис.9: r = 148.9
7) В интервале 24.74 < r < 148.8 все стационарные точки O,O1 и O2 являются неустойчивыми. Устойчивым остается лишь аттрактор Лоренца. В динамической системе реализуется хаотический режим движения.
8) При 148.8< r <500 в фазовом пространстве вместо аттрактора Лоренца образуется предельный цикл, и движение в системе становится периодическим (рис. 9).
Таким образом, с помощью численного расчета, подтверждено существование аттрактора Лоренца, как нового типа стационарного режима движения, отличного от стационарной точки и предельного цикла.
Список литературы
1. Lorenz E. N. Deterministic non periodic flow J. Atmos. Scien., v. .20. №2. 1963.
2. Кудряшов теория нелинейных дифференциальных уравнений. Институт Компьютерных исследований, 2004.
