Справочный материал, комплексные числа

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом называется число вида , где и - действительные числа. Число называется действительной частью комплексного числа (), - мнимой частью комплексного числа (), - мнимая единица, обладающая свойством .

Комплексные числа и являются взаимно сопряженными.

Рис.1

Комплексное число может быть изображено на плоскости как точка с координатами . Ось Ox является действительной осью, ось Oy - мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (рис.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует радиус-вектор этой точки; его длина называется модулем комплексного числа , обозначается и вычисляется по формуле .

Угол между радиус-вектором и положительным направлением действительной оси называется аргументом комплексного числа и обозначается . Главным значением аргумента является значение из интервала , которое обозначается (). Таким образом, , .

Угол для любого определяется по формулам:

Формы записи комплексных чисел:

1. - алгебраическая форма;

2. - тригонометрическая форма;

3. - показательная форма.

Действия над комплексными числами:

1. Числа заданы в алгебраической форме ( и ):

·  Сумма ;

·  Произведение ;

·  Частное , где .

2. Числа заданы в тригонометрической форме ( и ):

·  Сумма (как в алгебраической форме);

·  Произведение ;

·  Частное .

3. Числа заданы в показательной форме (, ):

·  Сумма (как в алгебраической форме);

·  Произведение ;

·  Частное .

Возведение комплексных чисел в целую положительную степень определяется формулами:

если , то ;

если , то .

Корень -ой степени из имеет различных значений, которые находятся по формулам:

если , то

, где =0,1,… ;

если , то , где =0,1,… .

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Матрицы и определители.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел, имеющая строк и столбцов: , где - элементы матрицы, - размерность матрицы. Если , то матрица называется квадратной.

Определителем порядка называется число (обозначается одним из символов , или ), которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по следующим формулам:

при ;

при ;

при , - фиксированный столбец

или , - фиксированная строка,

где - алгебраическое дополнение элемента ; - минор элемента , который является определителем порядка, получаемый из  вычеркиванием его -ой строки и -ого столбца.

В частности, если , то при разложении по первой строке вычисление определителя имеет вид:

.

Для вычисления определителей 3-го порядка справедливо «правило треугольника»: определитель третьего порядка равен алгебраической сумме произведений элементов, стоящих по главной диагонали, и элементов, соединенных в треугольники «параллельно» главной диагонали, взятыми со знаком «плюс», а также произведений элементов, стоящих на побочной диагонали, и элементов, соединенных в треугольники «параллельно» побочной диагонали, взятыми со знаком «минус» (рис.2).

Рис.2

Основные свойства определителей:

1. Если все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

2. Если элементы двух строк (или столбцов) равны, то определитель равен нулю.

3. Если элементы двух строк (или столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если элементы строки (или столбца) представить в виде суммы, то определитель можно представить в виде суммы определителей:

.

6. При перестановке местами двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный.

7. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель , то значение определителя не изменится.

8. Если поменять местами строки определителя с соответствующими столбцами, то значение определителя не изменится: .

Решение систем линейных уравнений.

Система из линейных алгебраических уравнений с неизвестными имеет вид:

,

при этом - неизвестные, - коэффициенты системы, - свободные члены (правые части). В матричном виде данная система уравнений записывается в форме: , где

, , .

Если все члены правых частей равны нулю (), то система уравнений называется однородной.

Решением системы называется множество значений переменных, которые при подстановке обращают уравнения системы в тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если система не имеет решений.

Определителем системы называется определитель матрицы коэффициентов системы: .

Теорема. Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение для любого вектора .

Правило Крамера.

Если система имеет единственное решение, то его можно найти по формулам Крамера:

,

где - определитель, получаемый из определителя заменой j-го столбца на вектор .

Метод Гаусса (метод исключения).

Матрица является «ступенчатой», если она удовлетворяет следующим условиям:

1) первый элемент ее первой строки является ненулевым;

2) в каждой последующей ненулевой строке число первых нулевых элементов (до первого ненулевого) больше, чем в предыдущей строке.

Метод Гаусса основан на использовании элементарных преобразований над строками расширенной матрицы :

.

С помощью элементарных преобразований матрица приводится к «ступенчатому» виду (прямой ход метода Гаусса).

Для «ступенчатой» матрицы строится укороченная система уравнений Затем полученная укороченная система решается последовательной подстановкой, начиная с последней строки, что является обратным ходом метода Гаусса, в результате которого находится искомое решение системы . При этом если количество уравнений в укороченной системе равно количеству неизвестных, то система имеет единственное решение. Если количество уравнений в укороченной системе меньше количества неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Рис.3

Вектором называется направленный отрезок (рис.3). Обозначается вектор либо (-указывает его начало, В - его конец), либо .

Длина вектора называется модулем и обозначается или . Если длина вектора равна нулю, его называют нулевым. Если модуль вектора равен единице, то вектор называется единичным или ортом.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Векторы, имеющие одинаковую длину, но противоположные направления, называются противоположными.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Линейные операции над векторами.

1) Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора (рис.4). Обозначается как (правило треугольника).	Рис.4
Если начала векторов и совместить, то суммой будет являться диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (правило параллелограмма) (рис.5).	Рис.5

Свойства операции сложения:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. .

4. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

2) Разностью двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор , то есть . Обозначается как .

Чтобы вычесть из вектора вектор необходимо к добавить вектор .

3) Умножением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. коллинеарен вектору .

2. сонаправлен с вектором , если ; противоположнонаправлен с вектором , если .

3. .

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (распределительное свойство).

Если два вектора и определены своими декартовыми координатами , , тогда скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:

.

Угол между двумя векторами и определяется по формуле

.

Признак перпендикулярности двух векторов: Два ненулевых вектора являются перпендикулярными, если равно нулю их скалярное произведение.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: ;

2) вектор перпендикулярен к каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Геометрический смысл векторного произведения: есть площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) для любого вектора .

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами и , то векторное произведение этих векторов имеет вид:

или .

Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

.

Геометрический смысл смешанного произведения: Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если тройка векторов левая. Если же векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Если три вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами , , , то смешанное произведение равняется значению определителя:

.

Условием компланарности трех векторов , , является равенство нулю определителя, строками которого служат координаты этих векторов:

.

Свойства смешанного произведения:

1. .

2. Циклическая перестановка векторов не меняет значения смешанного произведения: ==.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Виды уравнений прямой на плоскости:

1) - общее уравнение прямой, где - вектор нормали прямой.

2) - уравнение прямой, проходящей через заданную точку с нормальным вектором .

3) - уравнение прямой в отрезках, где a и b - отрезки, отсекаемые прямой на осях координат и .

4) - каноническое уравнение прямой, где - направляющий вектор прямой, точка лежит на прямой.

5) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и .

6) - параметрическое уравнение прямой, где - направляющий вектор прямой, точка лежит на прямой, - произвольный параметр.

7) - уравнение прямой с угловым коэффициентом, где , - угол наклона прямой к оси .

8) - уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящей через точку .

Если две прямые заданы общими уравнениями и , то косинус угла между прямыми и равен:

.

Условие параллельности прямых. Если прямые и параллельны, то векторы и коллинеарны, то есть

.

Условие перпендикулярности прямых. Если прямые и перпендикулярны, то .

Расстояние от точки до прямой есть

.

Виды уравнений плоскости в пространстве:

1) - общее уравнение плоскости, где - уравнение нормали к плоскости.

2) - уравнением плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором .

3) - уравнением плоскости в отрезках, где a, b, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях , , .

4) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

Расстояние от точки до плоскости :

.

Если две плоскости заданы своими общими уравнениями и , то угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и :

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей и :

.

Условие параллельности двух плоскостей и :

.

Виды уравнений прямой линии в пространстве:

1) - каноническое уравнение прямой, где - направляющий вектор прямой, точка лежит на прямой.

2) - параметрическое уравнение прямой, где - направляющий вектор прямой, точка лежит на прямой, - произвольный параметр.

3) уравнение прямой как пересечение двух непараллельных плоскостей.

4) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , .

Угол между двумя прямыми и определяется углом между направляющими векторами этих прямых:

.

Кривые второго порядка на плоскости.

Эллипс.

- каноническое уравнение эллипса с полуосями a, b (рис.6). Величина называется эксцентриситетом эллипса

Рис.6

() и характеризует «сплюснутость» эллипса вдоль полуоси a .

- каноническое уравнение эллипса с полуосями a, b в системе координат, перенесенной в точку .

Гипербола.

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями a, b (рис.7). Величина называется эксцентриситетом гиперболы () и характеризует «сплюснутость» гиперболы вдоль полуоси a .

Рис.7

Прямые являются асимптотами гиперболы.

- каноническое уравнение гиперболы с полуосями a и b в системе координат, перенесенной в точку .

Парабола.

- каноническое уравнение параболы (рис.8). Прямая называется директрисой параболы. - каноническое уравнение параболы в системе координат, перенесенной в точку .

Рис.8

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть и - два числовых множества. Если каждому значению по определенному правилу поставлено в соответствие число , то говорят, что на задана функция , где - закон, по которому устанавливается соответствие. Множество называется областью определения функции . Множество называется областью значений .

Естественной областью определения (ОДЗ) функции называется множество значений , для которых формула имеет смысл.

Функция является четной, если для любого выполняется: 1) ;

2) .

График четной функции симметричен относительно оси .

Функция является нечетной, если для любого выполняется:

1) ;

2) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция является периодической с периодом Т, если существует такое, что = для всех .

Функция называется возрастающей, если для любых , , , выполняется .

Функция называется убывающей, если для любых , , , выполняется .

Предел функции.

Пусть функция определена на множестве . Число называется пределом функции в точке

,

если для любого существует такое, что для любого из неравенства следует неравенство .

Если существуют конечные пределы , , то справедливы следующие равенства:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  , если .

Функция называется бесконечно малой при x стремящемся к а, если . Сумма любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой; произведение бесконечно малой на функцию, ограниченную в окрестности точки а, является бесконечно малой.

Если , то функция называется бесконечно большой при x стремящемся к а. Если бесконечно малая, то является бесконечно большой при стремящемся к а. Если - бесконечно большая при стремящемся к а, то является бесконечно малой при стремящемся к а.

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел: , .

Второй замечательный предел применяют для раскрытия неопределенностей вида .

Непрерывность функции.

Функция называется непрерывной в точке , если определена в точке и

.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что - точка разрыва функции .

Характер точек разрыва:

· Если, но функция либо не определена в точке , либо , то - точка устранимого разрыва функции .

· Если и существуют и конечны, но не равны друг другу, то - точка разрыва первого рода функции .

· Во всех остальных случаях - точка разрыва второго рода функции .

Функция называется непрерывной на интервале если непрерывна в каждой точке .

Асимптоты графика функции.

Если точка является точкой разрыва II рода функции (выполнено хотя бы одно из условий , ), то прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Наклонной асимптотой графика функции называется такая прямая , расстояние от которой до переменной точки кривой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат ().

Для того, чтобы прямая была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

,

.

Замечание. При и при асимптоты могут быть различны, либо может существовать только одна из них.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производной функции в точке называется предел

,

если этот предел существует и конечен.

Производная обозначается одним из символов: , , , .

Основные правила дифференцирования.

Пусть и - дифференцируемые функции, - постоянная величина. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования:

1. .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

Таблица производных.

1) , .
2) .	3) .
4) , , .	5) .
6) .	7) .
8) .	9) .
10) .	11) .
12) .	13) .

Производная сложной функции.

Пусть - сложная функция от , то есть , где , или . Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов в точках и соответственно, то сложная функция тоже дифференцируема в точке и

.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть . Откуда следует

.

Если уравнение , неразрешенное относительно , определяет как однозначную функцию от , то называется неявной функцией от .

Чтобы найти производную такой функции, необходимо обе части уравнения продифференцировать по , считая функцией от . Из полученного уравнения алгебраически выражается искомая производная .

Если функция задана параметрически уравнениями

, ,

где функции , дифференцируемы и , то производная функции есть

.

Раскрытие неопределенностей.

Правило Лопиталя. Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , причем в этой окрестности , или , и существует , то существует и , при этом .

Замечание. Предельная точка может быть как конечным числом, так и бесконечностью.

Неопределенность вида и раскрываются непосредственно применением правила Лопиталя, однократным или неоднократным.

Неопределенности вида сводятся к неопределенностям вида и путем алгебраических преобразований (приведение к общему знаменателю).

Неопределенности вида сводятся к неопределенностям вида и путем алгебраических преобразований (один из множителей или переносится в знаменатель).

Неопределенности вида , и с помощью основного логарифмического тождества сводятся к неопределенности вида :

.

Дифференциал функции.

Если функция дифференцируема в точке , то , где при .

Главная часть приращения функции , линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается :

.

Для независимой переменной справедливо равенство , поэтому:

.

Так как , то верна формула для приближенного вычисления значения функции, которая имеет вид:

.