11 класс

11 класс

Задание 4

1. Решите уравнение .

Решение. Поскольку и , , то

,

то есть

.

Равенство достигается, только если одновременно выполнены условия:

Û Û Û , .

Ответ: , .

2. Решите неравенство .

Решение. Заметим, что функции , периодические с периодом . В частности, справедливы равенства

и

Построим график функции на периоде, т. е. на отрезке . Для этого наносим точки с абсциссами на координатную плоскость и соединяем их прямолинейными отрезками. Продолжаем график на всю прямую, используя то, что исходная функция является периодической с периодом . Затем построим график прямой .

Решим уравнение

,

а затем методом интервалов решим исходное неравенство. Так как функция удовлетворяет условиям , на участке решений уравнения нет (значения функции на этих участках выходит за отрезок ). Для функции имеем

Следовательно,

Û ,

Û ,

Û .

Остается применить метод интервалов к неравенству :

Þ , ,

Þ , ,

Þ , ,

Þ , .

Таким образом, приходим к ответу.

Ответ: .

3. Решите уравнение .

Решение. Поскольку , получим . Но . Поэтому уравнение имеет решение только в том случае, если

Единственным корнем первого уравнения системы является , который удовлетворяет и ее второму уравнению.

Ответ: 3.

4. При каких значения уравнение имеет ровно два корня, лежащих на отрезке ?

Решение. Преобразуем исходное уравнение.

Û Û ,

где , . При исходное уравнение принимает вид , а это уравнение решений не имеет, так как левая часть строго больше 2.

Таким образом, необходимо решить уравнение

при , . Разберем три случая.

1. Если , то решений нет, так как

.

2. Если , то снова решений нет, так как

3. Значения , очевидно, являются корнями уравнения.

Итак, случай дает решение , которое принадлежит отрезку при любых .

Случай дает решение . Найдем условие на , при котором решение принадлежит отрезку :

Û Û .

Ответ: .

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (ABCD – основание), все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и BC.

Решение. Прямая BC параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой BC до плоскости SAD.

Пусть E и F соответственно середины ребер AD и BC. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем: EF=1, SE=SF=, высота SO равна . Для площади S треугольника SEF имеют место равенства , из которых получаем .

Ответ: .