Задание для реализации

Задание для реализации

Предлагается программа для решения системы квазилинейных уравнений параболического типа:

Блоки программы;

Основные функции;

Nle — основная программа: реализует переход к новому шагу по времени, реализует итерации по нелинейности.

Sor1 — подпрограмма: реализует решение линейной системы уравнений (получающейся на каждой итерации по нелинейности). Реализован метод верхней релаксации с красно-черным разбиением (описан в книге Дж. Деммеля «Вычислительная линейная алгебра»).

Задание подразумевает, что эти функции не должны меняться пользователем, если только при проведении тестирования не обнаружатся существенные ошибки! Предполагается только исследование зависимостей и распараллеливание этих программных единиц!

То, что должно быть модернизировано пользователями под тестовые и расчетные задачи:

Функции, отвечающие за реализацию задачи (коэффициенты, ьфункциональные зависимости): kappa1, kappa2 – функции, описывающие коэффициент теплопроводности.

Параметры задаются в файле “parameters.inc”.

Если функциональная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры представляется в виде , то в файле “parameters.inc” необходимо задать D1, D2, alpha1, alpha2.

intkappa1, intkappa2 – функции, описывающие интегралы от коэффициентов теплопроводности, возвращают значения: .

Для реализации в программе необходимо проинтегрировать выражения для козффициентов. Если , то intkappa должна вычислять значение: (конечно, при значении alpha > –1).

Функции f1 и f2 задают правые части системы. Например, если выражение для правой части есть , то соответствующие константы должны быть заданы в файле “parameters.inc”.

Функции f1T1, f1T2, f2T1, f2T2 реализуют все частные производные . Например, для приведенной выше правой части функция f1T1 должна возвращать значение , f1T2 должна возврашать значение кроме того, параметры b в файле “parameters.inc” зарезервированы для задания коэффициентов, описывающих конкуренцию в «экологической» задаче.

Функции Bound1 и Bound2 задают граничные условия для Т1 и Т2 соответственно, внутри них — 2 цикла по «горизонтальным» и «вертикальным» границам области в каждый момент времени.

Для простоты рассмотрения во всех задачах реализуются только условия первого рода (Дирихле).

Функции InitT1 и InitT2 задают начальные значения массивов Т1 и Т2 соответственно.

Закоментирована функция timestep. Ее целесообразно использовать для задания уменьшающегося шага по времени при проведении тестов для режимов с обострением.

Задание 1 – «плазменное» (уровень «сильный»)

Требуется решить систему уравнений:

в квадратной области

Моделирующую взаимодействие между электронной и ионной компонентами плазмы. В правой части каждого уравнения первое слагаемое описывает теплопроводность материала, второе – обмен энергиями за счет электронно-ионных столкновений.

Третье слагаемое моделирует источники тепла за счет джоулева нагрева при учете конечной проводимости плазмы, последнее — потери на излучение. (показатели степени модельные, так для джоулева нагрева правильный показатель либо 3/2, либо 1, в зависимости от замагниченности). Все константы принять порядка единицы.

Начальные условия – холодный фон, температуры электронной и ионной компонент принять равными нулю.

Граничные условия. Три стенки охлаждаемые, для них принять темпнратуру равной нулю. На одной стенке есть источник ионов с температурой 1, электроны нагреваются за счет внешнего поля, температура задана соотношением

.

Система тестов – обменные члены положить равными нулю, исследовать развитие локализованных возмущений в режиме с обострением (см. лекции).

Исследовать эффективность распараллеливания при расчете тестовой задачи и двухтемпературной модели при использованиии 4,5,......,32 счетных ядер на сетках

А) 100×100

Б) 500×1000

Задание 2 – «эколгическая модель» (уровень «средний»)

Требуется решить систему уравнений:

в квадратной области

Будем считать, что все параметры задачи — положительные числа. Пусть Зададим коэффициенты b следующим образом.

1.  Выполняется условие

Положим, например, что матрица, описывающая взаимодействие, есть

Система алгебраических уравнений описывает пространственно-однородое стационарное решение системы

Она имеет 4 решения – тривиальное, решение, когда плотность каждой популяции отлична от нуля (известно, что это решение неустойчивое) и два решения .

Граничные условия для системы. На всех границах задается плотность популяции, соответствующая одному из приведенных выше двух пространственно-однородных решений.

Начальные условия. Во всей области задано одно из пространственно-однородных решений (то же, что и на границах области), кроме того, есть одно или два пятна произвольной формы (например, круглой), где задано другое пространственно-однородное решение.

Численно исследовать динамику плотности популяций.

Тестовый режим – найти стационарные неавтомодельные решения для каждой популяции в случае, когда нет взаимодействия, а есть лишь самоограничение

Исследовать, как воспроизводится стационарное решение, исследовать выход на стационарный режим.

*(дополнительное, для любителей длиных арифметических выкладок)

Найти стационарное неавтомодельное решение исходной задачи при условии и условия его существоваия, исследовать численно выход на стационарное решение.

Исследовать эффективность распараллеливания при расчете тестовой задачи и экологической модели при использованиии 4,5,......,32 счетных ядер на сетках

А) 100×100

Б) 500×1000