Статья в сборник трудов конференции ТГПИ "Математические модели физических процессов", 2003.

УДК 513.736

ТГПИ (Россия)

Бесконечно малые ARG-деформации поверхности положительной кривизны при внешней связи обобщенного скольжения.

1.В настоящей статье используются результаты и обозначения нашей работы [1]. Как в [1] предполагаем, что поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности F строго положительна вплоть до края, т. е. , , поверхность F расположена выпуклостью вниз. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности F: описываются уравнением:

(1)

где - поле смещений деформации, - единичный вектор нормали к поверхности F, H – средняя кривизна поверхности F, g – заданная функция, l - коэффициент рекуррентности деформации поверхности [1].

2. Рассмотрим бесконечно малые ARG-деформации поверхности F, подчиненные вдоль края F условию обобщенного скольжения.

Пусть вдоль края F задано векторное поле , , где – единичный вектор внешней нормали области D в плоскости Oxy, – заданная функция.

Определение 1. Будем говорить, что поверхность F подчинена условию обобщенного скольжения вдоль края ¶F относительно векторного поля , если поле смещений бесконечно малой ARG-деформации поверхности F удовлетворяет вдоль края ¶F условию:

(2)

где h– заданная функция.

Следуя [2] , введем понятие корректности задачи.

Определение 2. Задача корректна в отношении некоторой группы параметром, фигурирующих в постановке задачи, если ее решение всегда существует, единственно и непрерывно изменяется при непрерывном изменении этих параметров.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Будем рассматривать вопросы корректности краевой задачи в отношении величин g и h, стоящих в правых частях уравнения ARG-деформации и краевого условия (1). Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть (m + 1)-связная поверхность F удовлетворяет условиям регулярности и гауссова кривизна K поверхности строго положительна, т. е. , . Предполагаем, что поверхность F подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности и на краю подчинена внешней связи обобщенного скольжения (2). Тогда, если , 0, то существует счетное множество значений , таких, что при заданном , краевая задача является корректной. При однородная ( gº0,hº0) задача (1), (2) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций, а неоднородная задача разрешима при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функции g, h.

Доказательство этой теоремы проведем в §2. В §1 приведем аналитическую запись условия обобщенного скольжения поверхности F.

§1. Аналитическая запись условия обобщенного скольжения поверхности F.

Будем считать, что поверхность F на краю ¶F подчинена условию обобщенного скольжения (2). Докажем следующее утверждение:

Пусть F – (m + 1)-связная поверхность положительной гауссовой кривизны , , удовлетворяющая условиям регулярности. Вдоль края ¶F задано векторное поле , и поверхность F на краю ¶F подчинена условию обобщенного скольжения: , где h – заданная функция. Тогда условие (2) представляет задачу с косой производной относительно функции , вида

(3)

где – координаты единичного вектора внешней нормали области D в плоскости Oxy, – конормаль в плоскости Oxy вдоль границы области D уравнения (1), , определены в [1].

В самом деле, координаты векторного поля имеют вид

.

Используя формулу , получаем

.

Применив формулы для вычисления , условие (2) преобразуется к виду:

на ¶F (4).

Покажем, что коэффициенты, стоящие перед функциями выражения (4), определяют координаты вектора .

Пусть , тогда известно [3], что , .

Используя эти формулы, находим:

, .

Условие (4) запишется в виде

.

Учитывая, что , последнее условие преобразуется к виду

Обозначив и умножив последнее равенство на (–1), получим условие (3).

§2. Доказательство теоремы.

Рассмотрим краевую задачу:

(5)

Так как g £0, 0, то краевая задача (5) эквивалентна интегральному уравнению:

где - известная функция. В силу того, что задача (5) является самосопряженной, то ядро в уравнении (6) является симметрическим по переменным и и невырожденным как функция Грина задачи (5) при l=0. Кроме того, все собственные числа уравнения (6) являются положительными и, следовательно, ядро является положительно определенным. Так как b>0, то уравнение (6) может быть сведено к уравнению с симметрическим ядром

где

Отсюда следует, что уравнение (7) имеет бесконечную систему положительных собственных чисел.

Все могут быть занумерованы в порядке возрастания , что при . Переходя от (6), (7) к задаче (5), получим, что множество образует спектр указанной задачи, который является дискретным и конечнократным. Так каждому соответствует конечное число линейно независимых нетривиальных решений из однородной задачи (). Неоднородная задача (5) разрешима при этом, если выполнено конечное число условий разрешимости, налагаемых на функции и .

Итак, задача о бесконечно малых ARG-деформациях поверхности F с условием обобщенного скольжения при является корректной. При , рассматриваемая задача не корректна и разрешима при указаниях ограничений, налагаемых на функции и h1. Однородная задача (5) допускает конечное число линейно независимых бесконечно малых ARG-деформаций. Теорема доказана.

Выражаю глубокую благодарность профессору

за постановку задачи и научное

руководство данной работой.

Литература.

1. Сидорякина бесконечно малых ARG – деформаций поверхностей положительной кривизны // Сборник трудов международной научной конференции «Математические модели физических процессов и их свойства», Таганрог, ТГПИ, 2002.

2. Векуа аналитические функции. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. с. 224-232.

3. , Уральцева и квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1964. с. 132-167.

4.  О регулярности решений уравнений бесконечно малых ARG-преобразований поверхностей положительной гауссовой кривизны при внешних связях в евклидовом пространстве // Сб.: Отображения поверхностей римановых пространств, описываемые рекуррентными соотношениями заданного вида. Проблемы существования и единственности. – Таганрог, 1999. – С. 58-63.