устный журнал «путешествие в мир чисел»
Н. П. МИГУНОВА, Б. Е. КОРОЛЬКОВ (Москва)
Устный журнал начинается кратким вступительным словом ведущего — капитана корабля, который повезет путешественников от одного острова к другому в мире чисел.
Рис. 1 |
Капитан. Корабль «Пятиклассник» отправляется в путешествие по Стране Чисел. Карта этой страны демонстрируется на плакате (рис. 1).
Уважаемые пассажиры корабля, не забыли ли вы захватить с собой любознательность, настойчивость, наблюдательность и смекалку? В пути вы побываете на острове Босоногой счетной машины (показывает остров на карте) и узнаете о зарождении чисел, пересечете Пролив Числовых знаков, помучаетесь над загадками Королевства Шехерезады, проверите свои навыки на Берегу Быстрого счета, изумитесь, неожиданности выводов на Острове Ошибочных рассуждений, выйдете на простор Океана Неизвестности, где на вас обрушатся волны новых задач и ветры нерешенных проблем.
Короче, в пути вас ждут занимательные задачи, веселые головоломки, забавные, но поучительные факты. Нам могут встретиться и довольно сложные вопросы. Но будем надеяться, что сегодня и сложное окажется увлекательным и вполне доступным.
А сейчас, внимание! Наш корабль приближается к Острову Босоногой счетной машины.
Остров Босоногой счетной машины
Путешественников встречают два жителя острова. Одеты они, как и полагается дикарям: на головах венки, на теле цветные рваные рубахи (из старых маминых халатов), но зато множество бус, кулонов и прочих побрякушек.
Первый житель. Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали, один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен. И не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три — это «один, два», четыре — «два, два», пять — «два, два, один».
Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами, как рук, так и ног. Таким образом, они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел, так как они фактически пользовались двадцатеричной системой счисления: 1 человек — это 20, 2 человека — это два раза по 20 и т. д.
Второй житель. Запомнить большие числа трудно, и поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.
Веревочные счеты с узелками применялись и в России, и во многих странах Европы. Остатками этого способа является практикуемое еще до сих пор завязывание узелков на носовых платках «на память».
На более высокой стадии развития люди стали применять при счете различные предметы. Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие - палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию различных систем счисления.
|
Первый житель. Дорогие путешественники! Когда вы выйдете в Океан Неизвестности, попробуйте решить задачу Жителей нашего острова:
Дикобраз в подарок сыну
Сделал счетную машину.
К сожалению, она
Недостаточно точна.
Результаты перед вами,
Быстро все исправьте сами.
Второй житель. Чтобы примеры были решены верно, достаточно в каждом из них поменять местами две цифры. Какие?
Капитан. Внимание! Внимание! Наш корабль «Пятиклассник» вошел в Пролив Числовых знаков. Здесь обитает множество русалок. Вот плывут две, они явно хотят с нами поговорить.
Пролив Числовых знаков
Приближаются русалки под зелеными покрывалами. (Зеленые покрывала можно сделать очень просто: намочить обычную марлю в зеленке и высушить ее.)
Первая русалка. Вы никогда не задумывались, дорогие путешественники, откуда взялись цифры? А ведь их знают почти все люди Земли. Если в какой-нибудь иностранной книге встретятся числа, то мы их прочтем и поймем, даже если не знаем ни одной буквы языка, на котором написана книга, язык цифр — международный язык. Но всегда ли так было?
В древнеегипетском письме чертеж шеста или кола изображал единицу: Десяток представлял собой рисунок, изображающий как бы две соединенные руки: Свернутый пальмовый лист был символом сотни: Цветок лотоса, который знаменовал собой обилие, служил для изображения тысячи: Цифрой, которой изображали 10000, был рисунок лягушки: Может быть, египтяне выбрали такое обозначение потому, что при разливах Нила в изобилии появлялись лягушки.
Но изображать цифры при помощи цифр-рисунков очень неудобно.
Например, египтянину, чтобы изобразить число 32070 надо было 3 раза нарисовать лягушку, 2 раза — цветок лотоса и 7 раз — сложенные руки:
 |
Понятно, что подобные записи чисел годились только для того, чтобы запомнить сами числа. Производить с их помощью арифметические действия было невозможно. Практические вычисления египтяне выполняли с помощью прибора, аналогичного нашим счетам.
Вторая русалка. Постепенно иероглифическое письмо упрощалось. Вместо фигур стали изображать что-то вроде условных знаков. Так получились цифры.
Современные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ничем не лучше и не хуже обозначений египтян. Но дело в том, что их только десять. Всего десятью знаками можно записать сколь угодно большое число, новых знаков придумывать не надо. Ведь это же надо было додуматься изменять значение цифры в зависимости от ее места, позиции в записи числа! В самом деле, запись «5» означает «пять», а запись «50» — уже «пятьдесят». И следовало бы поставить памятник тому гению, который первым догадался использовать знак «0» (под которым ранее подразумевалось лишь «ничто», «отсутствие») для обозначения места в разряде.
Но памятника никогда не будет, потому что одного гения-изобретателя найти невозможно. Использование нуля как знака в разряде сложилось не в одночасье, а утвердилось постепенно в ходе многовековой практики.
Многие ребята думают, что арабские цифры, пришедшие к нам на самом деле из Индии или из Китая, явились великим достижением науки. Вовсе нет. Великим достижением науки следует считать идею поразрядной записи чисел. Именно такая запись позволила выполнять арифметические расчеты на бумаге, поскольку смогла фиксировать результат действия в каждом разряде. А цифрами могли бы служить какие угодно знаки.
Первая русалка. Хочу тебя немного поправить, сестра, первая позиционная система счисления появилась в Древней Месопотамии. Но ее основой было не число 10, а число 60. Например, число 1 и 60 записывалось одинаково в виде клина Значение этого знака определялось его местом в записи. Например, запись:
 |
означает: два «шестидесятка», т. е. 120, четыре раза по «десятке» (знаки ) и три единицы, т. е. так записывалось число + 40 + 3).
Вторая русалка. А теперь, дорогие путешественники, решите задачу Пролива Числовых знаков.
Расшифруйте записи на клинописной табличке
[Ответы: а) 20, б) 60 + 10 + 1 = 71,
в) 60 • 3 + 10 + 2 = 192.]
Капитан. Внимание! Внимание! Прямо по курсу Королевство Шехерезады. В нем все подданные - маги, волшебники или фокусники. Вот к нам подплывает лодочка с тремя фокусниками. (Входят фокусники в колпаках и темных плащах с наклеенными звездочками из цветной бумаги.)
Королевство Шехерезады
Первый фокусник. Дорогие путешественники! Сейчас я покажу вам фокус Шехерезады.
Пусть один из вас на листе бумаги напишет любое трехзначное число и передаст эту запись кому-нибудь другому, где тот рядом должен повторить то же самое число. Третий путешественник должен разделить это число на 7 (я уверяю вас, что шестизначное число разделится на 7 без остатка). Пусть четвертый путешественник разделит полученный результат на 11 (никакого остатка от деления не будет). Пусть пятый путешественник разделит полученный результат на 13 (опять деление будет без остатка). В результате у вас получилось самое первое число, написанное на листочке.
Итак, первый путешественник записал: 342
второй -
третий - 342342 : 7 = 48906,
четвертый - 48906 : 11 = 4446,
пятый - 4446 : 13 = 342.
Почему получается такой результат?
(Класс некоторое время думает. Затем выступающие дают разъяснения.)
Второй фокусник. Может быть, вы читали «Книгу тысячи и одной ночи»? Чем замечательно число 1001?
Оно является произведением простых чисел:
1001 = 7 • 11 • 13. При умножении числа 1001 на любое трехзначное число получается шестизначное, записанное дважды данным трехзначным числом. Например, 1001 • 623 = 623623.
На таких свойствах числа основаны некоторые «фокусы», в том числе и фокус Шехерезады.
Третий фокусник. Я покажу еще один фокус Королевства: моментальное сложение. (Он пишет на доске произвольное шестизначное число, число единиц у которого не меньше двух, кроме того, желательно, чтобы цифры были различные, иначе фокус будет разгадан слишком быстро.) К этому числу мы прибавим еще несколько шестизначных чисел, причем действовать будем поочередно: одни вы придумаете сами, другие запишу я. Однако ответ я записываю уже сейчас на листке и передаю его вам. Пока на него не смотрите.
По ходу фокуса на доске постепенно появлялись слагаемые (те числа, что писали ребята, выделены шрифтом), а затем подсчитан и результат:
519647
413798
586201
204346
795653
2519645
Когда наши путешественники посмотрели на листок, который им дали в самом начале фокуса, то увидели там опять число 2519645.
Второй фокусник. Подумайте, почему можно было сразу записать результат? (Пауза.) Не знаете? Тогда давайте подумаем вместе. Вы писали произвольные числа, но я-то записывал все числа, кроме первого, после вас и действовал по определенному плану. Угадали ли вы мой план? Да, вижу, что угадали: каждая пара чисел составляет , а все четыре числа, записанных сразу после первого, в сумме равны ■ 2 = 1 Это число на 2 меньше, чем 2 Но каким бы ни было первое число, оно, будучи шестизначным, должно занять все шесть нулей при сложении с числом 2 , т. е.
2 + = 2 Однако искомая сумма должна быть на 2 меньше, т. е.
2 + = 2
Третий фокусник. Наше Королевство Шехерезады предлагает путешественникам задачу, которую любил Михаил Юрьевич Лермонтов. (Он увлекался математикой и придумывал оригинальные задачи и математические фокусы.)
Сначала предлагал выполнить следующие действия.
Задумайте число, прибавьте к нему 25, прибавьте еще 125, отнимите 36, вычтите задуманное число, остаток умножьте на 5, полученное число разделите на 2.
Затем Лермонтов говорил, что ответ он знает, а именно 285. Подумайте, как Лермонтов отгадывал ответ.
Капитан. На горизонте показался Берег Быстрого счета. Все его жители прекрасные вычислители. Они знают много приемов счета и великолепно пользуются ими. Команде приготовиться сойти на берег. О! Я вижу, нас встречает сам губернатор. Уж он-то покажет нам что-нибудь интересное.
Берег Быстрого счета
Губернатор. Я покажу один прием умножения двузначных чисел, который проще того, которым постоянно пользуются школьники на уроках. Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения. Американцам настолько понравился, что они его даже так и называли «американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать индийским способом. На Руси он был известен как способ умножения крестиком. Перемножим два каких-либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу напишу, что получится. (Пишет цифры справа налево: 6, затем 7, затем 2.)
23
х
12
276
Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как получен?
Первый шаг: 23 говорю: «2 * 3 = 6»;
х
12
…6
Мы умножаем двузначное число на двузначное. В результате получим число, в котором будут содержаться единицы, десятки, сотни (возможно, что и тысячи, но каждую тысячу можно рассматривать как 10 сотен).
Как можно получить в этом примере единицы? Только от умножения единиц сомножителей. Это и делаем на первом шаге: 2 * 3 = 6.
Как можно получить десятки? Очевидно, от умножения единиц множителя на десятки множимого (2x2) и десятков множителя на единицы множимого (1х3). Десятков собрали на втором шаге: 2 * 2 + 1 * 3 = 7.
Как получим сотни? Очевидно, от умножения десятков. Это и делаем на третьем шаге. Сотен будет: 1 * 2 = 2.
Капитан. Благодарю Вас, господин губернатор. Но нам надо спешить дальше. Нас ждет Остров ошибочных рассуждений. Он населен исключительно хитрецами, любимое занятие которых — это ставить в тупик новоприбывших. Бросим якорь у этого острова и поговорим хотя бы с одним хитрецом.
Остров ошибочных рассуждений
Хитрец. Дорогие путешественники, сейчас я вам докажу, что четырежды четыре — двадцать пять, т. е. 4 * 4 = 25.
Запишем равенство 16 : 16 = 25 : 25. В каждой части этого равенства есть общий множитель, вынесем его за скобку и получим: 16 • (1 : 1) = 25 • (1 : 1). Поскольку 1:1 = 1, заключаем 16 = 25, т. е. 4 • 4 = = 25.
Увидели ли вы ошибку в моих рассуждениях? Нет? Это очень жаль. А ошибка состоит в том, что распределительный закон умножения неправомерно перенесен на деление.
А сейчас я вам докажу, что 5 = 6.
Воспользуемся верным равенством
35 += 42 +
Вынесем общий множитель за скобку в каждой части равенства, получим:
5 • (7 + = 6 • (7 +
Разделив обе части последнего равенства на одно и то же число, равное 7 + 2 - 9, установим, что 5 = 6. Где ошибка?
Путешественники. Вы, господин хитрец, сделали недопустимое действие, разделив на 0, так как 7 + 2 - 9 = 0.
Хитрец. Верно. Видимо, я подобрал для вас слишком легкую задачу. Надеюсь, что с задачей, которую я вам предложу, вы справитесь не быстро. Вот она:
Может ли оказаться, что х больше 10х?
Капитан. Нам пора направляться домой. На обратном пути, дорогие путешественники, вас ждет Океан Неизвестности. Все те, кто решат задачи Океана, а также задачи, предложенные жителями стран, которые мы посетили, получат дипломы Магистра Страны Чисел.
Решения задач нужно написать на листочке и положить этот листочек в конверт (рис. 2), который находится на стенде «Задачи Океана Неизвестности» (не забудьте написать на листочке свою фамилию).
Мы даем вам немного времени на решение задач — всего три дня. Поэтому торопитесь. Счастливого вам плавания по Океану Неизвестности и открытий!
 |
Рис. 2
Задачи
(Ответы даны в квадратных скобках.)
1.Какие три числа, если их сложить и перемножить, дают один и тот же результат? [1, 2, 3.]
2.Когда мы смотрим на цифру 2, а говорим 10? [Глядя на часы, мы говорим: 10 минут пятого.]
3.Напишите 100 пятью единицами. А теперь пятью пятерками. [= 100; (5+ 5 + 5 +5)-5 = 100.]
4.Какие два целых числа, если их сложить, дают больше, чем, если их перемножить? [Любое число при сложении с единицей дает в сумме больше, чем при умножении на единицу.]
5.Восстановите пропущенные цифры:
2 7
|
6. Впишите в таблицу недостающие числа:
 |
[В первой строке каждое следующее число больше предыдущего на 3, во второй строке — на 4, в третьей - на 5, отсюда искомые числа 26 и 14.]
7. На рыбалке был Кощей,
И поймал он 5 лещей.
Весит весь его улов
Столько, сколько рыболов
(Царь Кощей, скажу я вам,
Весил 40 килограмм.)
На рисунке поскорее
Отыщи лещей Кощея.
В эти сказочные дни
Много весили они.
Говорят, что и ерши-то
Были чуть ли не с корыто.
Не забудь, что вес лещей
Ровно 40 - как Кощей!
[6+14+11 + 9.]
