Серия 1, 7 класс

Серия 1, 7 класс.

Многовариантная задача – только отеет письменно. Сколько существует прямоугольников, составленных из клеток доски 8´8

a) ?

b) квадратов;

c) содержащих клетку с координатами (4,3);

d) содержащих клетку с координатами (4,3) и клетку с координатами (3;4);

e) не содержащих клетку с координатами (4,3);

f) содержащих клетку с координатами (4,3) и не содержащих клетку с координатами (3;4)?

1. У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо.

Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?

2. Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение

НОК(*,*,*) – НОК(*,*,*) = 2013 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

3. Имеется 8 неразличимых на вид монет, весящих 5, 6, ..., 11, 12 г. Как за 13 взвешиваний на чашечных весах найти две самых легких и две тяжелых монеты?

4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны одновременно вернут себе первоначальный цвет.

5. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе? Приведите все возможные варианты ответа.

6. Первый член числовой последовательности равен 1, второй ее член равен 2013, а каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности двух предыдущих. Найдите 2013-ый член этой последовательности.

7. Докажите, что если в графе 200 нечетных вершин, то его можно представить как объединение непересекающихся циклов и 100 несамопересекаюихся путей.

8. Каждый мальчик принес по 15 цветочков, и весь цветочный фонд отдали девочкам, причем каждая получила по 41 цветочку. Докажите, что всех мальчиков и девочек можно разбить на несколько (больше одной) команд так, чтобы в каждой команде было больше одного человека.

9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?

10. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух из которых равна их НОДу.  

7 класс, серия 2, очень клетчатая

11. Нарисуйте все фигуры для игры в тетрис и скажите отдельно для каждой фигуры, можно ли 25 экземплярами такой фигуры замостить доску 10´10?

12. В каждой клетке доски в форме правильного треугольника 5×5×5 сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки этой доски. Какое наименьшее число клеток могут остаться пустыми?

13. Играют двое. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

14. Можно ли доску 8×8 разрезать на один квадрат 2×2 и 15 фигур вида «Т» см. рис. ?

15. Фигура «лебедь» ходит из исходной в те клетки, которые отмечены крестиком. Эта фигура, начав с одной из угловых клеток, обошла доску, побывав на каждом поле ровно 1 раз На какой диагонали была исходная клетка?

16. Дана клетчатая доска 9×10. Играют двое, за ход разрешается вычеркнуть горизонталь или вертикаль, если в ней к моменту ходя есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

17. В каждой клетке доски 17×17 стоит шашка. Играют двое. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одной вертикали, либо из оной горизонтали. Выигрывает снявший последнюю шашку. Кто выиграет?

18. На п лоском ровном поле растут 6 деревьев: А, Б, В, Г, Д и Е. По полю проходит прямая дорога. Землеустроитель установил на дороге 17 столбов, и на каждом прикрепил табличку, на которой перечислены имена деревьев, причем первым указано ближайшее, вторым – второе по удаленности и т. д. Докажите, что найдутся два столба с одинаковыми табличками.

19. Караван верблюдов. По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана с постоянной скоростью. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник?

20. Саша разрезал головку сыра на 10 кусков и съел самый маленький кусок. Потом он разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Потом он снова разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Какую наибольшую долю головки мог съесть Саша?

7 класс, серия 2, очень клетчатая

11. Нарисуйте все фигуры для игры в тетрис и скажите отдельно для каждой фигуры, можно ли 25 экземплярами такой фигуры замостить доску 10´10?

12. В каждой клетке доски в форме правильного треугольника 5×5×5 сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают и приземляются на соседние по стороне клетки этой доски. Какое наименьшее число клеток могут остаться пустыми?

13. Играют двое. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще одно натуральное число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

14. Можно ли доску 8×8 разрезать на один квадрат 2×2 и 15 фигур вида «Т» см. рис. ?

15. Фигура «лебедь» ходит из исходной в те клетки, которые отмечены крестиком. Эта фигура, начав с одной из угловых клеток, обошла доску, побывав на каждом поле ровно 1 раз На какой диагонали была исходная клетка?

16. Дана клетчатая доска 9×10. Играют двое, за ход разрешается вычеркнуть горизонталь или вертикаль, если в ней к моменту ходя есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

17. В каждой клетке доски 17×17 стоит шашка. Играют двое. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одной вертикали, либо из оной горизонтали. Выигрывает снявший последнюю шашку. Кто выиграет?

18. На п лоском ровном поле растут 6 деревьев: А, Б, В, Г, Д и Е. По полю проходит прямая дорога. Землеустроитель установил на дороге 17 столбов, и на каждом прикрепил табличку, на которой перечислены имена деревьев, причем первым указано ближайшее, вторым – второе по удаленности и т. д. Докажите, что найдутся два столба с одинаковыми табличками.

19. Караван верблюдов. По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана с постоянной скоростью. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник?

20. Саша разрезал головку сыра на 10 кусков и съел самый маленький кусок. Потом он разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Потом он снова разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Какую наибольшую долю головки мог съесть Саша?

21. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно а) 33 делителя; б) 44 делителя.

22. В коробке лежит 300 спичек. Играют двое. За ход разрешается взять не более половины имеющихся в нем спичек. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

23. В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.

24. Можно ли квадрат 16×16 разбить на 64 прямоугольника 1×4, из которых 31 будут стоять вертикально, а остальные 33 – горизонтально?

25. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька, купил газету и стал ее читать. На рынке он прервал чтение, купил картошку и пошел домой. Проходя мимо ларька, он вспомнил про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние от дома до рынка, если путь занял ровно 1 час, скорость Васи налегке составляет 6 км/ч, скорость Васи с картошкой составляет 3 км/ч, а чтение газеты снижает скорость до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?