Вариант 0 (Демо)
1. На четырех карточках написаны числа 1, 2, 3, 4. Найти вероятность того, что произведение чисел на двух произвольно выбранных карточках больше четырех.
1/3 3) 1/4 4) 1/2
Решение: Пусть событие А ‒ произведение чисел на двух произвольно выбранных карточках больше трех. Согласно классическому определению вероятности P(A) = m/n, где
n ‒ число всех несовместных и равновозможных исходов; m ‒ только те из них, которые благоприятствуют наступлению события А. Выпишем все несовместные и равновозможные исходы (их будет 
): (12), (13), (14), (23), (24), (34). Тогда n = 6. Из них только в последних трех произведение чисел больше четырех. Поэтому m = 3. Тогда
P(A) = m/n = 3/6 = 1/2.
□
2. Из урны, в которой находятся 4 белых и 6 черных шаров, наудачу извлекают три. Найти вероятность того, что среди них находится хотя бы один белый шар.
1) 4/6 2) 5/6 3) 1/6 4) 1/3
Решение: Пусть событие А ‒ среди вынутых трех шаров имеется хотя бы один белый шар. Перейдем к противоположному событию 
, вероятность которого проще найти. Исходя из данной задачи, ‒ среди извлеченных трех шаров нет ни одного белого шара. Предположим, что шары вынимались по очереди и введем следующие события:
А1 ‒ первый извлеченный шар черный; А2 ‒ второй извлеченный шар черный; А3 ‒ третий извлеченный шар черный. Тогда 
. По теореме умножения имеем:
=
.
Тогда 
. □
3. Объем выпускаемой предприятием продукции есть случайная величина X с рядом распределения
| 100 | 150 | 200 |
| 0,3 | 0,2 | ? |
Найти ожидаемую (среднюю) прибыль предприятия, если стоимость единицы продукции
составляет 2 у. е.
1) 3)
Решение. Поскольку сумма вероятностей в нижней строке таблицы должна равняться единице, то P(X = 200) = 1 ‒ (0,2 + 0,3) = 0,5. Найдем матожидание случайной величины X . По определению 
. Тогда
Прибыль есть снова случайная величина Y, равная 2X. По свойству матожидания
. □
4. Из большого количества деталей отобрано 100, распределение которых по размеру задано в таблице.
Размер детали | 8 –8,2 | 8,2 – 8,4 |
Количество | 20 | 80 |
Найти реализацию несмещенной оценки дисперсии.
1) 0,0‒ 1,,,351
Решение. Смещенная оценка дисперсии S2 связана c несмещенной оценкой 
формулой 
, где n ‒ объем выборки. Величина S2 вычисляется по формуле:
, где 
, 
. Взяв в качестве 
середины интервалов, находим:
; 
;
; 
. □
5. Найти 95%-ный доверительный интервал для матожидания СВ X на основании данного распределения выборки:
x | 1 | 4 |
n | 5 | 5 |
1) (1,37; 3,,82; 6,(‒ 1,27; 3,57) 4) (0; 5)
Решение. Доверительный интервал для матожидания нормально распределенного признака X при неизвестной генеральной дисперсии находится по формуле:
,
где 
‒ исправленное средне-квадратическое отклонение, 
‒ критическая точка распределения Стьюдента. По таблице критических точек распределения Стьюдента находим: 
. Кроме этого:
; 
; 
; 
;
.
Находим границы доверительного интервала:
; 
.
Окончательно получим: 
. Подчеркнем особо, что доверительный интервал строится симметрично относительно точечной оценки, в данном случае симметрично относительно 
. □
