Лабораторная работа №1

Лабораторная работа №1

Знакомство с методами оценки точности измерений

Решение любой научной, инженерной или технической задачи немыслимо без измерений, т. е. определения численных значений физических величин с помощью измерительных приборов. Однако определить точное значение измеряемой величины принципиально невозможно, и при проведении физических исследований это свойство процесса измерения имеет особое значение. Например, для подтверждения фундаментальных физических законов, являющихся по своему смыслу совершенно точными, могут быть использованы только результаты приближенных измерений. Поэтому при поиске или проверке физических закономерностей очень важно иметь информацию о степени близости полученного значения к «истинному» – такому, которое получилось бы при неограниченном повышении точности измерений (если бы это было возможно).

Целью данной работы является знакомство с некоторыми приемами получения экспериментальных данных, а также их обработки и оценки точности, т. е. величины ошибки, допускаемой при измерениях. Для этого предлагается «экспериментально подтвердить» теорему Пифагора, которая выбрана на роль проверяемого точного физического закона.

Хорошо известно, что, согласно этой теореме, для плоского прямоугольного треугольника с длинами катетов и гипотенузы a, b и c, соответственно, справедливо следующее равенство

a2 + b2 = c2 (1)

В данной работе, с помощью построения различных прямоугольных треугольников, предлагается

1) «проверить», что правая и левая часть равенства (1) примерно равны в исследованном диапазоне значений длин катетов и гипотенузы;

2) определить величину ошибки (или погрешность), с которой удается «подтвердить» теорему Пифагора. Для оценки погрешности предлагаются два незначительно различающихся способа, основанных на графическом представлении результатов измерений.

Приборы и материалы: миллиметровая бумага, линейка, карандаш (желательно хорошо отточенный).

Построение и измерения: Проведите на листе миллиметровой бумаги по линиям рисунка два взаимно перпендикулярных отрезка из одной точки (рис. 1). Поставьте на каждом из этих отрезков по 3-4 точки (возможный вариант: на расстояниях 0.2-0.25, 0.45-0.55, 0.7-0.8, 0.95-1, считая от общей точки в долях длины отрезков). Выберите по одной точке на каждом из отрезков. Воспользовавшись разметкой миллиметровой бумаги, определите расстояния от общего начала отрезков до этих точек, т. е. длины катетов. Занесите результаты измерений в таблицу (пример таблицы приведен в Приложении I). С помощью линейки измерьте расстояние между этими точками, т. е. длину гипотенузы c, и также занесите результат в таблицу. Проделайте эту работу и для всех других пар точек (Для того, чтобы не путать точки, рекомендуется их перенумеровать).

В данной работе измерение длины c гипотенузы треугольника проводятся путем прямого сравнения с имеющимся измерительным прибором – линейкой. Такое измерение называется прямым, его точность определяется точностью прибора и обычно принимается равной половине деления шкалы прибора. Например, в случае линейки с миллиметровыми делениями, точность определения положения точки относительно деления линейки составляет 0.5 мм. Таким же образом определяется и погрешность измерения катетов с помощью разметки миллиметровой бумаги (она аналогична линейке). Занесите значения погрешностей в таблицу. Далее вычислите величины квадратов a2, b2 и c2 и определите их погрешность по правилам, изложенным в Приложении II.

Обработка результатов измерений. Постройте на другом листе миллиметровой бумаге по данным таблицы график зависимости величины c2 от суммы (a2+b2). Предварительно выберите масштаб по осям так, чтобы было удобно наносить экспериментальные точки, и чтобы была использована почти вся длина как вертикальной, так и горизонтальной осей. Для каждой точки на графике приведите величины ошибки определения c2 и (a2+b2), как показано на рисунке 1 (для наглядности погрешность на рисунке несколько преувеличена). В рассматриваемой ситуации погрешность уменьшается с уменьшением откладываемых значений. Т. н. «усы», показывающие диапазон возможного разброса величин, допускается не ставить, если их размах становится меньше, чем размер символов, которые отмечают положения «экспериментальных» точек на графике.

Способ оценки точности измерений №1

На этой же координатной плоскости постройте из начала координат прямую – график функции y=x. Таким образом делается проверка, представима ли «наблюдаемая» зависимость величины c2 от суммы (a2+b2) в виде

c2 = k( a2 + b2), (2)

при k=1.

Расположение «экспериментальных» точек по отношению к этой прямой y=x может соответствовать одному из следующих случаев (деление нестрогое):

1) выше и ниже прямой y=x лежит примерно одинаковое число точек, причем прямая проходит в пределах погрешности «экспериментальных» точек;

2) выше и ниже прямой y=x лежит примерно одинаковое число точек, но эта прямая не пересекает диапазоны погрешности для некоторых точек;

3) большинство точек лежит выше или ниже прямой y=x;

В первом и втором случаях можно считать, что в диапазоне измерений теорема Пифагора «проверена». Точностью (или ошибкой) такой «проверки» теоремы можно назвать характерное отклонение точек от прямой y=x с учетом размера «усов» или, другими словами, возможный диапазон значений k. Для оценки этой ошибки Δk определите максимальный и минимальный наклоны прямых, которые ограничивают область расположения большинства экспериментальных точек (с учетом «усов») сверху и снизу, соответственно (см. рисунок в Приложении I). Поскольку при увеличении откладываемых по осям значений их погрешность возрастает, такой прием является наиболее простым, но довольно грубым способом оценки погрешности. В рассматриваемой работе его применение оправдано в первом из перечисленных выше случаев. Во втором случае описанная процедура, дает очень грубую оценку величины ошибки.

Очевидно, что чем больше измерений дали результат в одном и том же диапазоне значений, тем больше уверенность, что и «истинное» значение лежит в том же диапазоне. Другими словами, при увеличении числа N точек на графике величина ошибки измерений уменьшается. Но из-за того, что разброс точек случаен, ошибка уменьшается медленнее, чем растет число точек N. В первом приближении можно считать, что искомая оценка для Δk равна половине разности наклонов ограничивающих прямых, деленная на N1/2.

Рассчитанная ошибка Δk называется абсолютной (Приложение II). Как правило, точность проведенных измерений характеризуют величиной относительной ошибки измерений (Приложение II), которая вычисляется как Δk/k×100%.

Различие первого и второго случаев состоит в том, что в случае 2 существуют неучтенные при обработке данных источники случайных ошибок. Они приводят к дополнительному, положительному или отрицательному, смещению «экспериментальных» точек. Для уменьшения случайных ошибок необходимо, но не всегда достаточно, более тщательно проводить измерения и расчеты. Точность «проверки» теоремы Пифагора в этом случае может быть значительно хуже, чем расчетная точность отдельного результата измерений.

Третий случай реализуется, когда существует источник ошибки, имеющей один и тот же знак и практически постоянную величину. Такие ошибки называют систематическими. Они могут появиться, если, например, угол между прямыми, на которых откладываются отрезки a и b, отличается от 90о. Для уменьшения систематических погрешностей следует внимательно проанализировать всю процедуру проведения эксперимента, а также пользоваться более точными измерительными приборами.

Если полученные вами результаты относятся ко второму или третьему случаю, предложите объяснение причин появления неожиданно больших случайных или систематических ошибок, допущенных при «проверке» теоремы Пифагора.

Способ оценки точности измерений №2

С помощью линейки проведите (на глаз) из начала координат отрезок прямой так, чтобы одновременно все точки лежали как можно ближе к нему, должно быть примерно поровну точек выше и ниже нее. Это называется аппроксимацией экспериментальных данных линейной зависимостью. Желающие применить более строгий критерий для линейной аппроксимации могут ознакомиться с Приложением III. Далее следует оценить абсолютную и относительную ошибки определения углового коэффициента k в зависимости (2) по данным измерений. Для оценки ошибки Δk примените тот же способ, что и при первом способе оценке точности, т. е. определите предельные наклоны прямых, которые ограничивают область расположения большинства экспериментальных точек (с учетом «усов») с обеих сторон. Если выполняется соотношение

k-Δk < 1 < k+Δk, (3)

то можно считать, что теорема Пифагора «верна с точностью» Δk/k×100%. Если это соотношение не выполняется, то, в данном случае, можно утверждать, что при построении или измерениях были допущены грубые просчеты, которые следует выявить и устранить.

Для получения зачета за лабораторную работу необходимо составить и сдать отчет о проделанной работе, который должен включать:

1) номер и название работы;

2) дату выполнения;

3) фамилии учащихся выполнявших работу;

4) необходимые для выполнения и обработки записи и формулы;

5) заполненную таблицу(ы);

6) график(и);

7) значения абсолютной и относительной погрешностей определяемых величин;

8) сжатое изложение полученных результатов и выводов.

Вопросы

1) Как выглядела бы зависимость величины c2 от суммы (a2+b2), если бы измерения проводились на сферической поверхности (например, на поверхности Земли с использованием очень длинных отрезков)?

2) Каковы возможные источники систематических ошибок в данной работе?

3) Какие еще математические утверждения можно проверить «экспериментально», и каким образом?

Приложение I

Примерная таблица для записи результатов измерений.

Номер опыта	a, мм	Da, мм	a2, мм2	Da2, мм2	b, мм	Db, мм	b2, мм2	Db2, мм2	a2+b2, мм2	D, мм2	c, мм	Dc, мм	c2, мм2	Dc2, мм2
1	13	1	169	26	27	1	729	54	898	80	32	1	1024	64
2	21	1	441	42	35	1	1225	70	1666	112	40	1	1600	80
3	34	1	1156	68	29	1	841	58	1997	126	46	1	2116	92
4	47	1	2209	94	46	1	2116	92	4325	186	68	1	4624	136
5	58	1	3364	116	67	1	4489	134	7853	250	86	1	7396	172
6	62	1	3844	124	81	1	6561	162	10405	286	105	1	11025	210
…	…	…			…	…					…	…
…	…	…			…	…					…	…

Пунктирной линией обведены те величины, которые являются результатом непосредственного измерения. Остальные величины получены с помощью вычислений.

График зависимости с2 от величины (a2+b2), построенный по данным таблицы На рисунке показаны значения абсолютных ошибок определения величин c2 и (a2+b2), а также приведена прямая y=x. Наклонные пунктирные линии ограничивают область расположения «экспериментальных» точек с учетом возможного разброса в значениях величин, отложенных по осям. Показано возможное построение для определения нижней границы этой области – минимальный наклон примерно равен 0.85.

Приложение II

Если величина X измерялась n раз, и были получены значения X1, X2…Xn-1, Xn, то средним значением называют величину

Абсолютной ошибкой (или погрешностью) отдельного измерения называют величину DXi=|Xср-Xi|. Отметим, что ошибка всегда выражается положительным числом! Ниже знаком D сопровождается величина, указывающая ошибку измеренного или расчетного параметра.

Для серии измерений вводится понятие средней абсолютной ошибки, вычисляемой при не слишком большом n как

Если число измерений велико, например, n>100, то более точной оказывается формула

В первом приближении, можно считать, что величина X лежит в пределах от (Xср-DXср) до (Xср+DXср). Относительной ошибкой измерений называют величину DXср/|Xср|. Она тоже всегда положительна.

Если значение X известно с абсолютной ошибкой DX<<X, то для расчета ошибки определения величины некоторой функции от X пользуйтесь следующей таблицей:

Величина	Абсолютная ошибка	Относительная ошибка		Величина	Абсолютная ошибка	Относительная ошибка
X	DX	DX/|X|		1/Xn	n×DX/|Xn+1|	n×DX/|X|
k×X (k-постоянная)	k×DX	DX/|X|		X+Y	DX+DY
X2	2×DX×|X|	2×DX/|X|		X-Y DX,DY<<|X-Y|	DX+DY
Xn	n×DX×|Xn-1|	N×DX/|X|		X×Y	DX×Y+DY×X
1/X	DX/X2	DX/|X|		X/Y

Правила вычислений ошибок основаны на приближенном равенстве , которое справедливо при достаточно малых Dx, т. е. при малой (<<1) относительной ошибке, в том числе и конечного результата (это важно, например, при возведении в степень). Чтобы выразить относительную ошибку в процентах следует значение из таблицы умножить на 100%. В эту таблицу также включены правила вычислений ошибок для суммы, разности и т. п. двух величин – X и Y. Для величины Y также должно выполняться условие DY<<Y. Для того чтобы определить ошибку в случае большего количества независимых величин, следует обратиться к специальной литературе.

Приложение III

Предположим, что измеряемая величина y связана с другой измеряемой величиной x (как, например, величины с2 и a2+b2), и в результате n измерений величин y и x получился набор точек (y1,x1), (y2,x2), … (yn-1, xn-1), (yn,xn). Если предполагается, что эти величины связаны линейной зависимостью y(x)=A×x, то постоянный коэффициент A можно определить с помощью следующего соотношения:

Здесь используется обозначение

В рассматриваемом случае при данном угловом коэффициенте А достигается минимум значения суммы

,

что эквивалентно минимуму среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от аппроксимирующей аналитической зависимости. Обычно считается, что это соответствует наилучшему приближению к экспериментальным данным (наилучшей аппроксимацией).

Для оценки точности вычисляют т. н. коэффициент корреляции:

,

Здесь xср, yср – средние значения, которые для n результатов измерений вычисляются так:

,

Величина r2 равна единице, если экспериментальные точки лежат точно на одной прямой. На рисунке показаны примеры разброса экспериментальных точек при других значениях коэффициента корреляции. В данной работе хорошим результатом можно считать значение коэффициента корреляции не менее 0.97.