Билет

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. Пятый член арифметической прогрессии на 3 больше ее третьего члена. Найти сумму первых 10 членов прогрессии, если четвертый член равен 2.

5. Найти , если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, в 2,8 раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Найти углы треугольника.

8. Решить уравнение .

9. При каких значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через середины и ребер и и вершину правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если все ребра призмы имеют одинаковую длину.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. В геометрической прогрессии произведение третьего и второго ее членов равно 32. Найти сумму первых 5 членов прогрессии, если ее первый член равен 2.

5. Найти , если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. В равнобедренном треугольнике проведенная к боковой стороне высота имеет длину 14 см, а радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5 см. Найти площадь треугольника.

8. Решить уравнение .

9. При каких значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через вершину и середины ребер и правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если боковое ребро вдвое длиннее стороны основания.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. Четвертый член арифметической прогрессии на 3 меньше ее второго члена. Найти сумму первых 10 членов прогрессии, если третий член равен 2.

5. Найти , если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, в 2,5 раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Найти радиус описанной окружности, если основание треугольника равно 1 см.

8. Решить уравнение .

9. При каких действительных значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через середины ребер , и правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если все ребра призмы имеют одинаковую длину.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. В геометрической прогрессии произведение второго и третьего ее членов равно 108. Найти сумму первых 3 членов прогрессии, если ее первый член равен 2.

5. Найти , если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. Радиус вписанной в равнобедренной треугольник окружности в 3 раза меньше высоты, проведенной к боковой стороне. Найти углы треугольника.

8. Решить уравнение .

9. При каких действительных значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через середины и ребер и соответственно и вершину правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если все ребра призмы имеют одинаковую длину.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. Третий член арифметической прогрессии на 7 больше ее пятого члена. Найти сумму первых 9 членов прогрессии, если четвертый член равен .

5. Найти ,если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, имеет длину 10 см, а длина вписанной в этот треугольник окружности равна см. Найти периметр треугольника.

8. Решить уравнение .

9. При каких значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через вершину и середины ребер и правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если боковое ребро втрое длиннее стороны основания.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Решить неравенство .

3. Решить систему уравнений

4. В геометрической прогрессии произведение третьего и четвертого ее членов равно 128. Найти сумму первых 5 членов прогрессии, если ее первый член равен .

5. Найти ,если известно, что и .

6. Решить неравенство .

7. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см, а высота, проведенная к боковой стороне, в 2,4 раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Найти площадь круга описанного около этого треугольника.

8. Решить уравнение .

9. При каких значениях параметра все решения неравенства

содержатся в промежутке ?

10. Через середины ребер и правильной треугольной призмы проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и гранью , если боковое ребро вдвое короче стороны основания.

МАИ 2007

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Из вершины тупого угла треугольника проведены высота и медиана , длина которой равна см. Найти длину высоты , если площадь треугольника равна 18 см, а .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны 1 м. Апофема пирамиды наклонена к одной из боковых граней под углом . Найти объем пирамиды.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Площадь треугольника равна 12 см. Из вершины тупого угла треугольника проведена медиана , длина которой равна 3 см. Найти длину стороны , если .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 м. Апофема пирамиды наклонена к смежной боковой грани под углом . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Из вершины тупого угла треугольника проведены высота и медиана , длина которой равна см. Найти длину высоты , если площадь треугольника равна 72 см, а .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Все боковые ребра правильной треугольной пирамиды равны 2 м. Апофема пирамиды наклонена к одной из боковых граней под углом . Найти объем пирамиды.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Площадь треугольника равна 48 см. Из вершины тупого угла треугольника проведена медиана , длина которой равна 6 см. Найти длину стороны , если .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2 м. Апофема пирамиды наклонена к одной из боковых граней под углом . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Медиана треугольника перпендикулярна стороне . Найти угол , если известно, что .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Апофема правильной треугольной пирамиды наклонена к одной из боковых граней под углом . Найти угол между боковыми гранями пирамиды.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Доказать тождество .

3. Решить уравнение .

4. Решить неравенство .

5. На координатной плоскости заданы точки и . Найти координаты и длину вектора .

6. Медиана треугольника перпендикулярна стороне . Найти угол , если известно, что .

7. Решить систему уравнений

8. Решить уравнение .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения , если известно, что имеет место равенство .

10. Апофема правильной треугольной пирамиды наклонена к одной из боковых граней под углом . Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды.

МАИ 2007

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Разность двух соседних сторон параллелограмма равна половине разности двух соседних сторон равновеликого ему прямоугольника, а сумма этих сторон прямоугольника равна удвоенной меньшей диагонали параллелограмма. Найти острый угол параллелограмма.

9. Найти все значения параметра , при которых не найдется ни одного значения , удовлетворяющего системе

10. В основании призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник , в котором м. Диагональ длиной 2 м боковой грани образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Найти угол треугольника , если известно, что площадь квадрата со стороной равна сумме удвоенной площади треугольника и площади квадрата со стороной, равной разности сторон и треугольника.

9. Найти все значения параметра , при которых система

имеет решение.

10. В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 2 м. Диагональ боковой грани имеет длину 3 м и образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Разность двух сторон параллелограмма равна половине разности двух сторон равновеликого ему прямоугольника, а сумма этих сторон прямоугольника равна удвоенной меньшей диагонали параллелограмма. Найти тупой угол параллелограмма.

9. Найти все значения параметра , при которых не найдется ни одного значения неизвестного , удовлетворяющего системе

10. В основании призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник , в котором м. Диагональ длиной 1 м боковой грани образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Найти угол треугольника , если известно, что площадь квадрата со стороной равна сумме удвоенной площади треугольника и площади квадрата со стороной, равной разности сторон и треугольника.

9. Найти все значения параметра , при которых система

имеет решение.

10. В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 2 м. Диагональ боковой грани имеет длину 1 м и образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Меньшая диагональ параллелограмма равна полусумме соседних сторон равновеликого ему прямоугольника. Найти углы параллелограмма, если известно, что разность соседних сторон прямоугольника равна удвоенной разности соседних сторон параллелограмма.

9. Найти все значения параметра , при которых не найдется ни одного значения , удовлетворяющего системе

10. В основании призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник , в котором м. Диагональ длиной 1 м боковой грани образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Решить уравнение .

2. Вычислить , если известно, что и .

3. Решить уравнение .

4. Решить систему уравнений

5. Построить график функции и найти ее точки экстремума.

6. Решить уравнение .

7. Решить неравенство .

8. Найти угол треугольника , если известно, что площадь треугольника в два раза меньше разности площадей квадрата со стороной и квадрата со стороной, равной разности сторон и треугольника.

9. Найти все значения параметра , при которых система

имеет решение.

10. В основании призмы лежит равносторонний треугольник со стороной 2 м. Диагональ боковой грани имеет длину 1 м и образует с плоскостью грани угол величиной . Найти наибольший возможный объем призмы.

МАИ 2006

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике точка середина основания, а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и делит пополам. Найти углы треугольника .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Найти объем треугольной призмы, все ребра которой имеют длину 5 м, а площади двух ее граней равны соответственно 15 м и 12,5 м.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике проведена высота , а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и пересекает в точке . Найти углы треугольника , если .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Все ребра треугольной призмы имеют длину 1 м. Найти объем этой призмы, если известно, что площади двух ее граней равны 0,5 м и 0,75 м соответственно.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике проведена высота , а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и пересекает в точке . Найти углы треугольника , если .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Найти объем треугольной призмы, все ребра которой имеют длину 6 м, а площади двух ее граней равны соответственно 24 ми 18 м.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике проведена высота , а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и пересекает в точке . Найти углы треугольника , если .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Все ребра треугольной призмы имеют длину 3 м. Найти объем этой призмы, если известно, что площади двух ее граней равны 6 м и 4,5 м соответственно.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике проведена высота , а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и делит пополам. Найти углы треугольника .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Найти объем треугольной призмы, все ребра которой имеют длину 4 м, а площади двух ее граней равны соответственно 12 м и 8 м.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________

«Утверждаю»

Ректор МАИ______________________

БИЛЕТ

1. Упростить выражение .

2. Решить уравнение .

3. Решить неравенство .

4. Найти наибольшее значение функции промежутке .

5. Найти угол между векторами и , если , и .

6. Решить систему уравнений

7. Решить уравнение .

8. В равнобедренном треугольнике проведена высота , а на сторонах и взяты точки и соответственно так, что , . Точка принадлежит , причем отрезок перпендикулярен и пересекает в точке . Найти углы треугольника , если .

9. Найти такие простые натуральные числа и , что число также простое.

10. Все ребра треугольной призмы имеют длину 2 м. Найти объем этой призмы, если известно, что площади двух ее боковых граней равны 3 м и 2 м соответственно.

МАИ 2007

Председатель предметной экзаменационной комиссии по математике_______________________