Деформирование элемента шевронного заполнителя из нелинейно упругого материала при больших перемещениях

Деформирование элемента шевронного заполнителя из нелинейно упругого материала при больших перемещениях

,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,
Казань, Россия

Предварительные постановочные эксперименты показывают, что потеря несущей способности шевронных заполнителей [1] из материалов типа Номекс происходит в области упругих деформаций в результате потери устойчивости ребер заполнителя. При этом ребро представляет собой стержень с достаточно сложным сечением. Картина деформирования этого элементарного модуля в виде тонкостенного стержня приведена на рис. 1, а его сечение в простейшем случае – на рис. 2. Рассматривая задачу об изгибе такого стержня, следуем методике получения решения для шарнирного закрепления в случае линейно упругого материала (эластике Эйлера [2]). Выражение для изгибающего момента тонкостенного стержня имеет вид (рис. 1) . Отсюда

(1)

Изменение кривизны выражается через угол наклона сечения

, (2)

где s – длина дуги.

Координата z (вдоль первоначальной прямой оси стержня) и перемещение V (поперек этой оси) связаны с длиной дуги s соотношениями (рис. 1):

(3)

(4)

Рис. 1. К определению перемещений. Рис. 2. Поперечное сечение стержня.

Принимая закон плоских сечений, получим выражение для деформации волокна на расстоянии у от нейтральной линии в виде . Положение нейтральной линии в физически линейных задачах подобного типа определяют из условия , где – продольное усилие, поскольку ввиду сильного изгиба считается возможным пренебрегать средним напряжением (A – площадь сечения) по сравнению с максимальными .

Отсюда следует, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Для описании же процесса продольного изгиба нелинейно упругого стержня даже такое предположение при определении положения нейтральной линии в несимметричных сечениях приводит к математическим трудностям, так как Е = Е(ε) = Е(y). В нашем случае, несмотря на несимметричность сечения, нейтральную линию также приближенно можно считать центральной, поскольку центр тяжести сечения находится на линии, соединяющей центры полок.

Учитывая, что

, , , , (5)

из (1) получим разрешающее нелинейное уравнение

(6)

Граничные условия имеют вид

Аппроксимируем какой-либо функцией. Пользуясь условиями симметрии, можно рассмотреть деформацию стержня лишь на четверти длины. Например, в простейшем варианте можно положить

(7)

Эта аппроксимация позволяет учесть появление «пластических шарниров» при увеличении амплитуды а. При малых а из (6), (7) получаем формулу Эйлера для критической силы, что служит косвенной проверкой представлений (6), (7).

Подставляя (7) в (5) и (6), получим, что слева в (6) стоит функция аргументов а и s. Для получения приближенного решения можно разложить тригонометрические функции в ряды Тейлора, а затем применить метод переопределенных коллокаций. Полагая , i = 1, .., n, (n – число точек коллокаций) и подставляя si в (6), получим n функций Pi = Pi(а). Осредняя, найдем зависимость P от амплитуды а. Задавая далее разные значения а, найдем зависимость а от P, с помощью которой можно построить аппроксимацию а = а(P).

Интегрировать по площади сечения А приходится численно. Для облегчения задачи можно учесть, что стержень имеет малую толщину . Уравнение оси стенки будет . Тогда , а в углу сечения можно пренебречь малой треугольной площадью.

Для отыскания зависимости P от перемещения U0 точки B необходимо решить уравнения (2)–(4). Подставляя (7) в (4), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой легко получить, снова раскладывая тригонометрические функции в ряды Тейлора. Задавая разные значения P, получим зависимость .

Вычисления показывают, что в физически линейной задаче зависимость Р(U0) является монотонно возрастающей (рис 3, кривая 2). В физически нелинейном случае примем закон нелинейной упругости в виде

, (8)

Тогда при (случай «идеальной пластичности») зависимость Р(U0) имеет вид, изображенный кривой 2 на рис. 3. Поэтому за нагрузку, отвечающую за несущую способность стержня, можно принимать Р=Рmin.

При использовании соотношений (7), (8) искомыми из эксперимента характеристиками являются , , , . Они могут определяться так называемыми методами идентификации (обобщениями теоретико-экспериментальных методов и метода среднеквадратичной невязки). Предложенная методика была применена при моделировании поведения шевронного заполнителя трехслойных панелей. Ниже приведены результаты обработки экспериментальных данных (первые четыре эксперимента были использованы для определения характеристик , , , ), которые подтверждают возможность ее использования.

Параметр	Типы образцов
1	2	3	4	Контрольные образцы
Pэкс., кг	180	105.9	207.5	159.5	14.9	21.6	22.4
Ррасч. физ. нелинейная, кг	150.2	112.5	246.9	165.5	19.3	20.2	15.8
Невязка, %	16.5	6.2	19.0	3.7	29.5	3.2	29.5

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № .

Литература

1. , , Зиннуров несущей способности панелей с шевронным заполнителем // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. – 2007. – № 4. – С. 8–10.

2. Работнов деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1988. – 712 с.