Проверить эти утверждения.

Решение.

X – многоугольник правильный,

Y – в многоугольник можно вписать окружность.

1. (x ® y)x ® y = (x’+y)x ® y = xy ® y x’+y’+y = 1.

2. (x ® y)y’ ® x’ = (x’+y)y’ ® x’ = x’y’+x’ x+y+x’ = 1.

3. (x ® y)y ® x = (x’+y)y ® x = y ® x y’+x ¹ 1.

Задача 2.2.15.(39)

Если число делится на 4, то оно чётное. Число – чётное. Значит, оно делится на 4.

Решение.

X – число делится на 4,

Y – число чётное.

(x ® y)y ® x = (x’+y)y ® x = y ® x = y’+x ¹ 1.

Задача 2.2.16.

Если целое число больше 1, то оно простое или составное. Если целое число больше 2 и чётное, то оно не является простым. Следовательно, если если целое число больше 2 и чётное, то оно составное(здесь присутствует скрытая посылка).

Решение.

x – число больше 1

y – число простое

z – число составное

u – число больше 2 и чётное.

Скрытая посылка зыключена в том, что число может быть или простым, или составным, третьего не дано, т.е. y’ = z.

(x ® (y+z))(u ® y’)(y’=z) ® (u ® z) = (x’+y+z)(u’+y’)(y’=z) ® (u’+z ) =

xy’z’+uy+yz+y’z’+u’+z = 1

Задача 2.2.17.

Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

Решение.

x – пошёл в кино

y – получил двойку

z – подготовил домашнее задание.

(x’ ® y’)(z ® x’)y ® z’ = (x+y’)(z’+x’)y ® z’ = x’y+xz+y’+z’ = 1.

Задача 2.2.18.

Я люблю Бетти или я люблю Джейн. Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн. Следовательно, я люблю Джейн.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Решение.

х – люблю Бетти

у – люблю Джейн

(x+y)(x ® y) ® y = (x+y)(x’+y) ® y = y ® y = y’+y = 1.

Задача 2.2.19.

Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.

Решение.

X – аргументы верны

Y – тезис верен

Z – рассуждение верно.

(xy’ ® z’)xz ® y = (x’+y+z’)xz ® y = xyz ® y = x’+y’+z’+y = 1.

Задача 2.2.20.

Докажите, что если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то само это число кратно 15. Используйте при этом следующие посылки: если число оканчивается на 0, то оно кратно 5; если сумма цифр числа кратна 3, то число кратно 3; если число кратно 3 и кратно 5, то оно кратно 15.

Решение.

X – число кратно 5

Y – число кратно 3

Z – число кратно 15

U – число оканчивается на 0

V – сумма цифр числа кратна 3.

(u ® x)(v ® y)((xy ® z) ® (uv ® z) = (u’+x)(v’+y)(x’+y’+z) ® (u’+v’+z) =

ux’+vy’+xyz’+u’+v’+z = 1.

Задача 2.2.21.

Если студент знает логику, то он сможет проверить выводимость формулы из посылки. Если студент не знает логику, но он прослушал курс "Логика" и освоил математический анализ в логике суждений, то он также сможет установить выводимость формулы. Значит, если студент или знает логику, или прослушал курс "Логика" и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость формулы из посылок.

Решение.

X – знает логику

Y – сможет проверить выводимость формулы из посылки

Z – прослушал курс логики и освоил матанализ в логике суждений.

(x ® y)(x’z ® y) ® ((x+x’z) ® y) = (x’+y)(x+z’+y) ® (x’z’+y) =

xy’+x’zy’+x’z’+y = 1.

Задача 2.2.22.

Если каждое действительное число есть алгебраическое число, то множество действительных чисел счётно. Множество действительных чисел несчётно. Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.

Решение.

X – действительное число

Y – алгебраическое число

Z – счётное множество чисел.

((x ® y) ® (x ® z))(x ® z)’ ® (x ® y)’ = ((x’+y) ® (x’+z))(x’+z)’ ® (x’+y)’ =

(xy’+x’+z)(x’+z)’ ® xy’ = (x’+y)xz’+x’+z +xy’ = xyz’+x’+z+xy’ = 1.

Задача 2.2.23.

Курс акций падает, если процентные ставки растут. Большинство владельцев акций разоряется, если курс акций падает. Следовательно, если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.

Решение.

X – курс акций падает

Y – процентные ставки растут

Z – акционеры разоряются.

(y ® x)(x ® z) ® (y ® z) = (y’+x)(x’+z) ® (y’+z) = x’y+xz’+y’+z = 1

Задача 1.2.24.

Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастёт. Следовательно, правительственные расходы не возрастут.

Решение.

X – капиталовложения постоянны

Y – правительственные расходы растут

Z – растёт безработица

U – снижаются налоги.

(x ® (y+z))(y’ ® u)(ux ® z’) ® y’ = (x’+y+z)(y+u)(u’+x’+z’) ® y’ =

xy’z’+y’u’+xzu+y’ ¹ 1.

Следовательно, заключение неверно.

Задача 2.2.25.

Проверьте правильность рассуждения средствами логики суждений: "Если человек осуждён судом, то он лишается избирательных прав. Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав. Следовательно, если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён судом".

Решение.

X – осуждён судом

Y – лишён избирательных прав

Z – невменяем.

(x ® y)(z ® y) ® (y’ ® x’z’) = (x’+y)(z’+y) ® (y+x’z’) =

xy’+zy’+y+x’z’ = 1.

Задача 2.2.26.

Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого слуха.

Решение.

X – Джон – автор слуха

Y – Джон глуп

Z – Джон беспринципен.

(x ® (y+z)) ® ((y’+z’) ® x’) = (x’+y+z) ® (yz+x’) = xy’z’+yz+x’ ¹ 1.

Задача 2.2.27.

Если в параллелограмме один угол прямой, то диагонали такого параллелограмма равны. Следовательно, при несоблюдении этого требования диагонали параллелограмма не равны.

Решение.

X – в параллелограмме один угол прямой;

Y - диагонали параллелограмма равны.

(x ® y) ® (x’ ® y’) = (x’+y) ® (x+y’) = xy’+x+y’ = x+y’ ¹ 1, т. е. мы утверждаем, что заключение неверно. Однако любой школьник, любящий геометрию, скажет, что мы ошибаемся. И он будет прав: дело в том, что прямоугольники и параллелограммы с равными диагоналями соединены не причинно-следственными связями, а функцией эквивалентности. Нельзя применять логику бездумно. Поэтому решение должно быть таким:

(x » y) ® (x’ ® y’) = (x’y’+xy) ® (x+y’) = xy’+x’y+x+y’ = 1, что и требовалось доказать.

Глава третья. Силлогистика.

3.1. Силлогистика Аристотеля.

В классической логике[4] при синтезе заключений для конкретного силлогизма в качестве шаблона используются фигуры(1 – 4), представленные на рисунке, и модусы. Считается, что с помощью таких шаблонов-ходуль для инвалидного мышления можно придти к правильным выводам.

Приведём так называемые «правильные» модусы[4].

Фигура 1: AAA, EAE, AII, EIO.

Фигура 2: EAE, AEE, EIO, AOO.

Фигура 3: AAI, IAI, AII, EAO, OAO, EIO.

Фигура 4: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO.

Развёрнутая запись модуса AAA для первой фигуры, например, выглядит так: AmxAym ® Aym.

Читатели сами могут убедиться, что такой подход, не учитывающий количественные характеристики терминов и универсума является глубоко ошибочным, что прекрасно понимал ещё 400 лет назад Френсис Бэкон.

3.2. Введение математики в силлогистику.

Современная логика суждений давно вызывает неудовлетворенность как своим несоответствием Аристотелевой логике[7],так и нечеткостью описания с точки зрения математической логики. Введение кванторов не только не разрешило этих проблем, но и продемонстрировало всю безмозглость матлогиков.

Рассмотрим вначале логику непосредственных умозаключений. Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двух конструкций (в скобках представлена краткая форма записи суждений):

1)Все X суть Y(Axy);

2)Некоторые X суть Y(Ixy);

Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения (силлогистических функтора):

1)Все X суть Y(Axy);

2)Ни один X не есть Y(Exy);

3)Некоторые X суть Y(Ixy);

4)Некоторые X не суть Y(Oxy).

Из диаграмм Венна с помощью таблиц истинности на основе классического синтеза логических функций могут быть тривиально получены следующие соотношения [6-8]:

Axy = (xy')' = x'+y

Exy = (xy)'= x'+y'

Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении [7]. Используя метод представления общеутвердительного функтора как пересечения множеств Х и Y по – Порецкому, получим следующий результат:

Axy = (x = xy) = xy + x’(xy)’ = xy + x’(x’ + y’) = xy + x’ = x’ + y. Аналогично выводится и соотношение для Exy.

Кстати говоря, из этого соотношения Axy = x'+y = x → y следует и объяснение физического смысла импликации. Поскольку высказывание «Все Х суть Y» эквивалентно импликации «Из истинности Х следует истинность Y», постольку эквивалентны и их аналитические представления. Отсюда же следует и вывод о бессмысленности разделения логики на силлогистику и логику суждений.

Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась еще русским логиком :"...частное суждение представляет для логики значительные трудности, употребление его полно двусмысленности".

Поскольку логические аргументы представляют собой скаляры, максимальная длина которых не может превышать "полной единицы" (универсума), т. е. x+x'=1, введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера. Необходимо отметить, что впервые геометрическую интерпретацию (интервальный метод изображения множеств) силлогистических функторов применил (гг.), немецкий философ, математик, физик и астроном. Однако, он допустил ряд ошибок, главной из которых явилось отсутствие фиксации универсума. Эта ошибка на несколько столетий похоронила идею математической силлогистики.

Вновь введенные скалярные диаграммы отличаются от диаграмм Ламберта[8] следующими принципиальными характеристиками:

1)наличие фиксации универсума;

2)размещение силлогистического функтора Еxy на двух, а не на

одном уровне;

3)возможность "дробного" (разрывного) представления понятия в

пределах универсума;

4)возможность графической и аналитической(4-значной компле-

ментарной) интерпретации результатов анализа и синтеза

силлогизмов.

Наличие даже одного из перечисленных отличий привело к переименованию кругов Эйлера в диаграммы Венна. Вполне естественно, что вновь введённые скалярные диаграммы получили название диаграмм Лобанова. Справедливости ради следует отметить, что скалярные диаграммы впервые применил Лейбниц[10, стр.601], но как и его ученик Ламберт не сумел их использовать для аналитического описания функторов и синтеза заключений в силлогизмах.

С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны многие логики. утверждает, что "научное употребление слова "некоторые" совпадает с общеразговорным", т. е. с бытовым, а не аристотелевским. Кроме того, считает, что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением. Он также заявляет: "В математике так называемые частные суждения сводятся... к общим, и она прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "некоторые". К этому же должна стремиться и всякая наука... Частное суждение нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего суждения, а как особый вполне самостоятельный вид суждения, вполне координированный с общими суждениями, исключающий их и исключаемый любым из них". С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.

Глава четвёртая. Вероятностная логика.

4.1. Вероятностные заключения.

Впервые о связи логики с теорией вероятности заявил [9]. Он показал, как легко и просто решаются вероятностные задачи с помощью логики. Мы будем решать обратную задачу: определять вероятность того или иного заключения в силлогизме.

Под синтезом силлогизма будем понимать нахождение неизвестного заключения по известным посылкам или неизвестной посылки по известному заключению.

При синтезе заключений в подавляющем большинстве случаев имеют место несколько вариантов решений. Требуется определить вероятность реализации каждого решения.

Рассмотрим следующий силлогизм.

Некоторые студенты (m) – отличники (x).

Некоторые студенты (m)– блондины (y).

----

Найти f(x, y), если известно, что студенты составляют 20% от числа учащихся страны, отличники – тоже 20%, а блондины – 40%.

Решение.

Классическая логика однозначно утверждает, что заключения не существует. Однако в Русской логике эта задача легко решается. Примем в качестве универсума (U) множество всех учащихся, тогда получим решение, представленное на скалярной диаграмме.

Из диаграммы Лобанова видно, что заключение данного силлогизма трёхвариантно: Axy, Exy, Ixy. На этом и заканчивается творческий этап решения задачи. Поиск вероятности каждого варианта заключения – дело техники (для «мартышек с арифмометром»), поэтому при изучении Русской логики в младших классах этот процесс можно опустить без ущерба для освоения дисциплины мышления. Вычисление вероятности описано у меня в «Русской вероятностной логике», да и в любой классической литературе по комбинаторике и теории вероятности.

Рассмотрим пример из теории логического следования [8,стр.158]: «Сократ идёт, следовательно, белый идёт» редуцируется с помощью добавления суждения случайности: «Сократ бел».

Однако здесь весьма уважаемый логик ошибается. Представим эти две посылки в более привычном виде:

Сократ (m) – идущий человек (x).

Сократ (m) – белый человек (y).

Найти f(x, y).

Примем в качестве универсума U множество всех людей. По незыблемым правилам формулирования посылок введём количественные характеристики в этот силлогизм. Пусть количество белых (седых?) составляет 60% от универсума, а количество идущих – 30%. Тогда решение будет несколько иным.

Тогда на основании скалярных диаграмм получим следующий результат.

Из диаграмм получаем два варианта заключения: «Все белые идут» и «Некоторые белые идут».

В завершение рассмотрим ещё один пример силлогизма:

Все отличники (m) трудолюбивы (x).

Все отличники (m) русые (y).

f(x, y) = ?

Примем в качестве универсума учащихся одного класса, в котором всего 8 учеников (n). Пусть известно также, число отличников nm = 4, количество трудолюбивых nx = 5 и русых ny = 6. Возможны два варианта распределения множеств отличников, русых и трудолюбивых. Оба эти варианта отражены на диаграммах.

При анализе диаграмм обобщённое(интегрированное) заключение расшифровывается так: « Некоторые лентяи русые». Однако нас интересует лишь возможные варианты заключения, а именно: «Все трудолюбивые – русые» и «Некоторые трудолюбивые – русые».

Иногда возникает необходимость по заданным посылке и заключению найти недостающую посылку. Пришлось разработать алгоритмы решения подобных задач. Здесь излагается графический алгоритм, самый эффективный из мною созданных.

Алгоритм «Алмаз» (синтез недостающей посылки).

1. Убедиться, что для всех терминов-множеств исходных посылок и универсума силлогизма указаны количественные характеристики (заданы мощности множеств или хотя бы соотношения между ними).

2. Изобразить все возможные (из набора Amy, Aym, Emy, Am’y & Ay’m, Imy и m«y) ситуации для исходной посылки и заключения с помощью скалярных диаграмм.

3. Определить вероятность каждого варианта решения, используя формулы вычисления количества сочетаний.

Пример.

Однажды я получил по электронной почте письмо следующего содержания.

Date: Thu, 6 Nov 2003 15:49:54 +0500

Subject: Помогите мне в логике!

> Пожайлуста! помогите мне решить задачу, мне нужно досдать экзамен, я прочитала кучу литературы, но на этом остановилась, так как очень сложно самостоятельно изучать логику:

> Восстановите, если это возможно, пропущенную часть силлогизма:

> Пушкинский пророк никакого определённого призвания не

имеет, следовательно, он-не настоящий пророк. ()

Сгоряча я решил эту задачку аналитически.

Ваша задачка:

Пушкинский пророк(х) определённого призвания не имеет(m).

f(m, y) = ?

Пушкинский пророк(x)-не настоящий пророк(y).

x - пушкинский пророк;

y - настоящий пророк;

m - имеющий определённое призвание.

В соответствии с моими алгоритмами(см. В.И. Лобанов"Русская логика против классической" и "Решебник по Русской логике") получим:

Exm & f(m, y) -> Exy = (x'+m') & f(m, y) -> (x'+y')

xm+f'(m, y)+x'+y' = 1

f'(m, y) = m'y

f(m, y) = y'+m = Aym, т. е. "Все настоящие пророки имеют определённое призвание"

С уважением, Владимир Иванович Лобанов.

Однако это всего лишь частный случай. По алгоритму «Алмаз» нарисуем диаграммы Лобанова и получим вероятностное решение.

Из диаграмм видно, что для заданных грфически количественных характеристик терминов-множеств и универсума возможны 3 варианта недостающей посылки Aym, Eym, Iym, что соответствует следующим суждениям: «Все пророки имеют определённое призвание», «Ни один пророк не имеет призвания» и «Некоторые пророки имеют определённое призвание».

4.2. Вероятностные посылки.

Этот раздел рекомендуется школьникам, изучившим комбинаторику, т. е. знакомыми с сочетаниями, размещениями и перестановками.

Мы с Вами, дорогой Читатель, убедились, что вся силлогистика является вероятностной, поскольку в подавляющем большинстве случаев заключение из двух заданных посылок оказывается многовариантным. Каждый вариант такого заключения имеет определённую вероятность. Алгоритм «Циклон» синтеза такого заключения изложен в [8, с.250] и в приложении к данному пособию.

Задача нахождения заключения становится ещё более интересной, если и посылки являются вероятностными.

Задача 4.2.1.

Известно, что множества M, X, Y и универсум U имеют следующие мощности (количество элементов в множестве) соответственно: m=1, x=2, y=3, u=4. Известно также, что Amx. Соотношение множеств M и Y не задано.

Найти для посылок AmxAmy вероятность заключения Axy.

Решение.

Представим условие задачи на диаграммах Лобанова.

Первая посылка задана нам вполне определённо, т. е. со 100%-ой вероятностью. А вторая посылка Amy не определена, т. е. она носит вероятностный харктер. Вначале определим вероятность посылки Amy. Обозначим число сочетаний из m по n как C(m, n). Тогда искомая вероятность составит P(Amy) = C(u-m, y-m)/C(u, y) = C(3,2)/C(4,3) = 3/4 = 0,75.

Теперь в соответствии с алгоритмом "Циклон" и полученной P(Amy) найдём вероятность заключения Axy для посылок AmxAmy: P(Axy) = 3/4 x 2/3 = 1/2 = 0,5.

На самом деле мы определили абсоютную вероятность заключения Axy, т. к. ни при каких других посылках (Emy, Imy) нельзя получить заключение Axy.

Задача 4.2.2.

Для задачи 4.2.1 найти вероятность заключения Ax'y, если известно, что вторая посылка Emy имеет вероятностный характер.

Решение.

Представим условия задачи на скалярных диаграммах.

Из условий задачи видно, что заключение Ax'y возможно при второй посылке Emy. Вероятность такой посылки составляет P(Emy) = C(u-m, y)/Cu, y) = C(3,3)/C(4,3) = 1/4 = 0,25.

Поскольку при заданных количественных характеристиках множеств возможны лишь два варианта второй посылки(Amy, Emy), то вероятность искомого заключения составит:

P(Ax'y) = 1/3 x 3/4 + 1 x 1/4 = 1/2 = 0,5.

Результат подтверждается суммой вероятностей P(Axy) + P(Ax'y) = 0,5+0,5 = 1.

В рассмотренных задачах представлен один из простейших случаев с одной вероятностной посылкой. Однако изложенный метод годится и для синтеза заключений с двумя и более вероятностными посылками.

Задача 4.2.3.

Известны количественные характеристики силлогизма: m=1, x=2, y=3, u=4. Исходные посылки не заданы.

Определить вероятность заключения Axy для всей совокупности исходных посылок.

Решение.

Опять обратимся за помощью к скалярным диаграммам. Прошу Русского Читателя почаще использовать термины Русская логика и Диаграммы Лобанова, чтобы бестолковый Запад не забывал, что их учила, учит и будет учить уму-разуму именно Русь.

Из диаграмм определим вначале количество вариантов размещения множеств X и Y для создания общеутвердительного суждения Axy.

K(Axy) = C(u-x, y-x)/C(u, y).

Общее количество размещений множества Y на множестве универсума U определяется числом сочетаний

K(y) = C(u, y).

P(Axy) = K(Axy)/ K(y) = C(u-x, y-x)/C(u, y) = C(4-2,3-2)/C(4,3) = =C(2,1)/C(4,3)=2/4=0,5.

Простота графического алгоритма анализа и синтеза силлогизмов наводит на мысль о том, что и скалярные диаграммы, и алгоритмы могли быть открыты 25 веков назад Аристотелем. Во всяком случае, скаляры были известны Евклиду, современнику Аристотеля.

Заключение.

Автор не считает предложенные методы, алгоритмы и полученные по ним результаты истиной в последней инстанции. Однако эти результаты хорошо согласуются со здравым смыслом. Автор видит пути ревизии изложенных методов и собирается критически переосмыслить их при более благоприятных обстоятельствах. Но некоторые итоги не вызывают сомнения:

- силлогистика Аристотеля является ошибочной;

- правила посылок некорректны;

- модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают универсум, конкретное содержание посылок и количественные характеристики терминов-множеств;

- аналитическое представление силлогистических функторов Axy, Exy впервые дано русским логиком ;

- общеразговорная логика не является двоичной.

Глава пятая. Дисциплина мышления.

Человеческое мышление по своей природе хаотично, неорганизованно, аморфно, недисциплинированно. Автор не является исключением из общего правила. Стоит ли огорчаться по данному поводу? Вероятно, с этим нужно смириться как с неизбежностью. Ведь мы не бьём тревогу относительно того, что не в силах состязаться с ЭВМ в шахматах и прочих рутинных вычислительных операциях. Кстати, не нужно путать эрудицию с мудростью или демонстрацией мышления. Когда какой-нибудь телеведущий заявляет, что «знатоки» зарабатывают деньги своим собственным умом, своей головой, то он глубоко ошибается. Знатоки зарабатывают деньги не головой, а совсем другим местом. Человек – это изумительное по совершенству создание, его предназначение состоит в решении творческих, эвристических задач, где «неорганизованность» мышления, возможно, играет главную роль. Поэтому русский шахматист Алехин так и остался непревзойдённым мастером этой игры. Однако заставлять человека играть в шахматы – это то же самое, что забивать микроскопом гвозди. Но вооружить человека инструментом, дисциплинирующим мышление, можно и нужно. Эта задача значительно сложнее и важнее повальной компьютеризации. Зачастую компьютеризация превращает нас в «мартышек с арифмометром», а дисциплинирование мышления такой катастрофой не грозит. К тому же если «знание – это сила», то «мышление – это могущество». Поэтому игра стоит свеч. В качестве такого «мыслительного инструмента» выступает Русская логика.

Проиллюстрируем её возможности на конкретном примере. Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 –768с.) на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.

Некоторые животные – люди.

Некоторые животные – разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления Б. Рассела. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[5] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто безграмотна: в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что некоторые люди – животные, а остальные - деревья, кусты, цветы или другие растения. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди – животные». В-третьих, по теории великого русского физиолога , а Рассел придерживался именно этой господствующей в то время теории, разумными могут быть люди и только люди, т. е. «люди» и «разумные существа» – эквивалентные понятия. Следовательно, и первая посылка некорректна. Рассела, получим следующие посылки.

Все люди(m) и только люди разумны(x).

Все люди(m) – животные(y).

F(x, y) = ?

Решение.

Пусть x – разумные существа, m – люди, y – животные. Универсум – животный и растительный мир.

M = (x»m)Amy = (xm+x’m’)(m’+y) = m’x’+xmy+x’m’y = m’x’+xmy

F(x, y) = x’+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные – животные», что вполне согласуется со здравым смыслом. Б. Рассел в монографии «Искусство мыслить» (М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный силлогизм – образец вопиющей безграмотности. По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.

Из диаграмм Лобанова получены 3 варианта заключения: Eac, Aca, Iac. Если бы мы задали другие количественные характеристики терминов, то получили бы другие заключения. Пусть множество А меньше множества С, тогда будем иметь только 2 варианта заключения: Aac и Iac.

Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество Б. Рассела, но и его бестолковость. Кстати, вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого другого «мыслителя», сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм. Именно они принудительно дисциплинируют мышление.

Нередко частноутвердительное суждение бездумно употребляется вместо общеутвердительного. Если для суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использовать любой симметричный базис, а частноутвердительное суждение по определению симметрично, то придем к абсурдному заключению "Некоторые млекопитающие - животные", поскольку на самом деле исходное суждение должно иметь вид "Все млекопитающие - животные". Именно такую ошибку дважды допустили преподаватели Кэмбриджа и Оксфорда, авторы учебного пособия по философии, на стр.170 и 174[11]. Этот пример свидетельствует о бестолковости преподавателей «престижных» вузов Запада. О безграмотности этих «педагогов» Читатель может судить сам после освоения Русской логики.

Силлогизмы подобного типа не могут быть решены без скалярных диаграмм, конкретизации универсума и содержания посылок. Автор и сам без скалярных диаграмм и русской логики становится беспомощным при анализе и синтезе сложных силлогизмов. Таким образом, логика дисциплинирует мышление, тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Демокрита о том, что надо воспитывать в себе «многомыслие», а не «многознание.

В «Диалогах» Платона встречается такой вопрос: “ Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идёт в обучение, - они мудрецы или невежды?» И далее утверждается, что любой ответ будет неверным. Это яркий пример терминологической путаницы: мудрец – не всезнайка, а просто умный человек. Если бы Клиний и его оппоненты определили содержание термина, то никакого диспута не возникло бы.

Что касается ума, то автор относит себя к середнячкам, а поэтому ищет умных оппонентов-академиков. В гуманитарной и тем более математической логике за последние 120 лет я умных академиков не заметил. Кстати, даже такие «корифеи» в логике, как акад. , проф. Садовничий (ректор МГУ), проф. , всякие расселы, заде, гёдели и чёрчи ни черта не поняли ни в работах гениального логика , ни в результатах, полученных Л. Кэрроллом. Если уж ты не способен создать что-либо стоящее в науке, то разберись вначале хотя бы с достижениями своих предшественников в данной области.

Обращаюсь к Читателю со следующим предостережением. Во-первых, не верьте мне наслово. Тем более не верьте «корифеям» логики. Дополнительно примите к сведению, что с точки зрения «логиков-профессионалов», автор Русской логики – дилетант, поскольку я действительно не изучал в институте логику Аристотеля. Пришлось изучить, чтобы уничтожить болтологику. Но стоит ли тратить время на то, что ещё 400 лет назад было разгромлено Френсисом Бэконом, что вызывало возмущение советского логика , что опроверг 125 лет назад величайший Русский логик Платон Сергеевич Порецкий и немного позже даже английский математик и сказочник Льюис Кэрролл. Аналогичная ситуация у автора сложилась и с другим «классиком»: «А Вы читали Бертрана Рассела?». Прочёл – убедился в бестолковости нобелевского лауреата. Поэтому нет ни малейшего желания тратить время на невежественных и бестолковых заде, гёделей, и чёрчей. Не освоил фундаментальных для математической логики работ и Льюиса Кэрролла - невежда, неуч и бестолочь по определению. Советую и Читателю не тратить время на невежд и безмозглых «корифеев».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Мы с Вами, дорогой Читатель, убедились, что вся силлогистика является вероятностной.

2. В то же время автором Русской логики было доказано, что между логикой суждений и логикой предикатов (силлогистикой) нет никакой разницы. Следовательно, и силлогистика, и логика суждений, т. е. вся логика является вероятностной и никакой другой математической логики просто не существует.

3. На этом основании и на основании фундаментальных работ можно утверждать, что Русская вероятностная логика является не только фундаментом искусственного интеллекта, но и базой теории вероятности.

4. Логика Аристотеля не только бесполезна, но и вредна (это было понятно Ф. Бэкону уже 400 лет назад).

5. Все существующие учебники логики безграмотны, невежественны и бестолковы. Все задачи в классической логике с многовариантными заключениями безграмотны, поскольку ни в одной из них не заданы количественные характеристики терминов и универсума.

6. Все логики после и Л. Кэрролла безграмотны, невежественны и бестолковы. Все колмогоровы, зиновьевы, заде, бертраны расселы, гёдели, чёрчи и им подобные не только не смогли понять, что матлогика вероятностна, что нет разницы между логикой суждений и логикой предикатов, алгеброй логики и алгеброй множеств, что нет никакого кванторного исчисления, но и не освоили фундаментальных работ Порецкого и Кэрролла.

7. В данной работе подчёркивается приоритет в создании истинно математической силлогистики и решении логических уравнений.

8. Впервые обнаружены и устранены ошибки в решении логических уравнений, созданы алгоритмы графического анализа и синтеза силлогизмов, а также алгоритм работы с картами Карно для большого числа аргументов.

9. Впервые создана вероятностная логика и разработаны её алгоритмы.

Подводя итог вышеизложенному, нельзя не придти к выводу, что впервые в мире создана истинно математическая логика, не противоречащая здравому смыслу. Фактически родилась совершенно новая наука, сделан первый шаг в осуществлении именно научной, а не просто очередной научно-технической революции, поскольку созданы предпосылки для рационализации труда учёных. Впервые в мире реализованы мечты Аристотеля и Лейбница. Их чаяния воплощены в России.

Требуется скорейшее внедрение Русской логики в школьное и вузовское преподавание для искоренения грубейших ошибок классической логики, а также в связи с тем, что логика составляет фундамент искусственного интеллекта, главного научного направления 3-го тысячелетия, по уровню развития которого судят о научном потенциале державы.

Краткий справочник по русской логике.

Варианты силлогистического функтора Ixy.

1.Ixy = Ixy || Ayx || Axy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)

(Ixy)' = j(xy'+x'y)

2.Ixy = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y'

(Ixy)' = jx'y'

3.Ixy = Ixy || Axy || Ayx || Ax'y || (x=y) = xy+i(x'+y')

(Ixy)' = j(x'+y')

4.Ixy = Ixy || Ayx = x+y'+ix'y

(Ixy)' = jx'y

5.Ixy = Ixy || Ayx || Ax'y = x+ix'

(Ixy)' = jx'

6.Ixy = Ax'y = Ay'x = Ex'y' = x+y

(Ixy)' = x'y'

7.Ixy = Ixy || Axy || Ax'y = y+iy'

Oxy = jy'

8.Функтор Васильева изображен на рисунке.

Любой базис может быть представлен с помощью атомарного базиса, состоящего всего из двух функторов:

Axy = x'+y,

Ixy = x+y+x'y' = 1

Русский базис.

Axy(2) = Axy = x'+y

Exy(2) = Axy' = x'+y'

Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ixy'

Базис Васильева.

Axy(8) = Axy = x'+y

Exy(8) = Axy' = x'+y'

Ixy(8) = Ixy = x+y+x'y' = 1

Базис Аристотеля-Жергонна.

Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y

Exy(3) = Axy' = x'+y'

Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y')

Oxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = Ixy'(3)

Алгоритмы Русской логики.

Список алгоритмов.

«АКТЕЛ» - аналитический синтез исходных посылок.

«Алмаз» - синтез недостающей посылки.

«Волга» - решение логических уравнений в двоичной логике.

«Импульс» - анализ законов логики суждений.

«Импульс-С» – синтез законов логики суждений.

«ИЭИ» - аналитический синтез силлогизмов.

«Комета» - вероятностный графический синтез недостающей посылки.

«НИИДАР» - графический синтез исходных посылок.

«НИИРТА» – минимизация логических функций по картам Карно.

«Осташков» - синтез полисиллогизмов.

«РЕДАН» – графический синтез недостающей посылки.

«СГА» - аналитический синтез исходных посылок.

«Селигер» – решение логических уравнений.

«Селигер-С» синтез обратных функций.

«Суздаль» – графический синтез соритов.

«ТВАТ» – графический синтез силлогизмов.

«Циклон» - синтез многовариантных силлогизмов.

Алгоритм «АКТЕЛ» аналитического отыскания исходных посылок.

По заданной полной единице системы построить N-1 посылок сорита как функций от двух переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные. Здесь N – число аргументов.

Проверить полученные результаты логическим перемножением посылок и сравнением с заданной полной единицей системы.

Алгоритм «Алмаз» (синтез недостающей посылки).

3. Определить вероятность каждого варианта решения, используя формулы вычисления количества сочетаний.

Алгоритм «Волга» решения уравнений в двоичной логике.

1. Привести систему уравнений к нулевому виду.

2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.

3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет минимальную дизъюнктивную нормальную форму (МДНФ) уравнения полной единицы системы.

4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходных переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.

5. Если на каком-либо наборе функция Y принимает как 0, так и 1, то присвоить ей значение Y. Если существуют наборы, на которых функция Y не определена, то на этих наборах искомой функции присвоить её инверсное значение, т. е. Y’.

6. Произвести минимизацию полученного выражения.

7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его полной единице системы для задействованных аргументов, т. е. выполнить проверку равносильности произведённых преобразований.

Алгоритм «Импульс» (анализ законов логики суждений).

1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x ® y = x’ + y;

2)привести полученное выражение к ДНФ;

3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами – это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.

Алгоритм «Импульс-С»(синтез импликативных силлогизмов).

Алгоритм инженерного синтеза импликативных силлогизмов по заданным посылкам немногим отличается от предыдущего алгоритма:

1)найти полную единицу системы М посылок, заменив импликацию по формуле x ® y = x’ + y;

2)привести полученное выражение к ДНФ;

3)подставляя в полученное выражение необходимые аргументы и отбрасывая лишние, т. е. заменяя их логической единицей или на i в случае автономного их вхождения, выводим соответствующие заключения как функции интересующих нас аргументов.

Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез силлогизма).

1.Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов A, E,I, O.

2.Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнкции всех посылок.

3. Получить из М функцию М(х, у), заменив средний член m или m' на 1. Если средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х, у) является заключением силлогизма. Если в М встречается терм im или im’, то заключения не существует.

Алгоритм «Комета»

(вероятностный графический синтез недостающей посылки).

1. Изобразить на диаграммах Лобанова исходную посылку и все варианты заданного заключения.

2. Определить вероятность каждого варианта искомой посылки.

Алгоритм «НИИДАР» графического нахождения исходных посылок.

1. По СДНФ полной единицы системы М построить сокращённую таблицу истинности для неё.

2. По сокращённой таблице истинности построить скалярные диаграммы, разбив интервал универсума на части, количество которых равно числу наборов в таблице истинности для М. Каждая часть универсума изображается соответствующим набором из таблицы истинности для М.

3. Из скалярных диаграмм выбрать (N – 1) логических функций от двух переменных, где N – число аргументов.

Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций.

1. Заполнить карту Карно нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

2. Покрыть все элементарные квадраты Карно, в которых записаны единицы, минимальным количеством фигур покрытия, каждая из которых имеет максимальную площадь. Если в КК единиц больше, чем нулей, то покрыть все нулевые наборы и получить инверсию искомой функции.

3. Проверить каждую фигуру покрытия на соответствие принципу симметрии. В противном случае изменить контур фигуры покрытия в соответствии с принципом симметрии так, чтобы она превратилась в прямоугольник Карно.

4. Каждому прямоугольнику Карно соответствует одна импликанта, причём если в границах прямоугольника Карно какая-либо переменная принимает значения как 0 , так и 1 , то эта переменная не войдёт в импликанту.

Алгоритм «Осташков» (синтез заключений полисиллогизма).

1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).

3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы М.

4. Получить из М все К заключений сорита как функции от двух заданных переменных, заменяя на 1 все «лишние» переменные или на i в случае автономного их вхождения в формулу.

5. Представить результаты в виде скалярных диаграмм.

Алгоритм «РЕДАН» (графический синтез недостающей посылки).

1.Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения с помощью скалярных диаграмм.

2.Занести в таблицу истинности все значения f(m, y) для входных наборов my: 00,01,10,11.

3.Выполнить минимизацию логической функции посылки f(m, y).

4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Алгоритм «СГА» аналитического нахождения исходных посылок.

1. По полной единице системы построить n-1 посылок от двух аргументов, где n – количество терминов(аргументов).

2. Посылки должны в совокупности охватить все аргументы.

3. Ни одна из посылок не должна превращаться в логическую константу, равную 1, т. е. ни одна из исходных посылок не должна быть частноутвердительным суждением.

Алгоритм «Селигер» решения логических уравнений.

1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).

3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы.

4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходной переменных в виде частной таблицы истинности для искомой функции.

5. Произвести минимизацию полученного выражения..

6. Привести полученное выражение к рекурсивной форме, заменив i на прямое значение искомой переменной, а j – на инверсное значение этой переменной.

7. Произвести проверку рекурсивного выражения на соответствие его полной единице системы для задействованных аргументов.

Алгоритм «Селигер-С» синтеза обратных функций.

1. Построить таблицу истинности для уравнения z=f(x1, x2 ..... xn).

2. По исходной таблице истиннсти построить таблицу истинности для обратной функции вида x1=fi(z, x2 ......xn) простой перестановкой столбцов z и х1.

3. По полученной таблице истинности построить обратную функцию x1=fi(z, x2, ..... xn) и провести её минимизацию.

4. Проверить полученное решение, вычислив полную единицу системы М по обратной функции.

Алгоритм «Суздаль» (графический синтез заключений сорита).

1. Устранить по возможности все инверсии аргументов в посылках.

2. Выстроить посылки в «цепочку», обеспечивающую однозначное графическое представление сорита.

3. В соответствии с «цепочкой» изобразить скалярные диаграммы сорита.

4. Найти все возможные двуместные заключения с помощью скалярных диаграмм.

Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов).

1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.

2.Занести в таблицу истинности все значения f(x, y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.

3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x, y).

4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Алгоритм «Циклон» (синтез многовариантных силлогизмов).

2. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм Лобанова.

3. Определить вероятность каждого варианта заключения, используя формулы вычисления количества сочетаний.

4. В том случае, когда первой посылкой является общеутвердительное или общеотрицательное суждение, то достаточно определить вероятности заключений по одному варианту из всех возможных для первой посылки.

Перечень сокращений

БИС - большая интегральная схема

БМОК – база минимального обобщённого кода

ДНФ - дизъюнктивная нормальная форма

ЗОК - запрещённый обобщённый код

ИС - интегральная схема

ИЭИ - Ивановский энергетический институт (Иваново)

КА - конечный автомат

КДУ - контрольно-диагностическое устройство

КК - карта Карно

КС - комбинационная схема

МОК - минимальный обобщённый код

МДНФ – минимальная ДНФ

НИИДАР – НИИ дальней радиосвязи (Москва)

НИИРТА – НИИ радиотехнической аппаратуры (Москва)

НТР - научно-техническая революция

ПЛИС - программируемая логическая интегральная схема

ПЛМ - програмируемая логическая матрица

ПМЛ - программируемая матричная логика

ППК - предполагаемый прямоугольник Карно

РОК - рабочий обобщённый код

СДНФ – совершенная дизъюнктивная нормальная форма

ТВАТ - Тушинский вечерний авиационный техникум (Москва)

Литература

1. АнтиЭйнштейн. Главный миф ХХ века. – М.: Яуза, 2005.

2. Популярная логика. - М.:Наука,1979.

3. Катречко в логику. – М.: УРАО, 1997.

4. Кириллов . - М.: Юрист,1995.

5. История с узелками. - М.:Мир,1973.

6. Лобанов по Русской логике. – М.: Компания Спутник+, 2002 – 133с.

7. Лобанов логика для школьников (и академиков). – М.: Эндемик, 2004 – 110 с.

8. Лобанов вероятностная логика. – М.: «Русская Правда», 2009 – 320с.

9. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. - Казань:1884.

10. Формирование математической логики. - М: 1967.

11. , Философия. - М.: Весь Мир,1997.

Минимум по русской вероятностной логике (стр. 3 )

Глава третья. Силлогистика.

3.1. Силлогистика Аристотеля.

3.2. Введение математики в силлогистику.

Глава четвёртая. Вероятностная логика.

4.1. Вероятностные заключения.

Алгоритм «Алмаз» (синтез недостающей посылки).

4.2. Вероятностные посылки.

Глава пятая. Дисциплина мышления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Краткий справочник по русской логике.

Перечень сокращений

Литература

Оглавление

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы