Моногенные и голоморфные функции

30(1). Моногенные и голоморфные функции.

Опр. дифф-ма в точке в смысле действительного анализа, если и дифф-мы в т. как функции двух переменных.

Опр. 1. Пусть ф-ия комплексной переменной, определенная в области и - предельная точка области . Функция называется моногенной в точке , если существует конечный предел

причем точка

Всякая моног. в т. ф-я непр. в этой т.

Опр 2. Функция, моногенная в каждой точке области , называется голоморфной в .

Лемма. дифф. в точке в смысле действ. анализа (с. д.а.) в некоторой окрестности точки

Критерий голоморфности ф-ии в области. Для того, чтобы ф-ия была голоморфна в , необходимо и достаточно, чтобы

1) ф-ии и были дифф-мы в с. д.а. в каждой точке ;

2) всюду в области выполнялись условия Коши – Римана:

□ Необходимость. Пусть z – произвольная фиксированная предельная точка из D и f(z) моногенна в z. Тогда

С другой стороны,

Но в силу моногенности функции f предел не должен зависеть от способа стремления к нулю. Следовательно,

откуда следуют условия Коши – Римана.

Достаточность. Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x, y) и пусть выполняются условия Коши – Римана. Тогда, как известно из действительного анализа,

Кроме того,

Тогда

Из условий Коши – Римана следует:

Разделив это равенство на , получим

т. е. существует производная , и функция моногенна в точке z. В силу произвольности вы-бора этой точки функция f голоморфна в D. ■

Опр. f(z) голоморфна в т. , если существует окр-ть , в которой f моногенна.

Критерий голоморфности = кр. моногенности, выполненному в некоторой окрестности точки .

Примеры. Дифф. в с. д.а. < моноген. < голоморф.

1) - голоморфна на С.

2)

голоморфна на

3) - моногенна в нуле, но нигде не голоморфна. Не выполнено усл. Коши – Римана.

4) - нигде не моногенна.

Опр 3. Изолированной особой точкой (ИОТ) функции f(z) называется такая точка , у которой существует проколотая окрестность, в которой функция голоморфна, но в самой точке - не моногенна.

Опр 4. ИОТ a функции f(z) называется:

- устранимой особенностью, если существует и конечен;

- полюсом, если

- полюсом n-ого порядка, если

- существенно особой точкой, если не существует.

Примеры. 1) z=0 - и. о.т.

2) - полюс n-ого порядка.

3)

Для а=∞:

- устранимая о. т., если

- полюс n-ого порядка, если

- с. о.т., если

Примеры. 1) - полином имеет на бесконечности полюс n-ого порядка.

2) - с. о.т. на бесконечности.

3)

полюсы 1-го порядка

0 – не изолированная особая точка

Можно дать классиф-ию ИОТ через ряды Лорана.

Пусть функция f(z) голоморфна в кольце

K={r<|z-a|<R}. Тогда эту функцию можно разложить в ряд Лорана

сходящийся в кольце K. Здесь - любое из (r,R).

Пусть точка a – ИОТ функции f(z).

a – устранимая особенность главная часть ряда Лорана в окрестности точки а равна нулю;

a – полюс n-ого порядка главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов;

a – существенная особенность главная часть Лорана содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Опр 5. Вычет функции f(z) в конечной ИОТ a - это коэффициент её ряда Лорана с номером -1:

где - любой замкнутый спрямляемый контур, содержащий внутри точку a и лежащий в кольце голоморфности функции f(z).

Вычет в конечной устранимой особой точке равен нулю (так как все ).

Если - простой полюс для f(z), то

Если - полюс порядка m для f(z), то

(Здесь (m-1) – порядок производной).

В существенно особых точках для нахождения вычета ф-ия разлагается в ряд Лорана с центром в точке.

Примеры.

Теорема о сумме вычетов. Для голоморфной функции f(z), имеющей лишь конечное число особых точек на полная сумма вычетов равна нулю:

Теорема Коши. Пусть D – ограниченная область с кусочно-гладкой границей для D. Пусть f – голоморфна в D, за исключением конечного числа и. о.т. , и непрерывна на . Тогда

31(1). Экспонента, её аналит. и геом. св-ва.

Функция для комплексных чисел определяется формулой

Следовательно,

Из определения следуют основные свойства функции :

1. Для любых имеет место рав-во

2. Функция периодична с чисто мнимым периодом .

3. Функция определена и непрерывна в .

4. .

5. Функция принимает все значения, кроме нуля, т. е. уравнение разрешимо . Если

, то все решения уравнения даются формулой

Опр. 1. Пусть ф-ия комплексной переменной, определенная в области и - предельная точка области . Функция называется моногенной в точке , если существует конечный предел

причем точка

Всякая моног. в т. ф-я непр. в этой т.

Опр 2. Функция, моногенная в каждой точке области , называется голоморфной в .

6. - голоморфна на С.

7. не имеет предела на бесконечности.

Показательная функция голоморфна на и

периодична, т. е. не имеет предела при . Следовательно, её нельзя продолжить на

непрерывно ни в евклидовой, ни в сферической топологии. Так как то отображ-ие локально однолистно и конформно на . Однако это отображение не однолистно на в силу периодичности.

Опр. Локально однолистные отображения - это отображения, гомеоморфные в некоторой окрестности точ­ки, т. е. те, для которых из следует .

Опр. Отображение конформно в точке , если оно локально однолист­но в этой точке, сохраняет углы между гладкими кривыми, проходящими через , и обладает свойством постоянства растяжения бесконечно ма­лых дуг с началом в точке . Отображение конформно в области, если оно конформно в каждой точке области.

Области однолистности экспоненты характеризуются тем, что они не содержат пар различных точек z1, z2, для которых .

При­мером области однолистности может служить горизонтальная полоса при условии, что .

Используя декартовы координаты в плоскости и полярные коор­динаты в плоскости

, представим отображение в действительной форме: . Видно, что декартова сет­ка, образуемая прямыми х=const, у=const, переводится экспонентой в полярную сетку

на плоскости . Прямые , переходят в лучи (рис. 1).

Образом отрезка при отображении является дуга окружности .

Горизонтальная полоса отображается на сектор .

Чтобы построить риманову поверхность - образ плоскости при отображении , разобьем на полосы , найдем образ каждой полосы и склеим их надлежащим образом. В силу пери­одичности образы полос будут идентичны. Так как образами прямых являются лучи , заполняющие плоскость с разрезом по положительному лучу, то - образ полосы -представляет собой плоскость с разрезом .

Расположим образцы полос на отдельных экземплярах плоскости . Последо-вательно склеив друг с другом все пары полос и по прямым , получим плоскость . В той же последовательности склеим их образы по лучам и получим поверхность Римана, не имеющую точек самопересечения и состоящую из счетного числа листов (рис.2). Эта поверхность называется римановой поверхностью логарифмической функции , так как является ее областью определения. Однозначные ветви этой функции, определенные в областях , будем обозначать символами . Они отображают конформно и однолистно на полосы .

В частности, главная ветвь логарифма реализует однолистное конформное отображение области на полосу . Полосу , удобно рассмат­ривать как двуугольник с двойной вершиной в точке и нулевыми углами в этой вершине. Функция отображает этот двуугольник на сектор , т. е. нулевые граничные углы с вершинами и преобразует в ненулевые граничные углы с вершинами и .