Задача № 5.139

Задача № 5.139.

Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:

а) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где зависит только от ;

б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение , а также вероятность нахождения частицы в области .

Решение:

Потенциальная яма имеет вид, представленный на рисунке 1:

Рисунок 1

В предыдущей задаче мы определили, что пси-функции собственных состояний имеют вид:

(1)

Используя условие нормировки, найдём значение постоянной :

(2)

Таким образом, нормированные собственные волновые функции частицы:

(3)

Пси-функция основного состояния имеет вид:

(4)

Физический смысл пси-функции состоит в том, что квадрат модуля пси-функции является плотностью вероятности местонахождения частицы. Вероятность нахождения частицы в шаровом слое радиуса и толщины равняется:

(5)

Отсюда следует, что вероятность нахождения частицы в шаровом слое единичной толщины равняется:

(6)

Учитывая, что пси-функция основного состояния определяет выражение (4), найдём функцию вероятности нахождения частицы в шаровом слое единичной толщины для основного состояния:

(7)

Найдём максимум функции (7) в интервале . Производная от функции (7):

В точке экстремума . Таким образом, придём к уравнению:

Отсюда, получим, что в интервале лежит один корень этого уравнения . Графически функция (7) представлена на рисунке 2:

Рисунок 2

Найдём вероятность нахождения частицы в области :

(8)

Ответ: а) нормированные собственные пси-функции частицы имеют вид:

б) наиболее вероятное значение для основного состояния частицы, вероятность нахождения частицы в основном состоянии в области равняется .