Образец экзаменационного задания, опубликованного ФИПИ. ЕГЭ – 2012

Образец экзаменационного задания, опубликованного ФИПИ. ЕГЭ – 2012

Сначала решаем самостоятельно!

В – 1.

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов

можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на

20%?

В – 2.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах

Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите

по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в

Ярославле была отрицательной.

В – 3.

В – 4.

Строительная фирма планирует купить 70 куб. м. пеноблоков у одного из

трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с

доставкой?

В – 5.

Найдите корень уравнения .

В – 6.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол

BOC, если угол BAC равен 32° .

В – 7.

Найдите sinα , если cosα =0,6 и π< α < 2π.

В – 8.

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: .Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f( x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

В – 9.

Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.

В – 10.

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них

встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один

случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того,

что в этом билете не будет вопроса о грибах.

В – 11.

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три

раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого.

Найдите объём второго цилиндра (в м³).

В – 12.

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на

которой он находится, описывается формулой , где h –

высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?

В – 13.

Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по

течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом

катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите

скорость течения весной (в км/ч).

В – 14.

Найдите наибольшее значение функции

С – 1.

С – 2.

С – 3.

С – 4.

На стороне BA угла ABC, равного 30 градусов, взята такая точка D, что AD=2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

С – 5.

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение

функции больше 1.

С – 6.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее

арифметическое этих чисел равно − 3 , среднее арифметическое всех

положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех

отрицательных из них равно − 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди

них?

Решение экзаменационного задания.

(Решения не всегда самые рациональные и «красивые». Но всегда – правильные!)

В – 1.

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов

можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на

20%?

Решение:

Находим стоимость билета после повышения цены методами, изученными в 6-ом классе средней школы. Составим соответствие:

Переходим к пропорции:

.

По основному свойству пропорции: 100*х=15*120. Делим обе части на 100:

рублей. Теперь выполним деление с остатком:

100:18=5 ост(10). Таким образом, после повышения цены на 20%, на 100 рублей можно будет купить 5 билетов и останется ещё 10 рублей.

Ответ: 5.

В – 2.

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах

Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите

по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в

Ярославле была отрицательной.

Ниже оси абсцисс январь, февраль, март, ноябрь, декабрь. Ответ: 5.

В – 3.

Решение:

Площадь трапеции находим по формуле: кв. ед.

Ответ: 18.

В – 4.

Строительная фирма планирует купить 70 куб. м. пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Решение:

Составим смету для каждого поставщика:

1. 70*2600+10000=192000 руб.

2. 70*2800=196000 руб. (доставка бесплатная).

3. 70*2700+8000=197000 руб.

Приобретаем пеноблоки у поставщика А за 192000 рублей.

Ответ: 192000.

В – 5.

Найдите корень уравнения .

Решение:

Запишем правую часть в логарифмическом виде:

. Потенцируем (исключаем знак логарифма):

3 – х = 9, х = - 6.

Ответ: -6.

В – 6.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол

BOC, если угол BAC равен 32° .

Решение:

Выполним чертёж и введём обозначения:

Здесь угол ВАС – вписанный, а угол ВОС – центральный. Известно, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на одну и ту же дугу окружности. Значит угол ВОС равен 2*32=64 градуса.

Ответ: 64.

В – 7.

Найдите sinα , если cosα =0,6 и π< α < 2π.

Решение:

Из основного тригонометрического тождества: . Угол альфа третьей или четвёртой четвертей (или третьего, четвёртого квадрантов), значит необходимо выбрать знак «минус».

Ответ: -0,8.

В – 8.

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: .Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f( x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

Решение:

Производная будет отрицательной, если функция убывает и наоборот. Находим точки из заданных, которые расположены на убывающей части кривой – это Х5 и Х9, то есть две точки.

Ответ: 2.

В – 9.

Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.

Решение:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, диагонали которого равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник SOB. Так как SO – высота, то угол SOB – прямой. Имеем: OB=3, SO=4. Это два катета прямоугольного треугольника SOB. По теореме Пифагора находим гипотенузу:

.

Ответ: 5.

В – 10.

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них

встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один

случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того,

что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Решение:

Используем классическое определение вероятности: , где n – общее число исходов, m – число благоприятных исходов. В данной задаче n=25, а m=23. По указанной формуле находим:

.

Ответ: 0,92.

В – 11.

Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три

раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого.

Найдите объём второго цилиндра (в м³). Решение:

Объём цилиндра находится по формуле: . Для первого цилиндра можем записать: . Увеличим высоту в три раза, а радиус уменьшим в два раза. Получим:

куб. ед.

Ответ: 9.

В – 12.

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на

которой он находится, описывается формулой , где h –

высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров?

Решение:

Высоту 9 метров камень проходит два раза: первый раз на подъёме, второй раз на спуске. Решаем неравенство: . Решим сначала квадратное уравнение: .

. Значит, на высоте не менее 9 метров камень будет находиться (3-0,6)=2,4 секунды.

Ответ: 2,4.

В – 13.

Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по

течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом

катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите

скорость течения весной (в км/ч).

Решение:

Пусть х – скорость течения весной, у – собственная скорость катера, неиз-

менная ни весной, ни летом. Имеем: (х – 1) – скорость течения летом.

.

Таким образом, собственная скорость катера 12 км/ч, скорость течения весной 3 км/ч, а скорость течения летом 2 км/ч.

Ответ: 3.

В – 14.

Найдите наибольшее значение функции

Решение:

Своё наибольшее значение функция принимает либо на концах отрезка, либо в точках экстремумов. Находим значения на концах отрезка:

Исследуем на экстремумы при помощи производных:

Находим значение функции в точке экстремума:

.

Ответ: 1.

С – 1.

Решение:

а) Область определения для аргумента (-∞;+∞). Используем формулу и формулу приведения . Получаем:

Проводим перегруппировку:

. Получаем решения:

б) Перейдём к градусной мере угла. Это позволит более просто найти те решения, которые принадлежат заданному полуоткрытому интервалу. Имеем: [-450;-180). Период – 360. Из первого решения получаем х=-360 (это при n=-2). Из второго решения: 30 (при n=0), -210 (при n=-1), -330 (при n=-2), -570 (при n=-3). Запишем в радианах углы, которые попадают в заданный полуоткрытый интервал: -2π, -7π/6, -11π/6. Ответ: а) б) -2π, -7π/6, -11π/6.

С – 2.

Решение:

Построим призму и введём обозначения:

Проведём высоту АН. Она является проекцией А1Н. По теореме о трёх перпендикулярах А1Н также перпендикулярна ВС. Значит А1НА – линейный угол искомого двугранного угла. В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, поэтому АН является медианой и биссектрисой. ВН=1. По теореме Пифагора: . .

.

Ответ: 30 градусов.

С – 3.

Решение:

Решаем первое неравенство: . При помощи замены приводим неравенство к виду: . Решаем сначала квадратное уравнение: . Методом интервалов находим значения t, удовлетворяющие неравенству:

Следовательно, . Но показательная функция не принимает отрицательных значений, поэтому рассмотрим только . Решаем показательное уравнение: . Первое уравнение даёт решение Найдём ОДЗ (область допустимых значений) для второго неравенства:

Для первого неравенства Для второго неравенства:

. Для данных значений получаем:

. Применим формулу разности логарифмов:

. Так как основание логарифма больше 1, то . Таким образом, . Учитывая ОДЗ, получаем решение второго неравенства: . Остаётся выяснить, что больше: (без помощи калькулятора). (корень из двух и трёх приближённо известен). Разделим 11 на 8 уголком: 11:8=1,375. Таким образом, . Это означает, что правая граница общего решения – это . Получаем решение заданной системы: .

Ответ: .

С – 4.

На стороне BA угла ABC, равного 30 градусов, взята такая точка D, что AD=2 и BD =1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Решение:

Необходимо рассмотреть два варианта расположения окружности: 1) точка В находится за точкой касания; 2) точка В находится перед точкой касания. Рассмотрим первый случай:

OQ, OD, OA – искомые радиусы окружности. АD – хорда. Для хорды проводим серединный перпендикуляр – он проходит через центр окружности. В прямоугольном треугольнике ВРЕ известен катет ВР=1+1=2 и угол, поэтому можно найти РЕ (вспомните определение тангенса угла):

. Находим ОР (является катетом OPD):

.

Рассмотрим треугольник OQE. Угол OEQ равен 60 градусов, a OQ – радиус окружности. Из определения синуса угла можем записать:

.

Возводим в квадрат обе части уравнения:

.

Последнее квадратное уравнение имеет корни R=1 и R=7. Если радиус равен 1, то имеем второй случай, когда Р – центр окружности:

Ответ: R=1 или R=7.

С – 5.

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение

функции больше 1.

Решение:

Решим квадратное уравнение . Его корни х=1 и х=7. Методом интервалов находим интервалы, где выражение больше или равно нулю. Тогда можно будет исключить знак модуля.

Значит на интервалах можно опустить знак модуля:

. Выделяем полный квадрат: . Имеем параболу в вершиной в точке , ветви направлены вверх. Ордината (по условию) должна быть больше 1, а абсцисса не имеет значения. Получаем:

.

, то . На интервале (1;7) имеем параболу с вершиной в точке ), ветви направлены вниз. Основное условие выполнения требования f(x)>1 – это f(1)>1, f(7)>1. Но если х принадлежит интервалу (1;7), то возможно следующее положение параболы:

Добавим еще одно условие: f(4-a)>1.

Решаем систему:

Ответ: .

С – 6.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее

арифметическое этих чисел равно – 3, среднее арифметическое всех

положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех

отрицательных из них равно − 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди

них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, p отрицательных

и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе,

умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

4*k – 8*p+0*m=−3*(k+p+m).

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое

слагаемое делится на 4, поэтому k+p+m — количество целых чисел —

делится на 4. По условию 40 <k+p+m <48 , поэтому k+p+m = 44 .

Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство 4*k − 8*p+0*m = −3(k+p+m) к виду 5*p−7*k− 3*m=0 Так как m ≥0 , получаем, что 5*p ≥ 7k, откуда p > k. Следовательно,

отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим k+p+m = 44 в правую часть равенства:

4*k-8*p=-132; k-2*p=−33 , откуда k+p =3*p−33 . Так как k+p≤44 , получаем: 3*p-33 ≤ 44, 3*р ≤ 77, 25 ≤ p. Если р=25, то к =-33+50=17, то есть

положительных чисел не более 17.

в) (пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17.

Пусть на доске 17 раз написано число 4 (выбираем 4 для того, чтобы не подбирать 17 чисел со средним арифметическим 4), 25 раз написано число− 8 и 2 раза число 0. Тогда среднее арифметическое удовлетворяет условию задачи.

Пусть на доске 15 раз написано число 4, тогда число отрицательных чисел необходимо подобрать опытным путём:

. Получаем другой возможный набор: 15 положительных, 24 отрицательных и 5 нулей.