САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НАПРАВЛЕНИЕ
«ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА»
Описание лабораторной работы
Методы определения
спектральных характеристик
электрических сигналов
Санкт-Петербург
2008 г.
Оглавление
Введение........................................................................................................................................ 3
Вещественная форма ряда Фурье................................................................................................ 3
Комплексная форма ряда Фурье.................................................................................................. 4
Спектр периодической функции................................................................................................. 5
Преобразование Фурье................................................................................................................. 6
Свойства преобразования Фурье................................................................................................. 7
Спектр дискретного сигнала....................................................................................................... 9
Дискретное преобразование Фурье........................................................................................... 12
Растекание спектра..................................................................................................................... 14
Лабораторная установка и выполнение измерений................................................................ 15
Задания......................................................................................................................................... 17
Приложение 1. Отрезок синусоиды.......................................................................................... 18
Литература................................................................................................................................... 19
Введение
Данная работа является первой в цикле лабораторных работ в учебной лаборатории «Методов обработки и передачи информации» (МОПИ) физического факультета СПбГУ. Лаборатория выполняется на втором курсе и поддерживает курс лекций "Физические основы методов обработки и передачи информации". К этому времени курс уже прослушан студентами, лаборатория предназначена для закрепления и расширения знаний в этой области.
Представление о спектре сигнала необходимо для разработки устройств передачи информации, оно находит применение для косвенного измерения других физических величин, и просто расчёта электрической цепи. Знание спектра сигнала позволяет лучше понять его природу и не случайно цикл лабораторных работ начинается именно с этой работы.
Работа будет иметь и расчетный, и экспериментальный характер. Экспериментальная часть работы содержит важный инновационный элемент – применение цифровой обработки сигнала, оцифрованного с помощью системы сбора данных. Кроме того, вся расчетная часть работы, а также обработка результатов экспериментов выполняется на базе современного математического пакета МАТЛАБ и его дополнительной библиотеки – Signal Processing Toolbox. Используются заложенные в них возможности математического моделирования разнообразных типов сигналов, обработки данных.
Предполагается, что читатель знаком с основными приемами работы в этом пакете. Программы расчетов и различные дополнения будут отнесены в Приложения к работе.
Вещественная форма ряда Фурье
Рассмотрим периодическую функцию 
с периодом, равным 
: 
, где 
– любое целое число. При выполнении определенных условий эта функция может быть представлена в виде суммы, конечной или бесконечной, гармонических функций вида 
, период которых совпадает с периодом исходной функции , где 
– целое число, 
– константа. Линейная комбинация таких функций 
, называемая тригонометрическим полиномом N-го порядка, также будет иметь период, равный . Таким образом, мы будем решать задачу о разложении периодической функции в тригонометрический ряд:
(1)
Отдельное слагаемое этой суммы 
называется k-ой гармоникой функции 
. Наша задача заключается в том, чтобы подобрать такие коэффициенты 
и , при которых ряд (1) будет сходиться к заданной функции .
Слагаемые в (1) можно записать в другом виде, раскрыв косинус суммы:
(2)
где новые коэффициенты выражаются как 
, 
и 
. Формула (2) называется вещественной формой тригонометрического ряда. Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд Фурье:
(3)
Можно доказать, что тригонометрический ряд будет сходиться равномерно к функции 
, если сходятся ряды 
и 
. Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле:
- функция имеет конечное число разрывов первого рода на периоде,
- на периоде можно выделить конечное число отрезков, на которых функция изменяется монотонно.
Заметим, что для любых периодических электрических сигналов условие Дирихле выполняется. В точках разрыва ряд Фурье сходится к полусумме значений функции слева и справа от точки разрыва. В силу равномерной сходимости ряда каждый следующий его член вносит всё меньший вклад в сумму, поэтому функция может быть приближена с определённой точностью тригонометрическим полиномом порядка N, то есть конечным числом слагаемых.
Комплексная форма ряда Фурье
Другая, комплексная форма тригонометрического ряда, получается, если записать синусы и косинусы в (2) через комплексные экспоненты:
(4)
Коэффициенты вещественной и комплексной формы связаны между собой соотношениями:
(5)
Используя формулы (5), из (3) получим выражения для коэффициентов комплексной формы тригонометрического ряда. Эти коэффициенты могут быть записаны для любого номера k следующим образом
(6)
Тригонометрический ряд в комплексной форме равномерно сходится к функции , если сходятся ряды 
и 
. Это будет выполнено, если исходная функция удовлетворяет условиям Дирихле.
Спектр периодической функции
Введем понятие спектра периодической функции. Оно основывается на возможности представления сигнала либо в виде вещественного ряда Фурье (1), либо в виде комплексного ряда (4). Это означает, что вещественные коэффициенты 
и 
, или комплексные коэффициенты 
несут полную информацию о периодической с известным периодом функции. Набор коэффициентов и называется вещественным спектром сигнала. Коэффициенты несут в себе информацию о том, из каких по амплитуде гармонических сигналов состоит исходный сигнал (частоты отдельных гармоник не зависят от формы сигнала и равны 
). Поэтому набор называется амплитудным спектром. Коэффициенты определяют фазы отдельных гармоник, их совокупность называется фазовым спектром.
В результате использования комплексной формы ряда (4) получают комплексный спектр сигнала – набор комплексных коэффициентов . В отличие от вещественного спектра, комплексный спектр определен как для положительных, так и для отрицательных частот. Ниже мы покажем, что модули этих коэффициентов определяют амплитуды гармоник и поэтому могут называться амплитудным спектром, а аргументы (фазовый спектр) определяют начальные фазы гармоник. Из формулы (6) следует, что если функция вещественна, то 
. Из этого соотношения вытекает свойство четности для амплитудного комплексного спектра и нечетность для фазового.
Посмотрим, как связаны между собой вещественный и комплексный спектры. Запишем ряд (4) в виде
(7)
Слагаемые с отрицательными номерами могут быть выражены через слагаемые с положительными номерами, так как 
и 
. Тогда останется только сумма с положительными номерами
(8)
После суммирования экспонент с одинаковыми номерами получим следующее выражение:
(9)
Сравнивая ряды (1) и (9), получим искомую связь вещественного и комплексного спектров: 
и 
.
Так как спектр периодического сигнала состоит из отдельных гармоник, его называют дискретным или линейчатым. Частоты гармоник обратно пропорциональны периоду , то есть если, например, увеличить период в 2 раза, то гармоники в спектре станут располагаться в два раза ближе друг к другу. Для спектров характерно, что чем уже импульс, тем шире его спектр.
Преобразование Фурье
В предыдущем разделе было рассмотрено разложение периодических сигналов в тригонометрический ряд, то есть в ряд по отдельным гармоникам. В этом разделе приводится преобразование Фурье для непериодических сигналов. Пусть – непрерывно дифференцируемая абсолютно интегрируемая на всей оси функция: 
. Непериодический сигнал может быть рассмотрен как периодический, но с бесконечно большим периодом. Сделав предельный переход от конечного к бесконечно большому периоду сигнала в формулах (6) и (4), получим формулы для прямого преобразования Фурье:
(10)
и обратного:
(11)
Функцию 
называют также спектром функции . Таким образом, спектр непериодического сигнала – сплошной (в отличие от линейчатого спектра периодического сигнала), он определен на всей оси частот.
Свойства преобразования Фурье
Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье.
Линейность. Рассмотрим функции 
и 
, имеющие спектры 
и 
:
(12)
Тогда спектр их линейной комбинации будет:
(13)
Задержка во времени. Считаем, что известен спектр сигнала
(14)
Рассчитаем спектр сигнала, сдвинутого во времени: 
. Обозначим аргумент функции новой переменной 
, тогда 
и 
(15)
Получили, что задержка сигнала на время 
приводит к умножению спектра на 
.
Изменение масштаба. Считаем, что известен спектр сигнала , как через выражается спектр сигнала 
. Вводим новую переменную 
, делаем замену переменной интегрирования 
.
(16)
Умножение на 
. Как и в предыдущем случае, считаем, что известен спектр сигнала . Найдем спектр этого сигнала, умноженного на .
(17)
Таким образом, умножение сигнала на приводит к смещению спектра на 
.
Спектр производной. В данном случае ключевым моментом является абсолютная интегрируемость функции. Из того, что интеграл от модуля функции должен быть ограничен, следует, что на бесконечности функция должна стремиться к нулю. Интеграл от производной функции берётся по частям, получившиеся внеинтегральные слагаемые равны нулю, так как на бесконечности функция стремится к нулю.
(18)
Спектр интеграла. Найдем спектр сигнала 
. Причём будем считать, что 
, то есть у сигнала отсутствует постоянная составляющая. Это требование необходимо, чтобы внеинтегральные слагаемые были равны нулю, когда интеграл берётся по частям.
(19)
Теорема о свёртке. Известно, что и 
спектры функций и 
соответственно. Требуется выразить спектр свертки 
через и . Для этого в интеграле Фурье от свёртки у одной из функций выполним замену переменой 
, тогда в показателе экспоненты можно сделать замену 
. В результате такой замены двукратный интеграл будет равен произведению двух интегралов Фурье.
(20)
Преобразование Фурье свёртки двух сигналов даёт произведение спектров этих сигналов.
Произведение сигналов. Известно, что и – спектры функций и соответственно. Требуется выразить спектр произведения 
через спектры и . Подставим в интеграл Фурье вместо одного из сигналов, например , его выражение через обратное преобразование Фурье, а потом поменяем порядок интегрирования.
(21)
Спектр произведения сигналов есть свёртка спектров этих сигналов.
Спектр дискретного сигнала
Особое внимание стоит уделить дискретным сигналам, так как именно такие сигналы используются в цифровой обработке. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного является последовательностью чисел, соответствующих значениям непрерывного сигнала в определённые моменты времени. Условно дискретный сигнал можно рассматривать как непрерывный сигнал, который в определённые моменты времени принимает какие-то значения, а в остальное время равен нулю. Таким образом, например, дискретный 
сигнал может быть задан как произведение непрерывного сигнала на последовательность периодически повторяющихся прямоугольных импульсов 
– тактирующих импульсов (рис.1).
Рис. 1. Дискретизация сигнала.
(22)
Прямоугольные импульсы имеют длительность , период повторения 
:
(23)
Амплитуда импульса выбрана таким образом, чтобы интеграл импульса по периоду равнялся . При этом тактирующие импульсы безразмерны. Разложим последовательность таких импульсов в тригонометрический ряд:
(24)
Чтобы получить мгновенные отсчёты сигнала , надо устремить длительность импульсов к нулю: 
. Такой тактирующий сигнал назовём идеальным. При этом коэффициенты разложения в ряд Фурье все будут равны 1.
(25)
Точно такой же вид имеет разложение в ряд Фурье функции:
(26)
Коэффициенты разложения в тригонометрический ряд тактирующего сигнала 
:
(27)
Тогда дискретный сигнал будет иметь вид:
(28)
При вычислении преобразования Фурье дискретного сигнала меняем местами операцию суммировании и интегрирования, а потом используем свойство δ-функции:
(29)
Спектр дискретного сигнала является периодической функцией. Рассмотрим экспоненту в отельном слагаемом 
как функцию частоты. Её период повторения равен 
. Самый большой период повторения у слагаемых с номерами 
, и это, соответственно, будет периодом повторения всего спектра. То есть спектр дискретного сигнала имеет период повторения, равный частоте квантования 
.
Получим ещё одно представление 
. В силу того, что является произведением функций и , спектр дискретного сигнала вычисляется как свёртка спектров непрерывного сигнала и спектра тактирующего сигнала 
.
(30)
Вычислим , используя (25). Так как 
периодическая функция, её спектр дискретный.
(31)
Таким образом, свёртка (30)
(32)
Из выражения (32) следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой периодически повторяющуюся функцию 
.
Сам факт того, что в результате дискретизации в спектре сигнала происходят качественные изменения, говорит о том, что исходный сигнал может быть искажён, так как он полностью определяется своим спектром. Однако с другой стороны периодическое повторение одного и того же спектра само по себе не вносит ничего нового в спектр, поэтому при определённых условиях, зная значения сигнала в отдельные моменты времени, можно найти какое значение этот сигнал принимал в любой другой момент времени, то есть получить исходный непрерывный сигнал. В этом состоит смысл теоремы Котельникова, которая накладывает условие на выбор частоты квантования в соответствии с максимальной частотой в спектре сигнала.
Теорема Котельникова: чтобы непрерывный сигнал можно было восстановить по его дискретным отсчётам, необходимо, чтобы частота квантования была выбрана больше удвоенной максимальной частоты в спектре сигнала |
Если это условие нарушено, то после оцифровки сигнала произойдёт наложение периодически повторяющегося спектра (рис. 2). Получившийся в результате наложения спектр будет соответствовать другому сигналу.
Рис. 2. Перекрывание спектров.
Дискретное преобразование Фурье
В предыдущем разделе было сказано, что при выполнении условия теоремы Котельникова отсчёты дискретного сигнала хранят всю информацию об исходном непрерывном сигнале, а значит и о его спектре. Поэтому спектр сигнала может быть найден и по его дискретным отсчётам, что даёт широкие возможности для анализа сигналов в цифровой обработке. Ранее было показано, что спектр периодического сигнала дискретный, то есть сигнал может быть разложен по определённым гармоникам. Дискретный сигнал имеет периодический спектр. Дискретный периодический сигнал будет иметь дискретный периодический спектр. Дискретный сигнал представляется в виде последовательности значений сигнала 
в фиксированные моменты времени 
. У периодического дискретного сигнала значения 
периодически повторяются через определённое количество отсчётов 
, то есть для любого выполняется 
. Обычно дискретное преобразование Фурье сигнала, заданного отсчётами в виде вектора из элементов, вычисляется по формуле:
(33)
Обратное преобразование Фурье по формуле:
(34)
Сравнивая (33) с (4) получаем, что комплексная амплитуда гармоники с номером 
есть 
и соответствует частоте 
или, что тоже самое 
, где частота квантования в герцах: 
, 
– период квантования, период считается равным длительности записанного фрагмента сигнала.
В MATLAB дискретное преобразование Фурье выполняется с помощью команды fft (Fast Fourier Transform), которая производит вычисления по специальному алгоритму быстрого преобразования. Синтаксис команды:
y = fft(x)
y = fft(x, n)
y = fft(x, n, dim)
x – вектор с отсчётами сигнала;
y – вектор с результатом преобразования ;
n – необязательный параметр, определяющий количество отсчётов сигнала, используемое для выполнения преобразования. В этом случае вектор y будет состоять из n элементов;
dim – необязательный параметр, определяющий номер размерности, по которой выполняется преобразование. Используется, когда в переменной x содержится несколько сигналов, каждый в столбце или строке, на что указывает переменная dim.
Аналогичный интерфейс имеет команда, с помощью которой выполняется обратное преобразование:
x = ifft(y)
x = ifft(y, n)
x = ifft(н, n, dim)
Команда fft возвращает массив, в котором амплитуды гармоник соответствуют частотам гармоник в диапазоне 
, а не в 
, более привычным для восприятия. Вообще, если все значения вектора x вещественны, что характерно для любой измеряемой физической величины, то, как было показано выше (9), значение имеют только гармоники в диапазоне частот 
, а комплексные амплитуды из второй половины диапазона частот являются комплексно сопряжёнными с этими. Для того чтобы переставить местами вторую и первую половину элементов вектора используется команда fftshift.
Один из вариантов определить, каким частотам будут соответствовать гармоники после применения команды fftshift, воспользоваться формулой:
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
Растекание спектра
Предположим, что с помощью АЦП регистрируется периодический сигнал. Обычно длительность записанного сигнала не равна периоду сигнала или целому количеству периодов сигнала. Какие изменения произойдут в спектре сигнала, если выполнить дискретное преобразование Фурье записанного сигнала, длительность которого не равна целому числу периодов исходного сигнала?
Периодический сигнал имеет дискретный спектр, то есть он может быть представлен как линейная комбинация гармонических функций. Поэтому достаточно рассмотреть, какие изменения в спектре произойдут в спектре одной гармонической функции. В разделе про дискретное преобразование Фурье говорилось, что сигнал – это ровно один период сигнала. То есть в данном случае зарегистрированный отрезок периодического сигнала должен быть периодически продолжен, при этом периодом повторения должна быть длительность всей записи сигнала. Если длительность записи отлична от периода сигнала, который записывали, то при периодическом повторении записи сигнала произойдёт искажение формы сигнала, соответственно и его спектра.
Например, регистрировался синусоидальный сигнал 
с периодом , а длительность записи равна , причём 
, где – целое число. Тогда при периодическом повторении записи сигнала (рис. 3) появятся разрывы первого рода, так как значения сигнала в начале и конце записи разные.
Рис. 3. Периодически повторяющийся отрезок сигнала.
На рис. 3 сплошной линией показан отрезок записанного сигнала, а штрихованной линией его периодическое продолжение. Период повторения равен . Отрезок записанного сигнала можно также интерпретировать как исходный сигнал, свёрнутый с прямоугольным импульсом, определяющий отрезок времени, в который была сделана запись. Тогда согласно свойствам преобразования Фурье спектр записанного сигнала будет произведением исходного спектра со спектром прямоугольного импульса (рис. 4).
Рис. 4. Амплитудные спектры отрезков синусоиды,
целое число периодов (сверху), нецелое (снизу).
Лабораторная установка и выполнение измерений
Общая функциональная схема эксперимента показана на рис. 5:
Рис. 5. Лабораторная установка.
Рассмотри каждый блок этой схемы подробнее.
1. Источником аналоговых модельных сигналов является Генератор модельных сигналов. В качестве него могут использоваться следующие приборы (по выбору преподавателя):
· Стандартный лабораторный генератор сигналов различной формы (синусоидальные и прямоугольные импульсы);
· Цифровой генератор, собранный на цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) устройства L-Card;
· С помощью MATLAB сигналы могут быть воспроизведены на звуковой карте компьютера.
С использованием MATLAB стало возможно воспроизводить сигналы практически любой формы, спектр которых находится в звуковом диапазоне, возможности ограничены лишь характеристиками звуковой карты, а именно частотой квантования, частотной характеристикой и максимально возможным значением напряжения. Звуковые карты, предназначенные в первую очередь для воспроизведения звука, имеют частотную характеристику, позволяющую воспроизводить сигнал в диапазоне частот приблизительно от 100Гц до 20кГц. Эти границы определяются внутренним устройством звуковой карты, обычно, там используются фильтры, ограничивающие спектр сигнала в этом диапазоне. Другая особенность звуковой карты состоит в том, что большинство из них могут работать только с определёнными частотами квантования: 8000Гц, 11025Гц, 22050Гц и 44100Гц. Выходное напряжение для разных звуковых карт может отличаться, но, обычно, максимально возможное значение около 1В. Преимущество звуковой карты:
- они есть практически в любом компьютере;
- поддерживаются многими программами, в том числе MATLAB и Simulink.
Недостатки:
- для разных плат характеристики могут сильно отличаться;
- как измерительный прибор они не имеют класса точности;
- отсутствие внутренних схем защиты (гальванических или оптических развязок), что может привести к выходу из строя.
2. Аналоговые сигналы, снимаемые с выхода какого-нибудь из перечисленных выше генераторов, визуально контролируются на экране электронно-лучевого осциллографа. Такой контроль необходим чтобы пронаблюдать форму генерируемых сигналов и установить их параметры – амплитуду, длительность, период повторения и т. д.
3. Следующим элементом экспериментальной установки является фильтр нижних частот (ФНЧ). Это аналоговое устройство, которое обычно используется в таких схемах. Его назначение – ограничить спектр исследуемых сигналов сверху, чтобы удовлетворить условиям теоремы Котельникова. Максимальная частота квантования L-Card составляет 125 кГц, тогда, из теоремы Котельникова для восстановления сигнала без искажений спектр сигнала не должен превосходить fгр:
(35)
По указанию преподавателя, следует спаять простейший фильтр нижних частот. Его схема приведена на рис. 6.
Рис.6. Схема фильтра нижних частот.
Нужно рассчитать значения емкости С и сопротивления R так, чтобы граничная частота фильтра удовлетворяла условию (35). Граничная частота рассчитывается как:
(36)
4. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) – устройство для превращения аналоговых сигналов в цифровые реализации, доступные обработке на компьютере. В нашей лаборатории используются АЦП фирмы L-Card типа L-761 и L-783, размещенной непосредственно в системном блоке компьютера.
Задания
1. Аналитически рассчитать спектральные функции заданных преподавателем периодических сигналов простой формы (прямоугольный видеоимпульс, треугольный импульс, экспоненциальный импульс и др.). Построить графики амплитудного и фазового спектра этих сигналов.
2. Выполнить Фурье–анализ перечисленных сигналов в MATLAB, используя быстрое преобразование Фурье (FFT). Построить соответствующие графики амплитудных и фазовых спектров в области положительных и отрицательных частот (используя функции fft, fftshift, stem, предварительно посмотрев их в документации). Амплитуды гармоник и их частоты на графиках должны соответствовать их значениям в заданном сигнале. Особое внимание обратить на влияние соотношения длительности импульсов и времени записи сигнала на спектр сигнала, объяснить результат. Для каждого типа сигнала в одних и тех же координатах построить графики амплитудных спектров, найденных аналитически (задание 1) и численно рассчитанных.
3. С помощью команды FFT найти и сравнить спектры отрезков синусоиды, состоящих из целого и не целого числа периодов.
4. Провести спектральный анализ отрезка синусоиды, состоящего из нескольких периодов. Проследить, как меняется спектр в зависимости от числа периодов.
5. С помощью цифрового осциллографа L-Graph пронаблюдать искажение сигнала в результате нарушения теоремы Котельникова. Для этого подключить аналоговый генератор гармонического сигнала к L-Card, задать частоту квантования, например, 20кГц, и, плавно меняя частоту генератора в диапазоне от 1кГц до 20кГц, наблюдать за частотой оцифрованного сигнала, объяснить наблюдаемые эффекты.
6. Установить частоту квантования 100кГц, частоту генератора гармонического сигнала 10кГц, амплитуду 1В. Записать отрезок гармонического сигнала длительностью 0,01с и построить в MATLAB его амплитудный спектр. При этом частоты и амплитуды на графике должны соответствовать тем, которые есть на самом деле.
7. Используя результаты, полученные в первом задании, аппроксимировать прямоугольный импульс конечным числом слагаемых тригонометрического ряда. Сравнить на одном графике исходный импульс и аппроксимированный двумя первыми гармониками, десятью первыми гармониками.
Приложение 1. Отрезок синусоиды
Для выполнения одного из заданий потребуется написать программу для вычисления спектра синусоиды, ниже приведён пример такой программы. В начале программы определяются параметры, задающие длительность сигнала в периодах и количество периодов. Меняя эти параметры можно получить различные варианты отрезка синусоиды.
clear, clc, close all
f0 = 1000; % частота синуса
N1 = 20; % длительность всего трезка в периодах
N2 = 10; % количество отсчётов на период
N3 = 2; % количество периодов
N = N1*N2; % количество отсчётов во всей записи
fs = f0*N2; % частота квантования
% создаём сигнал
t = (0:(N-1))/fs; % время
x = zeros(1,N);
x(1:N2*N3) = sin(2*pi*(0:(N2*N3-1))/N2);
% вычисляем спетр
X = fftshift(abs(fft(x))/N);
f = (ceil(N/2)-N:ceil(N/2)-1)*fs/N;
figure
subplot(2,1,1), plot(t, x,'k'), xlabel('t, с'), ylabel('x(t)')
subplot(2,1,2), stem(f, X,'k.'), xlabel('f, Гц'), ylabel('|X|')
Литература
1. Будылин и интегралы Фурье. СПбГУ. 2002.
2. , Ромаданов преобразования в MATLAB. СПб. 2007
3. Смирнов высшей математики (том
