ИНТЕРЕСНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Сечение круглого конуса плоскостью р1 дает три вида линий второго порядка,
в частности эллипс x2/a2 + y2/b2 = 1. Можно ли в этот эллипс вписать другие конуса
( кроме симметричных исходному, так как их вписание очевидно)?
Выберем систему координат так, чтобы большая ось эллипса a совпадала с осью
X, малая ось b – с осью Y, а начало координат – с центром О эллипса. Произведем
дополнительное сечение конуса плоскостью рэ, перпендикулярной оси конуса SK и
проходящей через начало координат. Тогда малая ось эллипса 2b будет лежать на рэ.
Теперь рассмотрим сечения конуса в плоскости XOZ, представленные на рис. 1. Из
конца большой оси проведем линию LC перпендикулярно оси конуса, а из точек A,
C и L опустим перпендикуляры на линию BM. Получившиеся отрезки BB' и MM'
обозначим через Δ.
Секущая AL является большой осью эллипса и поэтому AO = OL. Но тогда и
отрезки AB и BC по теореме о секущих тоже равны: AB = BC. И точно также равны
отрезки DB и BB', т. е.: DB = BB' = MM' = ∆
Далее из равенства треугольников ADO и OLM': DO = OM' или
B'O + 2∆ = KM' + OK
Так как KM' = B'K получим: B'O + 2∆ = B'K + OK = B'O + OK + OK, или:
OK = ∆ ( 2 )
Отрезок ВК назовем радиусом экстремального сечения:
R = BK = KM
Учитывая ( 1 ) и ( 2 ) можем записать KM = OM' = R. В тоже время ОМ' есть
проекция OL на линию ВМ: ОМ' = OLcos(π/2-β) = OLsinβ = asinβ.
R = a sin β ( 3 )
Выразим отрезок ОК через параметры эллипса, воспользовавшись рис. 2,
изображающим сечение конуса плоскостью рэ:
ОК2 = R2 – OV2 = a2 sin2β – b
Где: OV – малая полуось эллипса; и
LM как гипотенуза треугольника: LM2 = LM'2 + M'M2. Но LM' есть проекция OL
на вспомогательную линию LM' = a cos β. Подставив вместо М'М ОК, получим:
LM2 = a2cos2β + a2sin2β – b2 = a2(cos2β + sin2β) – b2 = c2
LM = c ( 5 )
Найдем угол между образующими конуса, проходящими через концы малой
оси 2b и собственно этой осью:
cos γ = b/ℓ
где ℓ - отрезок образующей от вершины S конуса до плоскости экстремального
сечения:
ℓ = 
= 
( 6 )
cos γ = 
( 7 )
Образующие ℓ при неопределенности угла наклона их к плоскости эллипса
пересекаются в некоторой точке, лежащей на окружности x2 + z2 = OS2.
Радиус этой окружности найдем из треугольника OVS (рис. 1, 2):
OS = ℓ sin γ = ℓ
=
=
=
=
=
( 8 )
Координату x вершины S конуса можно определить через отрезок OP:
x = OPcos (π/2 – β) ´= ОР sin β ( 9 )
Но отрезок ОР равен сумме отрезков: ОР = ОК + КР ( 10 )
где: ОК = ММ' есть проекция LM на линию ВМ: ОК = LMcos(π/2-α/2) = LM sin α/2
а с учетом ( 5 ) ОК = с sin α/2
КР – катет треугольника KSP, причем угол SPK равен углу β какуглы с
взаимно перпендикулярными сторонами, и тогда КР = KS cot β.
Отрезок KS найдем из треугольника BSK: KS = R ctg α/2.
Подставим полученные значения отрезков в ( 10 ):
ОР = с sin α/2 + R ctgα/2 ctg β ( 11 )
Упростить выражение ( 11 ) можно установив взаимосвязь между углами α/2 и β.
По теореме синусов из треугольника АВО:
Принимая во внимание ( 5 ) и что АВ = LM получим:
cos β = 
Подставим выражения ( 3 ) и ( 11 ) в ( 12 ):
ОР = с sin α/2 +
=
=
=
= 
= 
( 13 )
Этот результат подставим в ( 9 ):
x = OP sin β = 
( 14 )
Найдем координаты вершины S конуса как точку пересечения окружности
x2 + z2 = OS2 и прямой SP. Так как прямая SP перпендикулярна оси X, ее
уравнение имеет вид (Получим систему уравнений:
x2 + z2 = OS2
x =
Подставим в первое уравнение значение OS из ( 8 ):
x2 + z2 = 
и значение sin β из второго уравнения системы:
x2 + z2 = 
Умножим обе части на с2:
c2x2 + c2z2 = a2x2 – b2c2
Поменяем знаки:
( 
И разделим на правую часть:
Это уравнение гиперболы, действительная ось которой равна параметру с
эллипса. Такая связь имеет место при сопряженных эллипсе и гиперболе. Но
в нашем случае плоскость гиперболы перпендикулярна плоскости эллипса.
Назовем такую гиперболу квазисопряженной.
Таким образом в любой эллипс может быть вписано множество круглых
конусов, вершины которых лежат на квазисопряженной гиперболе. И каждая
гипербола имеет два сопряженных эллипса: один лежит в плоскости гиперболы,
второй повернут вокруг большой оси на угол π/2.
В. Кузнецов, И. Кузнецов
