Тема: Тригонометрические функции и тригонометрические выражения

Тема: Тригонометрические функции и тригонометрические выражения.

Цель урока: Актуализировать знания о тригонометрических функциях, тригонометрических выражениях и способах их упрощения.

Урок проводится фронтально: сначала задание предлагается для самостоятельного выполнения, затем, после сверки ответов, разбирается на доске. Для сильных самостоятельных обучающихся могут быть изготовлены карточки с заданиями этого урока и ответами. Для обеспечения индивидуализации нагрузки этим школьникам в конце текста данного урока приводится материал для дополнительных заданий.

В начале урока на доске восстанавливается рисунок единичной окружности с основными обозначениями, который сохраняется на доске в течение всего урока в качестве опорного материала.

tg

ctg

tg=

2

x(-)

Проводится блиц—опрос по значениям функций в разных точках единичной окружности (для углов ) без обращения к таблице, а только с ориентацией на положение точки на единичной окружности; затем предложить школьникам восстановить значения функции в других часто употребляемых точках окружности (для углов ) также без обращения к таблице, только с опорой на положение точки на окружности. Повторить знаки функций в разных четвертях (не по таблице, а с показом на рисунке соответствующих расположений отрезков на осях, моделирующих синус и косинус угла).

После восстановления и краткого повторения структуры рисунка на основе единичной окружности, предлагается вычислить значение выражения, не обращаясь к таблице, а используя данные рисунка.

Задание:

Вычислить: sin2 45o +cos60o +ctg2 30°

Разбор задания:

Задание:

Вычислить самостоятельно: cos

Разбор задания:

После выполнения этого обучающиеся возвращаются к анализу рисунка единичной окружности: записывается теорема Пифагора в тригонометрической форме sin2α +cos2α=1 (основное тригонометрическое тождество), а затем формулы для вычисления синуса и косинуса, получаемые из нее:

;

Задание:

Вычислить если и

Разбор задания: используем формулу

т. к. угол α находится в 3 четверти, значит, знак косинуса отрицательный.

Ответ: cos α =

Задание:

Вычислить sin α, если tg α = и

Разбор задания: Среди повторенных формул нет такой, которая связывает синус и тангенс угла. Обратимся к формуле sin2α +cos2α = 1

разделим обе части уравнения почленно сначала на sin2α, а затем на соs2α, получим две новые формулы, одна из которых связывает косинус и тангенс, а вторая — синус и котангенс:

Если , то . Тогда, используя формулу (*), можем вычислить sin α:

Поскольку , угол α находится в 3 четверти, где его синус отрицателен.

Ответ: sin α =

Задание:

Вычислить tgα, если cos α = и (ЕГЭ 2005, А4, демонстрационный вариант)

Разбор задания: Используя формулу(**):1+ tg α =

Поскольку , угол α расположен в 4 четверти, значит его тангенс отрицателен.

Ответ: tg α = -2.

Задания:

1)

2) (ЕГЭ 2001, А6)

3) (ЕГЭ 2003, А6)

4) (ЕГЭ 2003, А7)

5) (ЕГЭ 2004, А2)

Разбор задания:

1) (формулы * и **)

2) - для упрощения этого выражения понадобится формула двойного аргумента:

;

по формуле (***) .

Далее понадобится применение формул приведения.

Если необходимо изменить аргумент тригонометрической функции на или , то ее название изменится на название ко функции (sin на cos и т. п.), а знак новой функции следует ставить по приводимой функции 9по первоначальной). Если же аргумент изменится на π или 2π, то название не изменится. Знак ставится таким же образом (по первоначальной функции).

Например: (аргумент первоначальной функции находился во 2 четверти, где sin положителен);

(аргумент первоначальной функции находился в 3 четверти, где cos отрицателен).

Применяя эти правила к заданию, получаем:

3) - задание содержит формулу куба суммы в применении к тригонометрическим составляющим. После применения к этому выражению, оно «сворачивается» в выражение: (sin2α + cos2α)3 = 1/

4) - задание требует применение формул сложения: косинус суммы. Поскольку в 2005 году эти формулы даны как справочный аппарат к экзамену, используем их в готовом виде:

5) =

Дополнительное задание:

1)  Вычислить: tg(-1035o)

2)  Упростить выражение: sin2(π-α)+sin2

3)  Найти sin x. cos x, если sin x + cos x =

Ответы: 1) 1; 2) 0; 3) .

Разбор заданий:

1)  tg(-1035o) – исключим из данного значения аргумента сколько возможно периодов, при этом функция не изменится. Период тангенса равен 180о.

2)  tg(-1035o) = tg(-1035o + 180o. 6) = tg(-1035o + 180o) = tg 45o = 1

- по формуле приведения:

4)  3) Найти sin x. cos x, если sin x + cos x =

Задание требует неожиданного хода: (sin x cos x)2 =

Тема: Тригонометрические выражения, тригонометрические уравнения и неравенства.

Цель: Актуализировать знания о тригонометрических функциях, тригонометрических выражениях и способах решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Материал распределяется на 2 урока. Часть заданий может быть предложена для домашней работы.

Задания:

1)  Вычислить sin 15о (уровень А)

2)  Вычислить: (уровень В)

3)  Вычислить: (уровень В)

Дополнительное задание:

Известно, что , а и . Найти cos β.

Разбор задания:

1)  Используем формулу синуса разности, для чего представим 15о в виде разности (45о – 30о), для которых значения синуса и косинуса известны:

sin 15o = sin(45o – 30o) = sin 45o cos 30o – sin 30o cos 45o =

2) - на первом шаге была применена формула разности квадратов, далее применим формулу разности синусов и суммы синусов:

поскольку синус – функция нечетная (минус выводится вперед), а косинус – функция четная (минус опускается).

3)Найти:

На первом шаге применялась формула двойного аргумента для синуса и мало известные формулы:

Эти формулы можно вывести на доске, поскольку они легко получаются из суммы и разности формул синуса суммы и синуса разности, а также косинуса суммы и косинуса разности. Вывод формул очевиден, поэтому здесь приводиться не будет. Конечно, запомнить эти формулы трудно, но возможно, сильный школьник предпочтет вывести их в трудный момент, помня, каким образом это делается.

В этом задании можно было пойти и другим путем: дадим замену

.

Таким образом, выражение sin 38 sin 66 можно заменить на выражение

Далее повторим этот прием

.

Таким образом, выражение sin24 cos38 можно заменить на выражение

Внесем результаты замен в исходное выражение, выполнив замены преобразуем числитель и знаменатель, чтобы убрать из знаменателя дробные коэффициенты, раскроем скобки и представим полученные значения аргументов в виде сумм и разностей, удобных для дальнейшего применения формул приведения: .

Далее применяем формулы приведения:

Разбор дополнительного задания:

Известно, что , а и . Найти cos β.

Используем формулу:

По известному косинусу найдем синус: и подставим эти значения в формулу (*):

По известному косинусу суммы найдем синус суммы: .

Подставим все найденные значения в формулу , получим: .

Составим систему:

.

Далее на уроке рассматриваются уравнения и способы их решения. Формулы для записи ответов триповых уравнений полезно выписывать на доску. В гуманитарном классе уравнения 7 и 8, а также неравенство 10 можно предложить для индивидуальной дополнительной работы сильным школьникам, не рассматривая их со всем классом. Все остальные задания этой карточки являются типовыми (уровень А).

Задания: Во всех случаях требуется решить уравнение.

1)  Найти корни уравнения на интервале

2) 

3) 

4) 

5) 

6)  Решить уравнение на интервале (0;180о)

7)  Найти корни уравнения на интервале (0;90о)

8) 

9)  Решить неравенство на интервале .

10)  Решить неравенство

Разбор заданий:

1)

Используем типовую формулу: ,

т. к. , поскольку для нахождения корней задан промежуток [0;π]. Тогда , поскольку это значение корня не входит в заданный в условии промежуток, возьмем симметричное ему значение (поскольку функция косинус симметрична относительно оси ординат) – это , это значение входит в заданный промежуток и является решением уравнения.

2)  Приведем уравнение к однородному виду, заменив на :

дадим замену

- его корни по теореме Виета: 2 и -1.

Вернемся к замене - нет решений.

3)  Для решения уравнения применим прием деления обеих частей на , получим однородное уравнение:

.

4)  Для решения уравнения применим тот же прием, разделим обе части на , получив однородное уравнение: дадим замену:

- его корни: ; .

Вернемся к замене:

.

5)  Для решения уравнения применим прием «подгонка под формулу». Будем «подгонять» уравнение под формулу косинуса разности. Для этого разделим обе части уравнения на 2. Получим:

Применяя формулу косинуса разности, получим:

Это значение косинуса табличное:

6)  Для решения уравнения применим формулу двойного аргумента для косинуса: .

Чтобы привести уравнение к однородному виду, заменим соs2x на

дадим замену:

Вернемся к замене: sin x = -1 – это значение синуса не входит в заданный в условии интервал (0; 180о)

табличное значение, и , поскольку на интервале (0; 180о) оба эти угла соответствуют одному и тому же значению синуса.

Используем типовую формулу:

т. к. , поскольку для нахождения корней задан промежуток [0;π]. Тогда , поскольку это значение корня не входит в заданный в условии промежуток, возьмем симметричное ему значение (поскольку функция косинус симметрична относительно оси ординат) – это , это значение входит в заданный промежуток и является решением уравнения.

7)  Для решения уравнения примени формулу разности косинусов:

Заменим cos 6x по формуле двойного аргумента:

Заменим 1 = cos23x +sin23x по основному тригонометрическому тождеству (в этом равенстве можно ставит любой удобный аргумент).

- произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: или

а) т. к. для решения уравнения задан промежуток (0;90о), то берем только входящее в него значение .

б) (по формуле разности синусов)

или - оба ответа находятся вне пределов заданного промежутка (0;90о)

- ответы также входят в данный в условии промежуток.

Ответ:

8)  Для решения уравнения преобразуем его и применим основное тригонометрическое тождество:

Применим формулы разности синусов и суммы синусов:

sin x

 

sin5x

Поскольку множество ответов первого уравнения входит в множество ответов второго уравнения, оставим только этот ответ в качестве окончательного: .

Решение тригонометрических неравенств часто входит как составная часть в задания раздела В. Далее будут рассмотрены эти виды заданий в том виде, как они входили в текс ЕГЭ. Рассмотренные ниже неравенства являются подготовкой к правильному восприятию смысла решений более сложных неравенств раздела В.

9) Неравенство на интервале является простейшим типовым неравенством. Для его решения наиболее наглядно использование рисунка:

Ответ:

10) Неравенство нужно преобразовать к однородному виду:

или система решений не имеет

Ответ: .

Дополнительные задания:

1)  Найти сумму корней уравнения на интервале

2)  Для уравнения найти разность корней на интервале (180о; 540о).

Разбор заданий:

1)

Заменим: , а представим как синус двойного угла:

Тогда уравнение имеет вид:

Рассмотрим множители отдельно:

а) на промежутке

Тогда х = 0 и х = 2π – это значение не входит в

б) разделим это уравнение почленно на получим:

На промежутке находится только значение . Таким образом, сумма корней уравнения на равна .

2) ОДЗ:

Используем свойство пропорции:

а) - не входит в ОДЗ

б)

180о

Первое значение корня: , но оно не входит в заданный промежуток (180о;540о) 180о.

Второе значение корня: , оно входит в заданный промежуток. Следующее значение корня вычислим с учетом периода косинуса: - это значение входит в границы заданного промежутка (180о;540о), а следующее значение уже выйдет за границы этого промежутка. Следовательно, в заданный промежуток входят только два корня, их разница: (240о)

Дополнительное задание:

1)  Найти значение выражения:

2)  Преобразовать в произведение: А=1+

Разбор задания:

1)

2)А=1+

А=

***

В прежние годы в ЕГЭ использовались задания с arc-функциями, в 2004 и 2005 гг. таких заданий нет, но нет гарантии, что их не будет и далее, поэтому имеет смысл рассмотреть со школьниками хотя бы самые простые задания этого вида (уровень А). Задания лучше рассматривать фронтально на доске, поскольку даже сильные обучающиеся обычно затрудняются с этими заданиями на первых порах (главным образом, по причине их редкости в учебниках и отсутствия практики работы с ними).

Задания:

1)  Найти значение

2)  Найти значение

Разбор заданий:

1)  Прежде всего отметим, что

Пусть

Применим формулу двойного аргумента:

т. к.

2)  Используем аналогичный прием, введем замены и применим формулу синуса суммы:

(*)=

Дополнительное задание:

1)  Вычислить: (В6, ЕГЭ 2003)

2)  Вычислить:

Разбор задания:

1)  Введем замену: . Найдем

2)  Будем использовать формулу тангенса суммы:

Введем замену: , т. к.

, тогда .

Используем эти данные в (**) =

Подставим полученные значения в (*) =

***

Далее обратимся к заданиям на нахождение производных тригонометрических функций. Задания этого вида обычно содержаться в разделе А, но в 2003 г были также и в разделе С (С-4)

Задания на нахождение производной тригонометрических функций имеет смысл включить в этот урок, поскольку в таких заданиях не требуется производить какие-то преобразования (как при нахождении касательной или скорости), а нужно всего лишь вспомнить соответствующие формулы. Эти задания можно предложить школьникам для самостоятельной работы на карточках с последующей проверкой через кодоскоп или листы самопроверки. Опыт показывает, что затруднений с этой темой практически не бывает, если школьники знают формулы.

Задания: (уровень А)

Найти производную для функций:

Разбор заданий:

Дополнительное задание: (уровень С)

Для функции найти производную в точке .

Разбор задания:

***

Рассмотрим несколько заданий, требующих решения тригонометрических неравенств более сложных, нежели рассмотренные ранее. Эти задания усложнены тем, что часто содержат модули, корни и т. п.

Задания:

1) Решить неравенство:

2) Найти число целых решений неравенства:

3) Найти число целых решений неравенства:

Разбор заданий:

1)  Решить неравенство:

а)

а)

решений нет, значит и вся система а решений не имеет;

б)

- в данном промежутке содержаться целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1. Всего 7 чисел.

- любое значение х подходит

Ответ: 7 чисел.

2)  Найти число целых решений неравенства:

а)

нет решений

б)

- любое число подходит.

Значит, в область решений входят целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Их всего 7.

Ответ: 7 чисел.

3) Найти число целых решений неравенства:

а)

sinx > -5 любое число подходит

Извлекая квадратный корень вида , имеем:

В этот промежуток входят целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего 9.

б)

Поскольку для неравенства нет решений, то и вся система б) решений не имеет.

Ответ: 9 целых решений.

***

Наиболее трудными для обучающихся являются задания на нахождение области значений функций, поскольку в обычной практике им чаще всего приходится находить область допустимых значений неизвестного, а не область значений функции. В данном уроке обратимся только к подобным заданиям, связанным с нахождением области допустимых значений функции для тригонометрических функций. Такие задания аналитического характера (требующие рассуждений, а не обращения к рисунку графика, как в других случаях) содержатся обычно в разделе А (а более трудные – в разделе С).

Например:

Найдите множество значений функции у = -2 sin x (А12, ЕГЭ 2003)

1)

Рассуждения: , но мы знаем, что функция ограничена, поэтому

Таким образом, верный ответ под номером 3.

Задания:

1) Найти область значения функции

2) Найти множество значений функции

Разбор заданий:

1)  Используем тот же прием, что в разобранном выше примере – поскольку косинус ограничен, пойдем от известных его границ:

- область значений функции

2)  Сначала преобразуем данную в условии сумму к виду, в отношении которого можно будет применить те же рассуждения, что и выше (умножим и одновременно разделим выражение на ):

- т. к. функция косинус ограничена

- область значений функции.