Релейные автоматические системы

Релейные автоматические системы

Релейные автоматические системы широко применяются в самых разнообразных областях техники, отличаясь простотой, а в ряде случаев и лучшими динамическими свойствами, чем иные типы автоматических систем. Они используются как в стационарных автоматических системах, так и в автоматических системах управления подвижными объектами.

Появление разнообразных возможностей создания релейных элементов на новых принципах, не требующих контактных устройств и допускающих изменение параметров релейного элемента, позволяет придать релейным системам новые свойства.

Релейные автоматические системы относятся к категории автоматических систем прерывистого действия. Моменты времени, в которые происходит замыкание и размыкание системы, заранее неизвестны; они не задаются извне, а определяются внутренними свойствами самой автоматической системы. Этим обуславливаются основные специфические особенности динамики процессов автоматического регулирования.

По своему принципу работы релейные автоматические системы существенно нелинейны. Поэтому рассмотрение их непосредственно при помощи хорошо известных в теории автоматического регулирования линейных методов невозможно.

Тем не менее, специфическая особенность релейных автоматических систем, состоящая в том, что форма выходной величины релейного элемента не зависит существенно от формы его входной величины, позволяет произвести исследование их сравнительно простыми средствами, не прибегая к сложному математическому аппарату, мало знакомому студентам. Более того, эта особенность дает возможность развить методы расчета релейных автоматических систем, в некотором смысле аналогичные методы расчета линейных автоматических систем. Подобная аналогия приводит не только к упрощению расчетов, но и сохраняет привычные понятия, представления и терминологию линейной теории автоматического управления.

К числу важных понятий линейной теории автоматического управления относятся передаточная функция, частотная характеристика, временные характеристики, включающие импульсную и переходную характеристики. Все этапы анализа и расчета релейных автоматических систем проводятся как по передаточной функции, так и по частотной характеристике, либо по временным характеристикам линейной части системы. Частотные и временные характеристики линейной части системы могут быть заданы в виде графиков или таблиц, составленных по экспериментальным данным.

Релейными автоматическими системами называются такие системы в которых хотя бы одно из звеньев имеет релейную характеристику В релейных автоматических системах управляющее воздействие изменяется скачком всякий раз, когда управляющий сигнал проходит через некоторые фиксированные значения, называемые пороговыми. В таких системах усилителем является релейный элемент, характеристика которого выражает связь между управляющим сигналом и управляющим воздействием.

Релейные автоматические системы относятся к дискретным системам, поскольку релейный элемент осуществляет квантование сигнала по уровню. Однако характерной особенностью релейных систем является то, что они относятся к существенно нелинейным системам.

Релейные автоматические системы могут отличаться структурой соединения отдельных элементов линейной части, конструктивными особенностями этих элементов, характером управляющего сигнала, т. е. законом автоматического регулирования и т. п. Классификация релейных автоматических систем по этим признакам не отличается от известной классификации линейных автоматических систем. Среди многочисленных элементов релейного действия с двумя состояниями наиболее распространены: 
- контактные и бесконтактные конечные выключатели;
- электромагнитные реле;
- электронные ключи; 
- пневматические элементы и т. п. 

Идеальная релейная характеристика	Характеристика с зоной нечувствительности	Характеристика с гистерезисом	Характеристика с гистерезисом и зоной нечувствительности

Пороговые значения здесь определяют собой зону нечувствительности релейного элемента. Как видно из рисунка, для релейного элемента с зоной нечувствительности управляющее воздействие может принимать три значения: наименьшее, наибольшее и нулевое. В предельном случае пороговое значение равно нулю.

Наиболее общие виды релейной статической характеристики изображены в таблице. Такие характеристики имеют, например, трехпозиционные поляризованные электромагнитные реле. При входном сигнале хср = х0 или хср = х1 реле срабатывает и подключает управляемую цепь к источнику напряжения. При уменьшении входного сигнала отпускание реле произойдет при хотп = 0 или хотп = х0, причем хср > хотп.

В релейных автоматических системах усилитель (релейный элемент) представляет собой контактное или бесконтактное реле: электромагнитное, электронное или пневматическое.

В зависимости от вида характеристик релейного элемента релейные автоматические системы подразделяются на системы с симметричными и несимметричными характеристиками. Эти системы в свою очередь могут быть без зоны нечувствительности и с зоной нечувствительности и иметь однозначную или, при наличии положительного или отрицательного гистерезиса, неоднозначную характеристику.

Для удобства исследования релейную автоматическую систему необходимо привести к виду, в котором присутствует линейная и нелинейная часть автоматической системы.

Здесь задающее воздействие приложено ко входу релейного элемента. Это не является ограничением, так как, где бы ни были приложены внешние воздействия, их всегда можно привести к выходу линейной части автоматической системы, а значит, и ко входу релейного элемента.

Релейные автоматические системы можно разделить по особенностям режима их работы на две группы.

К первой группе отнесем автоматические системы типа "открыто-закрыто" и вибрационные регуляторы. В этих системах регулирующий орган может занимать конечное число положений или состояний, соответствующих минимальному и максимальному значениям регулирующего воздействия. Системы этой группы характеризуются тем, что при отсутствии внешнего периодического воздействия их рабочий режим колебательный. Линейная часть таких автоматических систем, как правило, устойчива, и реже неустойчива, а характеристика релейного элемента несимметрична.

Вторая группа релейных автоматических систем охватывает системы с постоянной скоростью исполнительного устройства. В этих системах воздействие на регулирующий орган осуществляется с постоянной скоростью или, точнее говоря, со скоростью, не зависящей от управляющего сигнала.

В отличие от релейных автоматических систем первой группы автоколебания, которые обычно возникают в этих системах при отсутствии внешнего периодического воздействия, нежелательны, и их стремятся устранить либо уменьшить до достаточно малой величины.

Линейная часть автоматических систем второй группы нейтральна, а характеристики релейного элемента обычно симметричны.

Чтобы уяснить действие релейной автоматической системы рассмотрим простейшее устройство. Подадим на eгo вход сигнал синусоидальной формы. При изменении знака входного сигнала реле срабатывает в другую сторону и переключаeт полярность подводимого к управляемой цепи напряжения, При увеличении х от 0 до величины срабатывания хсрреле находится в выключенном состоянии, у = 0. В момент времени когда входной сигнал достигает значения х = хср, реле срабатывает и подает максимальный сигнал на выход релейного элемента. При дальнейшем увеличении входного сигнала никаких изменений выходного сигнала не происходит.

При уменьшении входного сигнала до уровня равного значению отпускания х = хотп, реле выключается и реле отпускает, разрывая своими контактами цепь подачи напряжения к управляемой цепи. Выходной сигнал равен нулю. В момент отрицательной полярности входного сигнала происходит аналогичное изменение выходного сигнала отрицательной полярности.

Таким образом, при подаче на вход данного релейного элемента синусоидального сигнала на eгo выходе получается последовательность прямоугольных импульсов различной полярности. Как видим, релейный элемент вносит существенные нелинейные искажения.

Если хср = хотп, то получим безгистерезисную (беспетлевую) релейную характеристику.

Релейные автоматические системы относятся к дискретным системам, поскольку релейный элемент осуществляет квантование сигнала по уровню. Однако характерной особенностью релейных автоматических систем, как видно из рассмотрения релейных характеристик, является то, что они относятся к существенно нелинейным системам.

Достоинства релейных автоматических систем состоят в том, что вместо сложных усилителей применяются сравнительно простые элементы-реле, обладающие большими коэффициентами усиления, и что релейные системы обладают высоким быстродействием: даже при малом рассогласовании, лишь незначительно превышающем зону нечувствительности системы, к двигателю подключается полное напряжение источника и он уменьшает рассогласование с большой скоростью. В линейных же системах скорость вращения двигателя пропорциональна рассогласованию системы и при малых рассогласованиях отработка задания происходит медленнее.

К недостаткам релейных систем относится то, что при повышении точности системы за счет увеличения коэффициента усиления системы и уменьшения зоны нечувствительности реле возможно появление автоколебаний системы, что отрицательно сказывается на механической части системы и для многих систем недопустимо.

Методы исследования релейных автоматических систем основываются на том, что если релейная автоматическая система содержит несущественные нелинейности, то прибегают к линеаризации по методу касательных или по методу наименьших квадратов. Благодаря этому получают линеаризованную систему, которая исследуется с помощью методов, разработанных для линейных систем. Однако в тех случаях, когда требуется высокая точность исследования, возникает задача анализа влияния нелинейностей на процессы в линеаризованных системах.

Можно указать еще две задачи исследования релейных автоматических систем:
-­ анализ устойчивости существенно нелинейных систем, выявление автоколебаний и определение их амплитуды и частоты, определение точности автоматической системы и ее реакции на внешние воздействия; 
-­ коррекции релейных автоматических систем с помощью нелинейных корректирующих устройств и синтез существенно нелинейных систем, обладающих заданными (желательными) динамическими характеристиками.

Для исследования релейных автоматических систем непригодны методы, разработанные для линейных систем. Для их исследования разработан ряд специальных методов. Наиболее общим методом анализа и синтеза релейных автоматических систем является второй (прямой) метод Ляпунова. Однако для инженерной практики он представляется достаточно сложным.

К методам исследования релейных автоматических систем, получивших практическое применение, относятся следующие методы:
1) Частотные методы, в частности, частотный метод исследования устойчивости и метод гармонической линеаризации и . Эти методы представляют собой реализацию частотных методов в релейных автоматических системах. 
2) Метод фазовой плоскости (фазовых траекторий) основывается на представлении движения автоматической системы на фазовой плоскости. Позволяет сравнительно просто исследовать динамику релейных автоматических систем втоpoгo порядка. 
3) Метод припасовывания состоит в том, что нелинейная характеристика релейного элемента заменяется несколькими линейными участками. Решения, соответствующие этим участкам, сшиваются. Метод отличается сложностью вычислений, особенно, если порядок ypaвнeния системы высок. 
4) Графоаналитическиe методы. Среди них наиболее распространенным является метод построения переходных процессов Д. А. Башкирова. Он основан на разложении сложного дифференциального ypaвнения на элементарные уравнения, для которых предложен простой графический способ интегрирования. Метод пригоден для линейных и нелинейных систем практически любого порядка, 
5) Численные методы сводятся к численному решению нелинейных дифференциальных уравнений. В последнее время широко применяются в связи с использованием цифровых вычислительных машин для исследования систем автоматического регулирования. 
6) Метод малого параметра применим для анализа псевдолинейных (почти линейных) систем, в нелинейные дифференциальные уравнения которых входит некоторый (малый) параметр так, что при нулевом значении параметра нелинейные уравнения вырождаются в линейные. 
7) Метод статистической линеаризации, дающий возможность oцeнить точность нелинейной системы при случайных воздействиях. Сущность метода статистической линеаризации состоит в том, что нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным элементом, который одинаково с нелинейным преобразует два первых статистических момента случайной функции: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение).
8) Моделирование на электронных вычислительных машинах, позволяющее повысить точность и скорость исследования релейных автоматических систем. Моделирование оказывается наиболее эффективным методом исследования автоматических систем, когда из-­за их сложности другие методы становятся м­aлоприемлемыми.
9) Метод пространства состояний удобен для исследования релейных автоматических систем и сложных линейных систем.

Математическое описание релейной автоматической системы можно представить в виде соединения линейной части и релейного элемента.

Линейная часть автоматической системы включает в себя все элементы автоматической системы, за исключением релейного элемента, т. е. исполнительное устройство, объект регулирования, измерительное, задающее и сравнивающее устройства и внутренние обратные связи. Каждый из этих элементов, выполняя определенные функции, является преобразователем входной величины в выходную. Выходная величина может отличаться от входной физической природой, формой, т. е. законом изменения по времени и уровнем энергии. Эти отличия и степень их важности зависят от назначения того или иного звена в автоматической системе. Так, например, для измерительных устройств характерно преобразование измеряемой величины в величину иной физической природы, чаще всего в электрическую, причем особые требования в этом случае предъявляются к сохранению закона изменения выходной величины по времени.

Говоря о линейной части, мы предполагаем, что их уравнения линейны либо линеаризованы известными способами.

Динамические свойства звеньев линейной части автоматической системы определяют закон изменения выходной величины этих звеньев. Этот закон может быть найден в явной форме как решение линейного дифференциального уравнения, описывающего звенья линейной части автоматической системы. Дифференциальные уравнения звеньев составляются на основании общих законов механики, электротехники, гидравлики, теплотехники и т. п.

Для упрощения записи дифференциальных уравнений линейной части автоматической системы и упрощения дальнейших операций с ними наиболее удобным оказывается применение преобразования Лапласа, как это было рассмотрено ранее.

Величины, описывающие состояние релейного элемента, являются переменными, хотя принимают только два различных значения в отличие от действительного или комплексного переменного. Такая переменная величина может представлять собой либо изменение состояния конкретного релейного элемента.

Любая такая переменная символизирует или условие работы, или состояние релейного элемента. Она не имеет численного значения, так как в условии работы или в состоянии нет ничего такого, что могло бы быть измерено в обычном смысле этого слова. Таким образом, когда говорят, что некоторая переменная двузначна, то не имеют в виду, что она принимает два значения в обычном смысле. Скорее всего в виду то, что эта переменная характеризует два качественных состояния релейного элемента.

Динамика релейного элемента описывается в виде существенно нелинейных зависимостей y = Ф (x), где при отсутствии зоны нечувствительности

и при наличии зоны нечувствительности

При наличии гистерезиса уравнение релейного элемента не может быть записано в общем виде, поскольку управляющее воздействие теперь неоднозначно определяется значением управляющего сигнала.

Характерная и существенная особенность релейного элемента состоит в том, что выходная величина его изменяется скачком всякий раз, когда входная величина проходит пороговое значение. Таким образом, выходная величина по абсолютному значению постоянна и равна ±k при симметричных характеристиках релейного элемента. Далее говоря о релейных элементах, мы будем иметь в виду релейные элементы с симметричными характеристиками.

Если ко входу релейного элемента приложена некоторая знакопеременная входная величина, превышающая в некоторые моменты времени пороговые значения, то выходная величина его представляет собой последовательность импульсов постоянной высоты k , чередующейся полярности, различной длительности и интервала повторения, зависящих от характера входной величины и пороговых значений. Благодаря этим специфичным особенностям форма выходной величины релейного элемента, т. е. форма управляющего воздействия в релейных автоматических системах, заранее не определена.

Для исследования релейных автоматических систем удобно их функциональную схему привести к простейшему виду.

Здесь внешнее воздействие приложено ко входу релейного элемента. Это не является ограничением, так как, где бы ни были приложены внешние воздействия, их всегда можно привести к выходу линейной части автоматической системы, а значит, и ко входу релейного элемента.

Для простейшей релейной автоматической системы уравнения состояния имеют вид: уравнение линейной части Y(p) =W(p) X(p); уравнение релейного элемента Y(p) = L{Ф[x(t); s]}

На основании принципа наложения реакция линейной части релейной автоматической системы на любое число воздействий найдется простым суммированием реакция автоматической системы на каждое воздействие порознь. Принцип наложения является основой методов построения как переходных, так и установившихся процессов в релейных автоматических системах.

В переходном процессе линейная часть автоматической системы подвержена воздействию ряда импульсов или скачков в последовательные моменты времени, определяемые управляющим сигналом и уровнем пороговых значений. Следовательно, переходный процесс может быть найден путем надлежащего суммирования реакций линейной части автоматической системы на эти простейшие воздействия.

В установившемся периодическом процессе как управляющий сигнал, так и управляющее воздействие будут периодическими функциями времени, которые можно представить либо в виде периодически повторяющихся последовательности импульсов, либо в виде суммы гармонических составляющих, т. е. ряда Фурье.

Следовательно, установившийся периодический процесс можно найти путем суммирования реакции линейной части автоматической системы на эти простейшие составляющие. Это простое соображение сводит рассмотрение существенно нелинейной автоматической системы, каковой является релейная автоматическая система, к рассмотрению внешнего импульсного воздействия на линейную часть автоматической системы.

Как переходные, так и установившиеся процессы в релейных автоматических системах описываются уравнением, которое может быть записано в виде

Рассмотрим работу релейной автоматической системы без зоны нечувствительности и без гистерезиса. Пороговые значения управляющей величины в этом случае равны нулю, а регулируемая величина представляет собой последовательность прямоугольных импульсов.

Моменты времени ti называются моментами переключения, которые определяют переходный процесс в автоматической системе. Моменты переключения просто определяются графически одновременно с построением переходного процесса.

Длительность и расположение управляющих сигналов определяется условиями надлежащего момента переключения и надлежащего направления переключения, зависящих от пороговых значений.

Применяя описанный метод построения, нетрудно установить, что процессы, которые при этом возникают в релейной автоматической системе, могут быть трех видов:
 - затухающие процессы, характеризующиеся тем, что управляющий сигнал с течением времени стремиться к постоянному значению, в частности, равному нулю;
 - возрастающие процессы, характеризующиеся тем, что управляющий сигнал с течением времени теоретически неограниченно возрастает;
 - ограниченные процессы, характеризующиеся тем, что управляющий сигнал с течением времени не стремиться к постоянному значению и, в частности, к нулю и не возрастает неограниченно.

Первому типу процессов соответствует устойчивый режим работы релейных автоматических систем. При устойчивом режиме, начиная с некоторого момента времени, управляющий сигнал становится по абсолютной величине меньше порогового значения. Управляющее воздействие в этом случае представляет конечное число импульсов.

К этому же типу затухающих процессов можно отнести так называемый скользящий или пульсирующий режим. Характерная особенность этого режима состоит в том, что, начиная с некоторого момента времени управляющий сигнал проходит одно и то же пороговое значение, испытывая относительно него пульсации. Управляющее воздействиеh(t) в этом случае представляет собой последовательность импульсов одного и того же знака переменной частоты.

Скользящий режим может быть в релейных автоматических системах, содержащих внутреннюю обратную связь, охватывающую релейный элемент. Интенсивное действие этой внутренней обратной связи и приводит к тому, что как только управляющий сигнал h(t) проходит через пороговое значение управляющее воздействие релейного элемента изменяет y(t) так, что этот сигнал проходит через это пороговое значение в обратном направлении.

Второму типу процессов соответствует неустойчивый режим, в котором y(t) теоретически неограниченно возрастает. Управляющее воздействие h(t) представляет собой последовательность импульсов увеличивающейся длительности.

Третьему типу процессов соответствует автоколебательный режим, который характеризуется тем, что регулируемая величина y(t) периодически изменяется, проходя через пороговые значения. При этом управляющее воздействие h(t)представляет собой периодическую последовательность импульсов.

Автоколебания могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Автоколебательный режим может установиться в системе фактически в том случае, когда автоколебания устойчивы. Помимо автоколебаний, к третьему типу процессов относятся более сложные режимы, при которых h(t) представляет собой непериодическую последовательность импульсов. Следует отметить, что осуществление того или иного режима зависит от величины и характера начального воздействия.

Чтобы ответить на вопрос, какова причина возникновения автоколебаний в релейных автоматических системах у которых коэффициент усиления равен критическому.

Ранее отмечалось, что при увеличении коэффициента усиления разомкнутой автоматической системы запас устойчивости замкнутой автоматической системы уменьшается. При некотором значении коэффициента усиления, называемом критическим, автоматическая система выходит на границу устойчивости. В этом случае вещественная часть одного или нескольких корней характеристического уравнения равна нулю, т. е. решение характеристического уравнения будет нулевым или иметь чисто мнимые корни, причем мнимые корни всегда сопряженные. Автоматическая система может находится на границе устойчивости при строго определенном соотношении параметров. Однако стоит хотя бы одному из них измениться на малейшую величину, как это состояние нарушается, а автоматическая система становить устойчивой или неустойчивой.

В релейных автоматических системах управляющее воздействие d изменяется скачком всякий раз, когда управляющий сигнал Dx проходит через некоторые фиксированные значения х0, называемые пороговыми. Пороговые значения определяют собой зону нечувствительности релейного элемента. Как видно из таблицы для релейного элемента с зоной нечувствительности управляющее воздействие может принимать три значения - наименьшее, наибольшее и нулевое. В предельном случае пороговое значение равно нулю, и тогда мы имеем характеристику идеального релейного элемента.

Релейные автоматические системы могут обладать исключительно большим быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменяется практически мгновенно и исполнительное устройство всегда подвержено максимальному постоянному воздействию. Если управляющий сигнал неоднократно проходит через пороговые значения, то управляющее воздействие будет иметь вид импульсов постоянной высоты, переменной длительности и переменного времени повторения. Такое интенсивное воздействие часто может явиться причиной возникновения незатухающих колебаний, или, как их часто называют, автоколебаний. Появление автоколебаний во многих случаях нежелательно по той причине, что они могут нарушить заданный закон изменения регулируемой величины.

Эти колебания имеют вполне определенную амплитуду и частоту, не зависящую от начальных условий процессов. Амплитуда и частота этих периодических колебаний зависят только от параметров самой автоматической системы (коэффициентов усиления и постоянных времени отдельных звеньев).

Однако существуют релейные автоматические системы, в которых автоколебания являются основным рабочим режимом. К числу таких систем относятся вибрационные регуляторы, системы автоматического регулирования, работающие по принципу "открыто-закрыто" и т. д. В этих автоматических системах пульсации регулируемой величины, вызываемые автоколебаниями, в значительной мере сглаживаются благодаря фильтрующим свойствам регулируемого объекта и тем самым поддерживается среднее значение регулируемой величины.

Если релейную автоматическую систему подвергать внешнему периодическому воздействию, то при определенных условиях ранее существовавшие в ней автоколебания устраняются, но при этом в системе возникают вынужденные колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия, либо с более низкой частотой. При достаточно высокой частоте внешнего воздействия амплитуда вынужденных колебаний той же частоты будет невелика и практически эти колебания не будут проявляться.

Таким образом, внешнее периодическое воздействие может служить средством, подавления автоколебаний. Одновременно с этим наличие вынужденных колебаний устраняет влияние сухого трения, люфта и гистерезиса придает релейной автоматической системе свойство пропорциональности.

В основу классификации релейных автоматических систем положены признаки, специфичные для релейных автоматических систем. Такими признаками являются характер линейной части автоматической системы, вид характеристики релейного элемента и особенности режима работы релейной автоматической системы.

По характеру линейной части релейные автоматические системы можно подразделить на системы с устойчивой, нейтральной, неустойчивой линейными частями, а также системы, в которых линейная часть содержит сосредоточенные параметры, элементы запаздывания или распределенные параметры.

На практике параметры автоматической системы не могут быть абсолютно постоянными, а изменяются под действием внешних возмущений, износа, старения и т. п. Поэтому если даже в какой-то момент условие нахождения автоматической системы на границе устойчивости, то в следующий момент они будут нарушены. Вот по этой причине в релейной автоматической системе возникают автоколебания, зависящие не только от параметров автоматической системы, но и от амплитуды колебаний.

Вследствие того, что управляющее воздействие h(t) в релейной автоматической системе по абсолютной величине всегда максимально, при определенных условиях в ней можно получить оптимальный процесс, характеризующийся минимальным временем установления и отсутствием перерегулирования.

Автоколебания в релейных автоматических системах поддерживаются не внешними периодическими силами, а силами, зависящими от состояния автоматической системы. Максимально возможная частота переключения релейного элемента определяется по выражению:

где tвкл , tвыкл - время включения и выключения релейного элемента соответственно.

Если не применять соответствующих предосторожностей, то автоколебания, возникающие в релейных автоматических системах, приводят к столь значительному изменению выходной величины линейной части y(t), что автоматическая система может стать неработоспособной.

Для уменьшения изменения y(t) необходимо либо устранить автоколебания, либо увеличить частоту автоколебаний. Последнее следует из того, что модуль частотной характеристики линейной части с ростом частоты стремится к нулю. Следовательно, чем выше частота автоколебаний, тем меньше изменение выходной величины y(t). Изменения частоты автоколебаний можно получить изменением параметров релейного элемента или линейной части автоматической системы.

Релейная автоматическая система, работающая в режиме колебаний с малой aмплитудой, может быть сделана более точной, чем система без колебаний, так как благодаря автоколебаниям самое незначительное перемещение управляющего органа вызовет соответствующее перемещение органа управления, в то время как у автоматической системы без автоколебаний отработка возможна только после того, как сигнал рассогласования превысит значение зоны нечувствительности. Автоколебания как бы делают связь между входным и средним значениями регулируемой величины автоматической системы пропорциональной, т. е. линеаризуют автоматическую систему.

На практике часто встречаются случаи, когда в релейной автоматической системе возникают несимметричные автоколебания. Несимметрия автоколебаний в релейной автоматической системе может вызываться различными причинами:
 - несимметричностью нелинейной характеристики релейного элемента как при наличии, так и при отсутствии внешних воздействий;
 - наличием постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия при симметричных нелинейных характеристик релейного элемента;
 - наличием постоянной или медленно меняющейся скорости изменения внешнего воздействия при симметричных нелинейностях характеристик релейных элементов (для тех случаев, когда постоянное воздействие не вызывает смещения центра колебаний; обычно это имеет место в следящих автоматических системах и вообще в астатических системах).

Проблема определения вынужденных колебаний в релейных автоматических системах является весьма сложной и многообразной. Поскольку принцип суперпозиции (наложения решений) в этом случае несправедлив, так как нельзя складывать частные решения при различных внешних воздействиях, найденных по отдельности, а также складывать свободные и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно в случае, если решения разделяются по степени скорости протекания их во времени (по значению возможных частот колебаний). При этом каждое из складываемых решений существенно зависит от другого, а именно амплитуда автоколебаний существенно зависит от величины смещения, характеризующей медленно протекающие процессы.

Подробнее вопросы исследования вынужденных колебаний в релейных автоматических системах можно ознакомиться в специальной литературе по нелинейным автоматическим системам.

Устойчивость релейных автоматических систем. Понятие устойчивости для релейных автоматических систем значительно сложнее, чем для линейных. Процессы, протекающие в релейных автоматических системах, имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных автоматических системах. Это объясняется тем, что процессы в релейных автоматических системах имеют ряд существенных особенностей. Линейные автоматические системы имеют единственное состояние равновесия, которое может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от структуры и параметров автоматической системы. В нелинейной системе может быть несколько состояний равновесия.

Для релейных автоматических систем необходимо различать два понятия устойчивости:
- устойчивость состояния равновесия;
- и устойчивость автоколебаний.

Устойчивость состояния равновесия и устойчивость автоколеба­ний в релейных автоматических системах зависят не только от структуры и параметров, но и от начальных отклонений системы относительно состояния равновесия.

В релейных автоматических системах могут быть и более сложные процессы, например, могут возникать автоколебания различной амплитуды и частоты, соответствующие различным начальным отклонениям. Таким образом, в отличие от линейной одна и та же релейная автоматическая система при различных начальных условиях может совершать разные движения.

Устойчивая линейная автоматическая система после снятия воздействия возвращается в исходное состояние. Такая устойчивость называется асимптотической (или устойчивостью в точке). В релейных автоматических системах, кроме асимптотической устойчивости, может быть устойчивость в некоторой области (неасимптотическая устойчивость), характеризующаяся возвратом автоматической системы в определенную область после снятия воздействия. В релейной автоматической системе возникновение этой области объясняется зоной нечувствительности. Асимптотическую устойчивость релейной автоматической системы называют абсолютной устойчивостью равновесия.

Относительно равновесного состояния релейная автоматическая система неустойчива, но она обладает устойчивыми периодическими колебаниями с определенной амплитудой. Такая автоматическая годится для целей автоматического регулирования, если эта амплитуда не превышает заданного значения, а частота не опасна, т. е. если наложение этих колебаний на требуемое постоянное значение регулируемой величины допустимо по техническим условиям, предъявляемым к данной системе.

Если же амплитуда устойчивых периодических колебаний велика настолько, что для целей автоматического регулирования система не годится, то практически это равноценно системе с расходящимися колебательным процессом.

Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости релейной автоматической системы становится более сложным. Кроме структуры автоматической системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение, в отличие от линейных автоматических систем, также и начальные условия. Для оценки устойчивости рассмотрим простейшую релейную автоматическую систему.

Равновесие автоматической системы неустойчиво, но обладает устойчивыми периодическими колебаниями с определенной амплитудой. Такая автоматическая система годится для целей регулирования, если эта амплитуда не велика и частота их не опасна, т. е. если наложения колебаний на требуемое постоянное значение регулируемой величины допустимо по техническим требованиям. В этом случае можно считать релейную автоматическую систему устойчивой.

Если амплитуда устойчивых периодических колебаний велика настолько, что для целей автоматического регулирования не годится, то она будет равноценна автоматической системе с расходящимися колебаниями.

Устойчивость в малом релейных автоматических систем, содержащих релейный элемент с зоной нечувствительности, определяется устойчивостью линейной части автоматической системы. Поэтому при исследовании устойчивости в малом можно ограничиться релейными автоматическими системами без зоны нечувствительности и без гистерезиса.

Управляющий сигнал h(t), зависящий от выходной величины линейной части автоматической системы, может при этом условии стремиться к нулю лишь тогда, когда частота переключений релейного элемента неограниченно возрастает. Это следует из того, что частотная характеристика линейной части автоматической системы с ростом частоты переключений стремиться к нулю и, следовательно, выходная величина y(t) ее при ограниченном по абсолютной величине управляющем воздействии с возрастанием частоты будет также стремиться к нулю.

Поэтому в рассматриваемых релейных автоматических системах подход к положению равновесия связан с неограниченным возрастанием частоты переключений или включений релейного элемента. Для определения условий устойчивости в малом релейной автоматической системы будем рассматривать последнюю как предельный случай некоторой нелинейной автоматической системы, состоящей из той же линейной части и нелинейного элемента типа насыщения.

Можно предположить, что устойчивость в малом релейной автоматической системы сводится к исследованию устойчивости линеаризованной системы, получаемой из релейной заменой релейного элемента линейным усилителем, коэффициент усиления которого неограниченно растет. Эти физически наглядные соображения при строгом математическом подходе вызывают ряд возражений. Однако, как оказалось, результаты, к которым они приводят, совпадают с результатами строгих математических исследований, проведенных пери решении задачи об устойчивости в малом релейных автоматических систем.

Устойчивость линеаризованной автоматической системы определяется расположением полюсов ее передаточной функции или корнями соответствующего ей характеристического уравнения. Для того чтобы линеаризованная автоматическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции имели отрицательные действительные части при неограниченном возрастании коэффициента усиления.

Передаточная функция замкнутой линеаризованной автоматической системы относительно h(t) равна

Итак, условиями устойчивости в малом релейной автоматической системы являются условия устойчивости линеаризованной системы при неограниченном возрастании коэффициента усиления, т. е. условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения.

Найдем критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости в малом релейной автоматической системы по передаточной функции W(p) либо по частотной характеристике W(jw) линейной части автоматической системы.

Пусть передаточная функция линейной части релейной автоматической системы равна

Для того чтобы линейная автоматическая система при k стремящемся к бесконечности была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при больших k, точка -1/k принадлежала бы отрезку устойчивости.

При k стремящемся к бесконечности точка -1/k принадлежит отрезку устойчивости, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, или, иначе говоря, если автоматическая система устойчива. Характеристическое уравнение имеет l = n - m бесконечно больших по абсолютной величине корней. При l = n - m =1 уравнение имеет один бесконечно большой действительный корень, а при l = n - m = 2 - два чисто мнимых корня, бесконечно больших по модулю, и т. д.

Релейная автоматическая система будет устойчивой, если линейная часть автоматической системы при kстремящемся к бесконечности устойчива при l = n - m = 1 и d0 > 0, (где d0 = b0/a0). Релейная автоматическая система будет стремиться к границе устойчивости, если линейная часть автоматической системы при k стремящемся к бесконечности и l = n - m = 2 и d0 > 0. Релейная автоматическая система будет не устойчивой, если линейная часть автоматической системы приk стремящемся к бесконечности имеет l = n - m = 3.

Если устойчивость в малом рассматривается для релейных автоматических систем, содержащих идеальный релейный элемент, то устойчивость в целом охватывает системы с неидеальными релейными характеристиками. Для исследования устойчивости таких автоматических систем используются специальные методы, которые подробно описаны в специальной литературе.

Точность поддержания регулируемой величины в релейной автоматической системе зависит от многих факторов.

Основные положения по оценке динамической точности линейных автоматических систем справедливы и для релейных систем. В частности, характер зависимости точности в установившемся динамическом режиме в релейной автоматической системе от коэффициента усиления, порядка астатизма, разомкнутых компенсационных связей по задающему и возмущающему воздействиям такой же, как и в линейных системах.­ Однако наличие естественных нелинейностей оказывает влияние на динамическую точность автоматической системы, вызывая дополнительные ошибки. Если, например, зону нечувствительности имеет элемент сравнения, то при ошибках релейной автоматической системы, меньших этой зоны, система оказывается разомкнутой и не отрабатывает задающее воздействие. Это приводит к тому, что возникает статическая ошибка, равная зоне нечувствительности,

В тех случаях, когда элемент с зоной нечувствительности включен за усилителем с коэффициентом усиления k, статическая ошибка системы уменьшается в k раз. При включении интeгрирующего звена до элемента с зоной нечувствительности статическая ошибка не возникает, Это объясняется ­памятью интегрирующего звена, благодаря чему eгo выходная величина удерживается равной зоне нечувствительности.

Качество переходных процессов в релейных автоматических системах оценивается теми же показателями, что и в линейных системах, т. е. временем регулирования, перерегулированием, количеством колебаний и т. д. Однако эти показатели в релейных автоматических системах в отличие от линейных зависят от величины входного воздействия. Период колебаний переходной функции в релейных автоматических системах не является постоянной величиной и зависит от входного воздействия.

Имеется ряд методов определения показателей качества переходнoгo процесса релейных автоматических системах. Если релейные элементы, входящие в систему, не оказывают определяющего влияния на ее динамику, то вначале в порядке первого приближения можно построить кривую переходного процесса как и для линейной системы, не принимая во внимание нелинейности. Такое исследование возможно, например, при наличии незначительной зоны нечувствительности, насыщения, неоднозначной характеристики с узкой петлей и т. д. Если релейная автоматическая системах имеет несущественные нелинейности и рассматривается как линеаризованная, то при определении переходной функции ступенчатое воздействие на входе автоматической системы должно быть ограничено по значению, чтобы элементы системы не входили в область насыщения. После исследования релейной автоматической системы в линейном плане, в случае необходимости, оценивается влияние на динамику автоматической системы неучтенных нелинейностей.

Для построения переходного процесса релейной автоматической системы с учетом нелинейностей могут быть использованы методы численного интегрирования, метод фазовых траекторий, частотные, графоаналитические, методы моделирования, метод пространства состояний и др.

Главными из них является величина зоны нечувствительности, частота автоколебаний и гистерезис релейного элемента. Эти параметры релейных автоматических систем взаимосвязаны, например, чем меньше зона нечувствительности и гистерезис, тем больше частота автоколебаний и наоборот. Для идеального релейного элемента частота автоколебаний стремиться к бесконечности.

Если не принять соответствующих предосторожностей, то автоколебания, возникающие в релейной автоматической системе, приводят к столь значительному изменению выходной величины линейной части y(t), что релейная автоматическая система становится неработоспособной.

Для уменьшения изменения y(t) необходимо либо устранить автоколебания, либо увеличить частоту возможных автоколебаний. Последнее следует из того, что модуль частотной характеристики линейной части автоматической системы W(w) обычно с ростом частоты стремится к нулю и, следовательно, чем выше будет частота автоколебаний, тем будет меньше изменение y(t).

В связи с этим важное значение приобретают способы увеличения частоты колебаний или, если это возможно, устранения этих колебаний. Разумеется, при повышении частоты автоколебаний условия работы релейного элемента ухудшаются и требования к его характеристикам повышаются.

Одним из простейших и очевидных способов устранения автоколебаний в том случае, когда линейная часть автоматической системы устойчива или нейтральна, является увеличение зоны нечувствительности. Но увеличение зоны нечувствительности сопряжено со значительным уменьшением точности регулирования, что не всегда желательно.

Применяя соответствующие корректирующие устройства, в частности, обратные связи, можно в широких пределах изменять параметры линейной части автоматической части системы и релейного элемента, и следовательно, частоту возможных автоколебаний. Так как изменение параметров линейной части автоматической системы приводит к расширению полосы пропускания частот внешних возмущений. Однако при этом будет уменьшаться выходная величина автоматической системы и увеличиваться ее быстродействие.

Весьма эффективное средство повышения частоты возможных автоколебаний, специфичное для релейных автоматических систем, состоит в ведении так называемой замедленной внутренней обратной связи, охватывающей релейный элемент или жесткой, упругой внутренней обратной связи, охватывающих релейный элемент совместно с некоторыми звеньями линейной части автоматической системы.

Охват релейного элемента обратной связью равноценен введению дополнительных звеньев параллельно линейной части автоматической системы. Эти дополнительные звенья часто называют ускоряющими. При наличии ускоряющих звеньев входная величина релейного элемента Dx будет равна сумме двух величин: рассогласования регулируемой величины и выходной величины ускоряющего звена.

Физическая сущность описываемых способов повышения частоты возможных автоколебаний состоит в убыстрении тем или иным способом работы релейного элемента, т. е. в уменьшении интервалов переключений. Это достигается либо введением внутренних малоинерционных цепей обратной связи, охватывающих релейный элемент, либо созданием форсированного ступенчатого релейного воздействия на линейную часть.

В первом случае управляющий сигнал представляет собой сумму основного сигнала ошибки и сигнала обратной связи. Благодаря наличию сигнала обратной связи переключение релейного элемента наступает раньше.

Во втором случае форсирование достигается за счет ступенчатого изменения интенсивности воздействия релейного элемента. Такое ступенчатое изменение интенсивности воздействия на линейную часть сокращает длительность процесса в ней, что в конечном итоге ускоряет переключение релейного элемента.