Виды тригонометрических уравнений и методы их решений

Виды тригонометрических уравнений и методы их решений

I. Уравнение, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций

Такие уравнения решают методом замены переменной.

1)  2 sin2 x + 3 sin x – 2 = 0, пусть sin х = t, тогда 2 t2+3 t -2 = 0

Д = 32 – 4 * 2 * (-2) = 9 +16 = 25 > 0, 2 корня

t 1,2 =

sin x = или sin x = -2

x = (-1 )n * arcsin управление не имеет корней

x = (-1)n * т. к. -2

Ответ: (-1)n * .

2) 2 sin 2x – 5 cosx – 5 = 0,

2 (1 – cos2 x) – 5 cos x - 5 = 0,

2-2 cos2 x – 5 cos x -5 = 0,

2 cos2х + 5 cos x + 3 = 0, cos x = t,

2 t 2+5t +3=0.

Д = 52 – 4*2*3=25-24=1>0, 2 корня

t1,2 = t1 = - 1, t2 = - 1.

cos x = -1 или cos x = -1.

х = П + 2 Пn, n управнение не имеет корней

Ответ: П + 2 Пn, n

3) tg x +3ctgx = 4

tg x + = 4, т. к. tg x , умножим обе части уравнения на tg x

tg2x – 4 tg x +3=0, tgx = t

t2 - 4t + 3 = 0.

Д = 42 – 4*1*3=16 – 12 = 4 > 0, 2 корня

t1;2 =,t1 =3, t2 =1.

tg x = 3 или tg x =1

x = arctg3+Пп, n х= arctg1+ Пn, n

х =+ Пn, n

Ответ: +Пn, arctg3 +Пn, n .

4) 2 sin x + cos x = 2

2* умножим обе части уравнения на 1 + tg2 т. е. х ≠ П +2Пn

4tg+ 1 - tg2= 2 + 2 tg2,

3tg2 - 4 tg + 1 = 0, tg= m – универсальная подстановка.

3 m2 – 4 m + 1 = 0,

Д = (-4)2 – 4 * 3 * 1 = 16 – 12 = 4 > 0, 2 корня

m1,2 = m1 = 1, m2 =

tg = 1 или tg =

= arctg 1 + Пn, = arctg+ Пn,

= + Пn, x = 2 arctg + 2Пn,

= + 2 Пn,

Обе группы корней удовлетворяют условию 1 + tg20

Ответ: + 2 Пn, 2 arctg + 2Пn,

5) ctg2 х + сtg х = 4 – tg2х + tg х,

ctg2 х + tg2х = ctg х – tg х – 4 = 0, учитывается tg х * ctg х = 1

ctg2 х + tg2 х + ctg х – tg х – 2 tg х * сtg х – 2 = 0

(ctg х – tg х)2+ (ctg х – tg х) – 2 = 0, Пусть ctg х – tg х = n

n2 + n – 2 = 0

n1 =1, n2 = - 2

ctg x – tg x = 1 или ctg x – tg x = - 2

Решая каждое из них как пример I, 3 получим:

x = arctg () +Пn,, x = arctg (1) + Пn, .

II. Метод разложения на множители.

Суть этого метода: если уравнение f (x) = 0 удается преобразовать к виду f1(х) * f2(х) = 0, то либо f1(х) = 0, либо f2(х) = 0

1)  2 sin x * cos 5 x – cos 5 x = 0,

cos 5 x (2 sin x -1) = 0

cos 5 x = 0 или 2 sin x -1 = 0

5 x = + Пn, 2 sin x = 1

х = + , sin x =

x = (-1)n arctg + Пn,

x = (-1)n *+ Пn,

Ответ: +, (-1)n *+Пn; .

2) tg x (sin x - 1) = 0

tg x = 0 или sin x – 1 = 0

x = Пn, sin x =1

x = + 2Пn, .

Но второю серию корней в ответ включить нельзя, так как при значениях

х = + 2 Пn, входящий в это уравнение множитель tg x не имеет смысла, то есть

х = + 2 Пn не принадлежит области допустимых значений (ОДЗ), это посторонние корни.

Ответ: Пn,

Поэтому переход от уравнения f1(х) * f2(х) = 0, к совокупности уравнений:

f1(х), f2(х) = 0, не всегда безопасен. В этом случае надо найти ОДЗ.

III. Однородные уравнения – уравнения, в которых все слагаемые, стоящие в левой части уравнения, одной степени (первой, второй, третей, …) а в правой части - нуль.

Такие уравнения решаются делением каждого члена уравнения на cosnx, где n – степень уравнения. При этом мы должны быть уверены, что это выражения (cosnx) не может обращаться в нуль (на 0 делить нельзя)

1)  sin2x – 5 sin x * cos x + 6 cos2x = 0, делим на cos2 x0

,

tg2 x – 5 tg x + 6 = 0, далее замена переменной

m2 – 5 m + 6 = 0. tg x = m

m1 = 3, m2 = 2

tg x = 3 или tg x = 2

x = arctg 3 + Пn, x = arctg 2 + Пn,

Ответ: arctg 3 + Пn, arctg 2+ Пn; .

2)  5 sin 2x + 3 sin x * cos x = 4, т. к sin 2x + cos2 x=1,

5 sin 2x + 3 sin x * cos x – 4 sin 2x – 4 cos2 x = 0,

sin 2x + 3 sin 2x * cos x – 4 cos2 x = 0 – однородное второй степени

tg2х + 3 tg2х – 4 = 0. tg х = t

tg х = 1 или tg х = - 4.

х = arctg 1 + Пn, х = arctg (-4) + Пn,

х =+ Пn, х = - arctg4 + Пn.

Ответ: + Пn, - arctg 4 + Пn, .

3)  sin x cos x + cos2 x = 0

Здесь отсутствует слагаемое ввода аsin 2x, поэтому, хотя уравнение и однородное (второй степени), но делить на cos2 x нельзя, т. к. cos x в данном случае может равняться нулю. В таком случае сначала нужно решать уравнение методом разложения на множители.

cos x ( sin x + cos x) = 0,

cos x = 0 или sin x + cos x = 0

х =+Пn, однородное тригонометрическое

уравнение первой ступени. Решим его с

помощью почленного деления обеих

частей уравнения на cos x:

tg х + 1 = 0

tg х = -

х = arctg (-) + Пn,

х = - + Пn,

Ответ: + Пn, - + Пn; .

IV. Уравнения, решаемые понижением их порядка (степени).

1)  cos2 x + cos2 x = ,

cos 2x + , / * 4

4 cos2x + 2(1+ cos2x) = 5

6 cos2x + 2 = 5

6 cos2x = 3

cos 2x =

2х = ± arccos +2 Пn,

2x = ± + 2Пn,

х = ± + Пn,

Ответ: ± + Пn,

2) sin 4x + cos4 x =

(sin 2x)2 + (cos2 x)2 = ,

,

=

=,

+ = ,

= - ,

=

cos2 2x =

cos2 2x = или cos2x= -

2х = ± arccos +2 Пn, 2х = ± arccos(-) + 2Пn,

х = ±arccos+Пn, 2х = ± (П - arccos) + 2Пn,

х = ± ( - arccos) + Пn,

Ответ: ± arccos+ Пn, ± (- arccos) +Пn, .

V. Уравнения, решаемые после преобразований с помощью тригонометрических формул суммы и произведения.

Эпиграф

«Есть произведение - преобразуй в сумму, есть сумма - преобразуй в произведение»

Народная мудрость.

1)  sin x + sin 2x + sin3 x = 0

сгруппируем (sin x + sin 3x) +sin 2x= 0

2sin2x * cos x + sin2x = 0

sin2x (2cos x + 1) = 0

sin 2x = 0 или 2cos x +1 = 0

2х =Пn, cos x = - ,

х = n, х = ±arccos (-) + 2 Пn,

х = ± (П - ) +2Пn,

х = ± + 2Пn, .

Ответ : n, ± + 2Пn, .

2)  sin3x * sin5x = sin x * sin7x

(cos2x – cos8x) = (cos6x – cos8x) /*2

cos2x - cos8x = cos6x – cos8x,

cos2x = cos 6x,

cos2x – cos 6x = 0

- 2 sin 4x * sin(-2 x) = 0

2 sin 4x * sin 2x = 0

sin 4x = 0 или sin 2x = 0

4х = Пn, 2х = Пn,

х = n, х = n,

Ответ: n, n, .

Примечания: В данном уравнении две серии ответов можно объединить в одну. Для этого отметим точки одной серии и другой на оси ОХ.

 

-П - 0 П 2П

Видим: точки первой серии закрывают точки второй серии, значит ответ можно записать так:

Ответ: n, .

VI. Метод введения вспомогательного аргумента.

На практике довольно часто встречаются выражения вида А sin x + В cos x, которые необходимо свести к одной тригонометрической функции.

Это формула имеет вид:

А sin x + Вcos x = С sin (x +t ), где С = , t = arcsin - вспомогательный аргумент.

1) sin x + cos x = 1,

с =

t = arcsin = , получим уравнения 2sin (x +) = 1, тогда

sin (x +) =,

x + = (-1)n *arcsin+Пn,

x += (-1)n * + Пn,

х = - +(-1)n *+ Пn,

Ответ: - +(-1)n *+ Пn, .

Примечание. В этом уравнении можно одну серию ответов, записанной в такой форме, заменить на две, если n взять четные и нечетные числа

Пусть n = 2k + 1 – нечетное, тогда

х1 = - - + П(2k + 1)= - + 2 П k+ П = + 2 П k, k

Пусть n = 2 k – четное, тогда

х2 = - + + 2 П k = 2 П k, k

Ответ: 2 П k, + 2 П k, k .

3)  5sin x – 12 cos x =13

с = = 13, t = arcsin

13sin (x-t) = 13

sin (x - t) = 1

x – t = + 2 Пn, .

x = t + = 2 Пn, .

Ответ: t + +2 Пn, где t = arcsin или arcsin+ +2Пn, .

Выводы:

I. Зная формулы тригонометрии, можно применить методы введения новой переменной и разложения на множители к решению различных по сложности тригонометрических уравнений. Приведем еще два примера.

1)  sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1

Воспользуемся формулой суммы синусов и формулой понижения степени, - получим

2 sin 3x * cos 2x + 1 - cos 2 x = 1,

2 sin 3x * cos 2x - cos 2x = 0.

Вынесем общий множитель

cos 2x (2 sin 3х-1) = 0.

cos 2x = 0 или 2sin 3x = 1

2x = + Пn, sin 3x =

х = +, 3 x = (- 1)n arcsin+ Пn,

3 x = (- 1)n *+ Пn,

x = (- 1)n * + ,

Ответ: +, (- 1)n * + ; .

2)  sin 2x + sin x + cos x = 1

Воспользуемся формулами: синус двойного угла, тригонометрической единицей и добавим в левую и правую части уравнений по единице, получим

sin2 x + 2sin x * cos x + cos2 x + sin x + cos x = 2

(sin x + cos x)2+ (sin x + cos x) - 2 = 0

Ведем новую переменную sin x + cos x = t

t 2 + t – 2 = 0

t1 = 1, t2 = - 2 , тогда

sin x + cos x = 1 или sin x + cos x = - 2

Решим методом уравнение не имеет корней,

вспомогательного аргумента

sin (x + ) = 1

Х + = (- 1)n * arcsin + Пn.

Х = - + (- 1)n * + Пn.

- 1 ≤ sin x ≤ 1

+

- 1 ≤ cos x ≤ 1

- 2 ≤ sin x + cos x ≤ 2, равенство выполняется когда sin x = - 1 и cos x = -1, а это одновременно невозможно.

n = 2к n = 2к+1

х = 2Пк, х = - - +2Пк + П

х = + 2Пк,

Ответ: 2Пк, + 2Пк,

II. Кроме приведенных в данной лекции методов существуют и нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, которые также основаны на формулах. Например:

1) cos x cos2 x cos 4x =

Наиболее быстрый способ решения – умножение правой и левой частей равенства на

8 sin x, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sin x = 0, т. е. значения х = Пn, , т. к. они не удовлетворяют исходному уравнению.

8 sin x * cos x * cos 2x * cos 4x = sin x

2sin x * cos x * 4cos 2x * cos 4x = sin x

2sin 2x * cos 2x * 2cos 4x = sin x

2 sin 4x * cos 4x = sin x

sin 8x = sin x

sin 8x - sin x = 0

2sin * cos= 0

sin = 0 или cos = 0

= Пк, = + Пт,

х = , х = + , m

учитывая условия, следует исключить значения х = 2 Пn, получающийся при к = 7n и х = П+2 Пn, получается при т = 9 n + 4.

Ответ: , где целое к ≠ 7n

, где целое т ≠ 9 n + 4,

2) sin6 x + cos6 x = 1,

(sin2 x)3 + (cos2 x)3 = 1, а3+ в3 = ( а2+ в)(а2 –ав+в2)

(sin2 x + cos2 x) * (sin4 x – sin2 x * cos2 x + cos4 x) = 1

sin4 x – sin2 x * cos2 x + cos4 x = 1

(sin2 x)2 + 2sin2 x * cos2 x + (cos2 x)2 - 3 sin2 x * cos2 x = 1

(sin2 x + cos2 x)2 - 3 sin2 x * cos2 x = 1

1 - 3 sin2 x * cos2 x = 1

3 sin2 x * cos2 x = 0

sin x = 0 cos x = 0

х = Пn, х = + Пn,

объединим две серии в одну

 

- 0 П

Получим х = n,

Литература.

«Задачи по алгебре и началам анализа» Москва «Просвещение» 1990 «Сборник задач по математике для поступающих в ВТУЗы» Москва «Оникс» 2006г. , «Алгебра и начала анализа» Профильный уровень Москва «Мнемозина» 2007г.

Дюжина упражнений для самопроверки