XIV Республиканская олимпиада имени

XIV Республиканская олимпиада

имени

МАТЕМАТИКА

9 класс

заочный тур

решения

1. В начале первой недели в пруд запустили 7 инфузорий. В конце каждой недели каждая инфузория делится на две части, после чего карась съедает 3 инфузории. Найдите число инфузорий в начале 31 недели.

Решение: 1 неделя: 7; 2 неделя: 7·2-3=7+2²; 3 неделя: 7+2²+2³;и т. д. 31 неделя: 7+2²+…+2. Геометрическая прогрессия: b=2³, q=2, n=30.Ответ: S=7+4·(2-1)

2. Пять пиратов делят 10 слитков золота. Процедура дележа устроена так: сначала старший пират предлагает делёж по своему выбору. Если больше половины пиратов его отвергают, второй по старшинству пират предлагает делёж добычи среди оставшихся четырёх (старший пират никакого участия в дальнейшем дележе не принимает). Если новый делёж отвергается большинством голосов, то предлагавший его пират от дальнейшего участия в дележе устраняется и процедура повторяется для трёх пиратов. Как будут распределены слитки золота, если каждый пират, из двух данных дележей предпочтёт тот, в котором его доля золотых слитков больше?

Решение: Если в дележе участвуют два пирата, то старший пират забирает всё золото – половина (он сам) поддерживает его предложение. Итог (10,0). Если число пиратов равно трем, старший пират предлагает делёж, дающий 9 слитков ему и 1 слиток младшему. Итог (9,0,1). Число пиратов рано четырём. Старший рассуждает так: «Если моё предложение будет отвергнуто, то три оставшихся пирата разделят золотые слитки по правилу (9,0,1); следовательно, я должен предложить такой делёж, который был бы выгоднее хотя бы одному из них, а мне давал бы наибольшую возможную долю». Единственное решение этой задачи – делёж (9,0,1,0), в котором старший пират жертвует лишь одним слитком. Рассуждая подобным образом и в случае пяти пиратов, в итоге получаем ответ – (8,0,1,0,1).

3. Телесериал « По колено в слезах» демонстрировался несколько лет подряд, причём в каждом году, начиная со второго, было представлено либо на 40% больше, либо на 40% меньше серий, чем в предыдущем. Чтобы не наносить большого ущерба экономике страны, ежедневно показывали не более двух серий. При просмотре 1230-ой серии зрители были опечалены ссорой главных героев, но ровно через два года порадовались их счастливому примирению в последней серии. Сколько всего серий содержал этот замечательный фильм?

Решение: Сначала определим, сколько лет продолжалась демонстрация сериала. По условию, ежедневно показывали не больше двух серий, а так как в году не больше 366 дней, то за каждый год было показано не больше 732 серий. Поэтому 1230-я вышла на экран самое ранее во 2-м году, а последняя – ровно через 2 года после неё, т. е. минимум в 4-м году. А теперь выполним ограничение сверху, т. е. докажем, что время показа было меньше 6 лет. Тогда, если в 1-м году было показано N серий, то в 5-м году их было N·(a/5)·(b/5)·(c/5)·(d/5)·(e/5)=Nabcde/3125, где каждое из чисел a,b,c,d,e равно либо 7, либо 3. Поэтому N делится на 3125. С другой стороны, в году не более 366 дней, поэтому в течение каждого года зрители смотрели не более 732 серий. Следовательно, N≤732. Но натуральное число не может быть не больше 732 и делиться при этом на 3125. Противоречие показывает, что сериал длился не больше 5 лет. Итак, есть два «кандидата» на продолжительность показа: 4 или 5 лет.

Пусть демонстрация длилась 4 года. Тогда в 4-м году было N·(a/5)·(b/5)·(c/5)=N abcd/125 серий. С другой стороны, за первые два года показали не меньше 1230 серий. Но в первом году их было N, а во втором - N·(a/5), где a равно 3 или 7. Если 3, то всего за первые два года показали N+N·(3/5)=8N/5 серий, а т. к. это не меньше 1230, то N≥768,75, что невозможно. Если же 7, то всего за первые два года показали N+N·(7/5)=12N/5 серий, и N≥512,5. Единственное значение N, удовлетворяющее этому значению это 625. Итак, в первом году показали 625 серий, но тогда во втором - 625·(7/5)=875 серий, что больше 732. Противоречие. Вывод: сериал показывали 5 лет. В пятом году было Nabcd/625 серий. Итак N делится на 625.Единственное число, кратное 625 и меньше 732 это 625. Поэтому в первом году показали 625 серий. Так как 625·(7/5)=775>732, то во втором году могло быть представлено только 625·(3/5)=375 серий. Тогда в 3-м году было показано либо 375·(7/5)=525, либо 375·(3/5)=225 серий. Во втором случае в течение первых трех лет зрители увидели бы 625+375+225=1225 серий, поэтому над 1230-й серией они плакали бы в четвертом году, а не в третьем, что невозможно. Следовательно, в 3-м году показали 525 серий. Так как 525·(7/5)=735>732, то в 4-м году могло быть показано лишь 525·(3/5)=315 серий. Зато в 5-м году демонстрировалось либо 315·(7/5)=441, либо 315·(3/5)=189 серий. Первый случай не подходит. Итак, телесериал содержал 625+375+525+315+189=2029 серий.

4. В треугольнике АВС со сторонами АВ=√3, ВС=2, АС=√7 проведена медиана BD. В треугольники ABD и DBCвписаны окружности, которые касаются BD в точках M и N соответственно. Найти MN.

А

Решение: Выясним, какой треугольник АВС. По теореме, обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный. АС его гипотенуза.

F

В

Треугольники ABD и DBC равнобедренные.AD=DC=BD. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Значит, BE=BM, BF=BN. Т. к. Е – середина АВ, то ВЕ=/2 и BF=1. MN=BN-BM=BF-BE=1-/2.

Ответ: 1-/2.

5. Решите уравнение:
.

Решение: Умножим обе части уравнения на (x+1)-(x-1)=2. Воспользуемся формулой разности n-х степеней. Получим (x+1)= (x-1). .

Ответ: x=0.

6. Найти наибольшее значение k, при котором уравнение

ровно три различных корня. РРРР

 

Решение 7 задачи