Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизвестное обычно принимают усилие в затяжке.
Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры Мр и Q0 в основной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры М и Q для балки на двух опорах.
Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону
d = dС cosj,
где dc — высота сечения посредине.
В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:
|
51 |
а) при очертании оси по параболе
б) при очертании оси по окружности
Продолжение табл.
Продолжение табл.
Если делить ось арки на - участки с равными величинами их проекций Δх, то 
и вынося за знак суммы величину EI0, получим в каждом слагаемом множитель
Отношение
52
Таким образом, в продолжение расчетной таблицы войдут величины
для каждого из выбранных сечений.
Если неизвестная горизонтальная реакция в одной из опор направлена внутрь пролета, то сумма величин, входящих в графу 15, даст свободный член канонического уравнения со знаком минус. Сумма величин графы 13 дает величину d1,1.
При проверке сумма величин, подсчитанных в графе 18, для двухшарнирной арки должна быть равна нулю, а для арки с затяжкой величине
Для арки с затяжкой, где неизвестным является усилие в затяжке, необходимо еще учесть деформацию затяжки, работающей на растяжение, т. е. к сумме величин графы 13 надо добавить величину
где Е3 и F3 модуль упругости и площадь сечения затяжки.
В расчете следует принять, что
Итак, для арки - с затяжкой коэффициент при Х1 будет:
Определив неизвестное по формуле |
можно подсчитать ординаты окончательной эпюры М, а также эпюр Q и N, что тоже удобнее проводить в табличной форме.
10. Расчет статически неопределимой фермы
Задание. Для статически неопределимой фермы (рис. 30) с выбранными по шифру из табл. 10 размерами и нагрузкой требуется определить усилия во всех стержнях.
Таблица 10
53
Рис. 30
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 8. При расчете фермы методом сил следует иметь в виду, что при узловом приложении нагрузки в стержнях фермы возникают лишь нормальные усилия, в связи с чем из общей формулы Мора учитывается только член, включающий силы N. Так как усилия, площади поперечных сечений и модули упругости по длине стержня не меняются, то интегрирование сводится к суммированию:
Основную систему удобнее выбрать симметричной — это значительно сократит объем вычислительной работы. Если за неизвестное принято усилие в стержне, то этот стержень не выбрасывается и поэтому усилие в нем должно учитываться в расчете.
При использовании симметрии можно, в расчет включать только половину фермы, однако здесь следует помнить о тех стержнях, которые не имеют парного во второй половине; очевидно, длину таких стержней надо будет уменьшать вдвое.
54
В соответствии с общим порядком расчета статически неопределимых систем методом сил в первую очередь надо определить усилия во всех стержнях основной системы от действия единичной силы (неизвестного) и нагрузки. Дальнейший расчет удобно свести в таблицу:
Здесь за величину F0 удобно принять F. Растягивающие усилия в стержнях должны иметь знак плюс, а сжимающие — минус.
Сумма величин, подсчитанных в графе 7, дает значение коэффициента канонического уравнения EF0d1,1, а в графе 8 — значение свободного члена EF0D1,p.
После подсчета этих величин следует определить значение неизвестного
и затем заполнить последующие графы (9—11). При проверке можно допустить ошибку не более 1—2%.
11. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений
Задание. Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 31) с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагрузим требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных 1 продольных сил.
55
Рис. 31
Таблица 11 |
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение темы 10.
При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устранения мгновенной изменяемости системы, образованной после постановки шарниров во все узлы (включая опорные).
При построении единичных грузовых эпюр моментов используются таблицы реакция, имеющиеся в учебниках.
Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канонических уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость (ЕI1 или ЕI2). Удобно также перейти к погонным жесткостям стержней (i= ЕI1:l). При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками, а также использовать теорему о взаимности реакций. Решением системы канонических уравнений необходимо проверить.
После определения значений неизвестных рекомендуется построить эпюры моментов (MiZi). Суммирование этих эпюр между собой и с грузовой эпюрой дает окончательную эпюру моментов. Суммирование рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно приводить все расчеты.
Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре моментов так же, как и в задаче 7.
Проверку полученных эпюр надо проводить как статическую (равновесие узлов и рамы в целом), так и кинематическую. Для последней проверки необходимо выбрать основную систему метода сил и построить хотя бы одну единичную эпюру, которую следует <умножить> на окончательную эпюру моментов по правилу Верещагина.
57
Рис. 32
12. Расчет плоской рамы на устойчивость
Задание. Для статически неопределимой рамы (рис. 32) с выбранными по шифру из табл. 12 размерами и нагрузкой требуется определить значения критических сил, используя метод перемещений.
Таблица 12
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение тем 18—23.
Все предлагаемые рамы целесообразно решать методом перемещений. Так как внешние нагрузки действуют вдоль стоек, то грузовых эпюр в основной системе не будет и свободные члены канонических уравнений обратятся в нуль.
Построение единичных эпюр для сжатых силами стоек следует проводить по специальным таблицам, а для ригелей — по обычным таблицам метода перемещений. Специальные таблицы, необходимые функции и их значения для метода перемещений можно найти в пособии «Таблицы функций для расчета стержневых систем на устойчивость и колебания», табл. 2 (изд. МИИТ, 1965). Такие же таблицы можно найти и в источниках [13], [15], [16], [17].
Коэффициенты канонических уравнений будут включать в себя некоторые функции jn(ni ) и jm(nk ) от параметров
где Pi и Рk — силы, действующие вдоль стоек hi и hk ; EIi и EIk.— жесткости стоек.
По заданию силы Pi и Pk связаны между собой соотношением, а поэтому и параметры ni и nk окажутся связанными соотношением:
59
Для нахождения Ркр составляется уравнение устойчивости
Это уравнение решается относительно v подбором в такой последовательности: а) задаются значением nk; б) по вычисленному соотношению определяется ni; в) по таблицам находятся значения необходимых коэффициентов (функций jn(ni) и jm(nk)…); r) найденные значения функций подставляются в уравнение устойчивости.
Если данные значения функций не удовлетворяют уравнению устойчивости, то задаются другим значением nk и все вычисления повторяются. Эта операция продолжается до тех пор, пока принятые значения не будут удовлетворять уравнению устойчивости. Тогда по формулам
определяются значения критических сил.
13. Динамический расчет плоской системы
Задание. Для плоской рамы (рис. 33) с размерами и нагрузкой, выбранными по шифру из табл. 13, требуется: I
Таблица 13
Первая цифра шифра | 2 М | Q кН | Вторая цифра шифра | Р кН | Последняя цифра шифра (М схемы) | ЕГ кН-м' |
1 | 2 | 10 | 1 | 1 | 1 | 20000 |
2 | 2,5 | 20 | 2 | 2 | 2 | 25000 |
3 | 3,0 | 22 | 3 | 2,5 | 3 | 22500 |
4 | 2,2 | 18 | 4 | 1,5 | 4 | 22000 |
5 | 2,4 | 25 | 5 | 1,2 | 5 | 23000 |
6 | 2,8 | 24 | 6 | 3 | 6 | 21000 |
7 | 2,1 | 21 | 7 | 1,8 | 7 | 24000 |
8 | 2,3 | 23 | 8 | 1,6 | 8 | 23500 |
9 | 1,8 | 17 | 9 | 2,2 | 9 | 24500 |
0 | 2,6 | 16 | 0 | 2,6 | 0 | 21500 |
1) определить круговую частоту свободных вертикальных и горизонтальных колебаний, приняв раму как систему с двумя степенями свободы (собственный вес системы не учитывается); 60
Рис. 33
2) определить динамическое воздействие вертикальной вибрационной силы Р sin θt: а) принять частоту вертикальной возмущающей силы (θ с-1) равной половине минимальной частоты собственных колебаний, б) определить динамический коэффициент μ, в) построить эпюру изгибающих моментов с учетом динамического действия силы Р.
Методические указания
Решению задачи должно предшествовать изучение тем 24—26.
Для решения задачи необходимо записать «вековое» уравнение для системы с двумя степенями свободы. Оно имеет вид биквадратного уравнения, решение которого даст две собственные частоты (отрицательные значения ω не учитываются). Чтобы найти коэффициенты векового уравнения, надо определить перемещения от единичных сил, приложенных по направлению возможных колебаний массы (m=Q/g) (вертикальному и горизонтальному) δ1,1; δ2,2; δ1,2=δ2,1 (вращение груза относительно центра его массы не учитывается).
Возможные перемещения массы (вертикальное и горизонтальное) качественно определяют две формы колебаний с частотами ω1 и ω2. При этом низшей (основной) частоте соответствует та форма колебаний, для которой δi, i больше, т. е. рама менее жестка.
Например, при решении векового уравнения получены частоты:
ω1 = 55 c-1 и ω2=700 c-1, а перемещения от единичной вертикальной силы δ1,1=0,56/EI и от горизонтальной силы δ2,2=80/EI. Это означает, что наименьшая частота ω1=55 c-1 соответствует горизонтальной форме колебаний.
При определении динамического воздействия вертикальной вибрационной силы заданную раму рассматривают как одномассовую систему с одной (вертикальной) степенью свободы.
Динамический коэффициент определяется по формуле
где w — частота свободных вертикальных колебаний груза Q; U= 0,5wi; wi — низшая частота свободных колебаний.
Эпюра изгибающих моментов с учетом динамического воздействия вибрационной силы PsinUt, т. е. от вертикальной сосредоточенной нагрузки Q+mP, легко строится с использованием имеющейся эпюры от единичной вертикальной силы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение. …………….................................................................. 3
Общие методические указания …………………………………… 3
Литература.............................................................. ……………....... 5
Методические указания к темам курса.................. ……………….. 6
Введение и основные понятия............................... ……………….. 6
Часть I. Статически определимые стержневые системы ……… 8
Часть II. Статически неопределимые стержневые системы….. 16
Часть III. Основы расчета пространственных тонкостенных
систем …………………………………………………... 25
Часть IV. Устойчивость и динамика сооружений.................... 26
Контрольные задания.............................................. ………………. 31
Задачи........................................................................ ……………… 32
Михаил Николаевич Митропольский
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Методические указания и контрольные задания
Зав. редакцией . Редактор . Младший редактор
. Художественный редактор . Технический редактор . Корректор
Н/К
Изд. № УМО—6601. Сдано в набор 16.10.81. Подп. в печать 25.02.82. Формат 84Х1081/32. Бум. тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 3.36 усл. печ. л., 3,36 усл. кр.-отт., 3,64 уч.-изд. л. Тиражэкз. Зак. № 000. Цена 10 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии я княжной торговля, Хохловский пер., 7.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
