Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
РАСЧЁТ СТЕРЖНЕЙ
НА КРУЧЕНИЕ И ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Методические указания
к выполнению контрольной работы 2
по курсу «Сопротивление материалов» для студентов
специальностей 151001.65, 240801.65, 260601.65
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2009
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При кручении вала в его сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Мк. Крутящие моменты определяются по внешним закручивающие моментам с помощью метода сечений. Вал делится на участки, границами которых служат сечения, в которых либо приложены внешние закручивающие моменты, либо изменяется жесткость вала на кручение – GJP. Крутящий момент в поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме всех внешних закручивающих моментов расположенных либо с одной, либо с другой стороны от сечения. Внешний закручивающий момент считается положительным, если он вращает участок вала против часовой стрелки вокруг оси вала, если смотреть на него со стороны сечения. В сечениях вала возникают касательные напряжения t, которые неравномерно распределяются по сечению. Наибольшего значения касательные напряжения достигают на поверхности вала. Эти максимальные напряжения входят в условие прочности, из которого определяются размеры поперечного сечения вала. Для определения жесткости вала находятся углы поворота сечений вала и строится их эпюра.
В конструкциях имеется много элементов типа балок, испытывающих деформацию плоского поперечного изгиба, когда все внешние силы и реакции опор лежат в плоскости симметрии балки, проходящей через ось балки. Действующие на балку нагрузки разделяются на сосредоточенные силы F, H, сосредоточенные моменты m, Нм, распределённые нагрузки интенсивностью q, Н/м. Балки крепятся к опорам, которые бывают шарнирно-подвижными – рис. 1, а, шарнирно-неподвижными – рис. 1, б и жестко защемленные –
рис. 1, в.
Для расчёта балок на прочность необходимо найти опасное сечение, в котором внутренние силовые факторы: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy принимают достаточно большие или одновременно максимальные значения
Рис. 1.
Для нахождения опасного сечения строят эпюры (графики распределения по длине балки) внутренних силовых факторов Мх и Qy. Для вычисления Мх и Qy используется метод сечений. Балка делится на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, а так же сечения, где начинаются и заканчиваются распределённые нагрузки. Затем отбрасывается одна часть балки – более сложная и рассматривается равновесие другой части – более простой. В сечении прикладывается изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy. Изгибающий момент Мх направляется таким образом, чтобы растягивать нижние волокна балки, а поперечная сила Qy направляется так, чтобы она стремилась повернуть элемент балки по часовой стрелке. Составляем два уравнения равновесия статики: сумма проекций всех сил на ось, перпендикулярную оси балки равна нулю и сумма всех моментов и моментов всех сил относительно центра тяжести проведенного сечения равна нулю. Из этих уравнений находим значения изгибающего момента Мх и поперечной силы Qy и строим их эпюры.
РАСЧЕТ ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ
К стальному валу, изготовленному из материала с модулем сдвига G = 0,8 · 105 МПа, участки которого имеют круглое и кольцевое поперечные сечения, приложены закручивающие моменты: m1 и m2 (рис. 2, а).
Требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов МК.
2. Из условия прочности по допускаемым касательным напряжениям [t] = 80 МПа определить размеры поперечных сечений вала.
3. Округлить размеры найденных наружных диаметров участков вала до следующей ближайшей большей величины: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 60 мм и так далее с шагом 10 мм;
4. Построить эпюру углов поворота сечений вала α;
5. Заменить закручивающий момент на свободном конце вала на жесткую заделку.
6. Для полученной конструкции при определенных ранее размерах поперечных сечений вала построить эпюру крутящих моментов МК и эпюру углов поворота сечений вала α.
 |
Обозначим и найдем реактивный момент mА, возникающий в опоре А.
Ось вала обозначим через z (рис. 2, б).
Из уравнения равновесия статики:
∑ z = 0; mА - m1 + m2 = 0; mА = m1 - m2 == 20 кНм.
Разделим вал на три участка I, II, III и используем метод сечений. Найдем крутящие моменты на участках вала:
на участке АВ МК1 = mА = 20 кНм;
на участке ВC МК2 = mА = 20 кНм;
на участке CE МК3 = - m2 = -5 кНм.
Построим эпюру крутящих моментов МК (рис. 2, в). Следует иметь в виду, что в сечении, в котором к валу приложен внешний закручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.
Определим размеры поперечных сечений вала из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении имеет вид
где: МКmax, кНм – максимальный крутящий момент; Wp, м3 – полярный момент сопротивления поперечного сечения; [t], МПа – допускаемое касательное напряжение.
Отсюда
.
На участке АВ требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения:
Так как на этом участке вал имеет кольцевое поперечное сечение, то
WP1 = π · D3 · (1 – d4 / D4) / 16 ≈ 0,2 · D3 · (1 – d4 / D4).
Дано, что D / d = 1,5, то WP1 ≈ 0,2 · D3 · (1 – 1 / 1,54) = 0.1605 · D3.
Приравниваем это выражение требуемому полярному моменту сопротивления
0,1605 · D3 = 0,25 · 10-3.
Откуда
.
Округляем до значения D = 130 мм. d = D / 1,5 = 130 / 1,5 = 86,7 мм.
На участке ВС требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения:
Так как на участке BC вал имеет круглое поперечное сечение, то
WP2 = π · d13 / 16 ≈ 0,2 · d13.
Приравниваем это выражение требуемому полярному моменту сопротивления
0,2 · d13 = 0,25 · 10-3 .
Откуда
.
Округляем до значения d1 = 110 мм.
На участке СE требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения:
Так как на участке CE вал имеет круглое поперечное сечение, то
WP3 = π · d23 / 16 ≈ 0,2 × d23.
Приравниваем это выражение требуемому полярному моменту сопротивления
0,2 · d23 = 0,0625 · 10-3.
Откуда
.
Округляем до значения d2 = 70 мм.
Для построения эпюры углов поворота сечений вала α найдем углы закручивания участков вала по формуле
,
где: Мк, кНм – крутящий момент на рассматриваемом участке; ℓ, м – длина участка вала; G, МПа – модуль сдвига материала; Jp, м4 – полярный момент инерции поперечного сечения вала на рассматриваемом участке.
Вначале найдем жесткости на кручение – GJP, Нм2 участков вала.
На участке АВ
GJP1 = G · 0,1 · D4 · ( 1 – d4 / D4 ) =
= 0,8 · 1011 · 0,1 · 0,134 · (1 – 0,8674 / 0,134 ) = 1833,62 · 103.
На участке ВC
GJP2 = G · 0,1 · d14 = 0,8 · 1011 · 0,1 · 0,114 = 1172,28.
На участке CE
GJP3 = G · 0,1 · d24 = 0,8 · 1011 · 0,1 · 0,074 = 192,08.
Тогда
Определим углы поворота сечений вала. В опоре αА = 0.
αВ = αА + φ1 = 0 + 0,218 · 10-2 = 0,218 · 10-2 рад.
αС = αВ + φ2 = 0,218 · 10-2 + 0,341 · 10-2 = 0,559 ·10-2 рад.
αЕ = αС + φ3 = 0,559 · 10-2 – 1,041 · 10-2 = -0,482 · 10-2 рад.
По полученным данным строим эпюру углов поворота сечений вала α (рис. 2, г). Заменим закручивающий момент на свободном конце вала на жесткую заделку (рис. 3, а). Так как в опорах А и Е возникают два опорных реактивных момента mА и mЕ, а уравнение равновесия статики ∑ z = 0 одно, то конструкция является статически неопределимой. Для ее расчета мысленно отбросим опору Е, а реактивный момент mА заменим неизвестным пока моментом Х, который будем искать (рис. 3, б).
Из уравнения равновесия статики ∑ z = 0, получим
mА - m1 + Х = 0; mА = m1 - Х = 25 - Х кНм.
Разделим вал на три участка и используем метод сечений. Найдем крутящие моменты на участках вала:
на участке АВ МК1 = mА = 25 - Х кНм,
на участке ВC МК2 = mА = 25 - Х кНм,
на участке CE МК3 = - m2 = - Х кНм.
Построим эпюру крутящих моментов МК (рис. 3, в).
Найдем углы закручивания участков вала.
Определим углы поворота сечений вала. В опоре αА = 0.
αВ = αА + φ1 = φ1;
αС = αВ + φ2 = φ1 + φ2;
αЕ = αС + φ3 = φ1 + φ2 + φ3.
Так как в сечении Е вала находится опора, то αЕ = 0. Получаем дополнительное уравнение (к уравнению равновесия), которое называется уравнением перемещений.
φ1 + φ2 + φ3 = 0.
Подставляем в это уравнение выражения для углов закручивания участков вала.
13,6342 – 0,5454 · Х + 21,3260 – 0,8530 · Х – 10,4123 · Х = 0.
11,8103 · Х = 34,96024; Х = 2,96 кНм.
Найдем крутящие моменты на участках вала
на участке АВ МК1 = 25 - Х =,96 = 22,04 кНм.
на участке ВC МК2 = 25 - Х =,96 = 22,04 кНм.
на участке CE МК3 = - Х = - 2,96 кНм.
Найдем углы закручивания участков вала.
Определим углы поворота сечений вала. В опоре αА = 0.
αВ = αА + φ1 = 0 + 0,240 · 10-2 = 0,240 · 10-2 рад.
αС = αВ + φ2 = 0,240 · 10-2 + 0,376 · 10-2 = 0,616 · 10-2 рад.
αЕ = αС + φ3 = 0,616 · 10-2 – 0,616 · 10-2 = 0 рад.
Так как в сечении Е вала находится опора, то задача решена правильно.
По полученным данным строим эпюру углов поворота сечений вала α
(рис. 3, г).
РАСЧЕТ БАЛКИ НА ИЗГИБ
Для стальной балки, изображенной на рис. 4, требуется:
1. Построить эпюры поперечной силы QУ и изгибающего момента МХ.
2. Подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям поперечные сечения в виде круга, квадрата, двутавра и двух швеллеров. Стенки двутавра и двух швеллеров параллельны действующей нагрузке.
3. Сравнить принятые сечения балок по экономичности.
4. Подобрать из условия прочности по допускаемым напряжениям поперечное сечение в виде сложной фигуры.
Определим опорные реакции. В шарнирно-неподвижной опоре А возникают две составляющих реакции – вертикальная RA и горизонтальная НА. В шарнирно-подвижной опоре В – одна вертикальная реакция RВ. Для определения трёх неизвестных реакций имеем три уравнения равновесия:
; 
; (1)
; 
; (2)
; HА = 0.
Из уравнения (1)
Из уравнения (2)
Для проверки правильности нахождения реакций используем уравнение:
.
Опорные реакции найдены верно.
Разбиваем конструкцию балки на участки I, II, III, IV и используем метод сечений.
Найдем значения поперечных сил QY(z) и изгибающих моментов МX(z) на участках балки и построим их эпюры.
Проводим сечение 1-1 в пределах участка I на расстоянии 
от точки А (рис. 4, а). Сечение проводится в произвольном месте участка I, но только не по его граничным точкам А и D. Координата при этом изменяется от 0 до 
, то есть 0 £ ≤ = 4 м. Отбросим правую часть балки и рассмотрим равновесие левой – более простой части балки.
Участок I (рис. 5, а): 
м.
; 
; 
.
Это линейная функция, то есть зависимость 
от описывается прямой линией – такой вид будет иметь эпюра Qy на участке I. Для построения прямой достаточно найти её значение в двух точках, например, в точке А при = 0 и в точке D при = , то есть на границах участка:
кН;
кН.
По полученным значениям строим эпюру Qy на участке I (рис. 4, б).
; 
;
;
Это квадратичная функция, то есть зависимость 
от описывается параболой – такой вид будет иметь эпюра Мx на участке I. Для построения параболы необходимо иметь, как минимум, значения функции Мx(z1) в трёх точках (в двух граничных точках А и D):
;
и в какой-либо третьей точке. Если эпюра Qy на рассматриваемом участке не пересекает ось, то есть эпюра Мx не имеет экстремума на этом участке, то в качестве третьей точки принимается любая точка участка, обычно середина. Если эпюра Qy пересекает ось, как это имеет место в нашем примере, то есть
на участке I, то в качестве третьей точки выбирается координата 
сечения, в котором 
имеет экстремум (так как Qy(z1) меняет знак с + на –, то это будет максимум). Координату 
определим, приравнивая выражение для Qy(z1) нулю при 
, 
м.
Определяем значение в третьей точке при =2,45 м
кНм.
По найденным значениям в трёх точках строим эпюру Мx на участке I (рис. 4, в).
Проводим сечение в пределах участка II (рис. 4, а), совместив начало отсчета с началом участка II.
Участок II (рис. 5, б): 
м.
; 
; 
кН.
Во всех сечениях второго участка 
=const, так как не зависит от 
, и эпюра Qy изобразится прямой линией, параллельной оси балки (рис. 4, б).
;
;
.
Зависимость 
линейная, и для построения эпюры Мx на втором участке находим две точки.
кНм;
кНм.
Cтроим эпюру Мx на участке II (рис. 4, в).
Участок III проще рассматривать справа, отбрасывая левую часть балки (рис. 4, а).
Участок III (рис. 5, в): 
м.
; 
; 
кН.
Cтроим эпюру Qy на участке III (рис. 4, б).
;
;
.
Зависимость 
линейная, поэтому эпюру Мx на участке III представляем прямой линией, проведенной через две точки (рис. 4, в).
кНм;
кНм.
Участок IV также удобно рассматривать, отбросив часть балки слева от сечения, проведённого в пределах IV участка на расстоянии z4 от точки Е (рис. 4, а).
Участок IV (рис. 5, г): 
м.
; 
; 
кН.
Cтроим эпюру Qy на участке IV (рис. 4, б).
;
;
.
Зависимость 
линейная, поэтому эпюру Мx на участке IV представляем прямой линией, проведенной через две точки (рис. 4, в).
;
кНм.
1. Подберем поперечные сечения балки в виде круга, квадрата, двутавра и двух швеллеров.
Поперечные сечения балки подбираются из условия прочности по нормальным напряжениям, которое имеет следующий вид:
,
где: Мmax, кНм – максимальный изгибающий момент (по эпюре Мx находим, что 
= 46 кНм); Wx, м3 – осевой момент сопротивления поперечного сечения; [σ], МПа – допускаемое нормальное напряжение ([σ] = 160 МПа).
Из этого соотношения требуемый осевой момент сопротивления сечения равен:
. (3)
Подберём круглое поперечного сечение.
Осевой момент сопротивления круга
. (4)
Приравниваем правые части формул (3) и (4)
.
Откуда диаметр поперечного сечения балки
м.
Округлим полученную величину диаметра балки до ближайшего большего значения по стандартному ряду d = 0,150 м = 15 см.
Площадь круга
см2.
Подберём квадратное поперечное сечение.
Осевой момент сопротивления квадрата
. (5)
Приравниваем правые части формул (3) и (5)
.
Откуда сторона квадрата поперечного сечения балки
м.
Округлим полученную величину стороны квадрата до ближайшего большего значения по стандартному ряду b = 0,12 м = 12 см.
Площадь квадрата
см2.
Подберём двутавровое поперечное сечение балки.
По сортаменту (ГОСТ 8239-89) выбираем двутавр № 22 с осевым моментом сопротивления 
= 232 см3 меньшим, чем требуемый.
Проверяем осевой момент сопротивления принятого сечения на процент расхождения с требуемым осевым моментом сопротивления
.
Полученный процент расхождения 23,9 % больше допускаемого 5 %, следовательно двутавр № 22 не подходит.
Принимаем двутавр № 24 с осевым моментом сопротивления = 289 см3 и площадью поперечного сечения Адв = 24,8 см2. Этот двутавр на процент расхождения не проверяем.
Подберём поперечное сечение балки, состоящее из двух швеллеров.
Требуемый момент сопротивления одного швеллера
. (6)
По сортаменту (ГОСТ 8240-89) выбираем швеллер № 18а с осевым моментом сопротивления = 132 см3 и площадью поперечного сечения
Ашв = 22,2 см2.
Проверяем принятое сечение
.
Полученный процент расхождения 8,9 % больше допускаемого 5 %, следовательно швеллер № 18а не подходит.
Принимаем швеллер № 20 с = 152 см3 и Адв = 23,4 см2. Этот швеллер не проверяем.
Площадь поперечного сечения двух швеллеров
А2шв = 23,4 · 2 = 46,8 см2
Сравним принятые сечения балок по экономичности.
Так как Адв < А2шв < Акв < Акр, следовательно, двутавровое поперечное сечение балки наиболее экономичное.
Подберем размеры сложного поперечного сечения в виде сложной фигуры, изображенной на рис. 6, а.
Момент сопротивления сложной фигуры
, (7)
где 
, м4 – осевой момент инерции сложной фигуры, ymax, м – расстояние от нейтральной оси сложного сечения до самого удаленного волокна в сечении.
Разобьем сложную фигуру на простейшие плоские фигуры I, II, III и IV, центры тяжести которых известны. Тогда осевой момент инерции сложной фигуры
. (8)
Центр тяжести фигуры I лежит на оси x, следовательно, осевой момент инерции этой фигуры
.
Центры тяжести фигур II и III лежат на оси x, следовательно моменты инерции этих фигур
.
Центры тяжести фигур IV и V находятся на расстоянии yкр от оси x.
.
Момент инерции полукруга относительно своей собственной главной центральной оси x4
.
Площадь полукруга
.
Тогда
.
По формуле (8)
.
По формуле (7)
. (9)
Приравняем между собой правые части уравнений (3) и (9)
.
Откуда
см.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию
кручения?
2. Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого вала при кручении? Как они определяются?
3. Как подбирается диаметр вала при кручении из условий прочности и жесткости?
4. Как определяются Qy и Мx в любом сечении балки?
5. Что называется эпюрами Qy и Мx?
6. Как находят максимальный изгибающий момент Мx max?
7. По какой формуле проводят подбор сечений балок при изгибе?
8. Можно ли подбирать сечения балок с моментом сопротивления, меньшим, чем требуемый?
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров материалов: учебник для вузов / , , ; под ред. . – 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2007. – 560 с.
2. Вольмир материалов / , ; под ред. . – М.: Высш. шк., 2007 . – 412 с.
3. Гильман материалов: учеб. пособие / . – Саратов: СГТУ, 2003. – 108 с.
4. Костенко материалов: учеб. пособие / , ; под ред. . – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2007. – 488 с.
5. Феодосьев материалов: учебник / . – 13-е изд., стер. – М.: Изд-во МГТУ им. , 2005. – 592 с.
6. ГОСТ 8240-89. Сталь горячекатанная. Швеллеры. Сортамент // Сортамент черных металлов. Прокат и калибровочная сталь. – М.: Изд-во стандартов, 1990.
7. ГОСТ 8239-89. Сталь горячекаменная. Двутавры. Сортамент // Сортамент черных металлов. Прокат и калибровочная сталь. – М.: Изд-во стандартов, 1990.
РАСЧЁТ СТЕРЖНЕЙ
НА КРУЧЕНИЕ И ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Методические указания
к выполнению контрольной работы 2
Составили: ГИЛЬМАН Александр Абрамович
ПОПОВА Наталья Евгеньевна
Рецензент
Корректор
Подписано в печать Формат 60х84 1/16
Бум. офсет. Усл. печ. л. Уч.-изд. л
Тираж 100 экз. Заказ Бесплатно
Саратовский государственный технический университет
Саратов, Политехническая ул., 77
Отпечатано в РИЦ СГТУ. Саратов, Политехническая ул., 77
