Изучение старинных задач

Муниципальное автономное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №38

Октябрьского района городского округа

город Уфа Республики Башкортостан

Изучение старинных задач

Авторы: Тухватуллин Тимур

Ринатович,

,

ученики 6а класса МАОУ СОШ №38

Октябрьского района г. Уфа РБ

Научный руководитель: ,

учитель математики, МАОУ СОШ №38

Октябрьского района г. Уфа РБ

Уфа

2012

Содержание

Введение ……………………………………………………………

1.  История математики некоторых стран………………….

1.1 Древний Вавилон

1.2 Древний Египет

1.3 Древний Китай

1.4 Древняя Индия

1.5 и его задачи

2.  Задачи Древнего мира ………………………………………

3.  Задачи из древних книг……………………………………...

4.  Старинные русские задачи…………………………………..

5.  Как это могло быть…………………………………………..

Заключение………………………………………………………….

Список используемой литературы…………………………………

Введение

Существует множество старинных задач, которые предоставляют замечательную возможность проследить за развитием математической мысли с древнейших времен. Некоторые задачи связаны с именами писателей, ученых в различных областях науки, поэтому мы решили исследовать эту проблему и узнать какие задачи были ими составлены.

1  История математики некоторых стран

1.1  Древний Вавилон

В древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток с клинописны­ми надписями, хранятся в различных музеях мира, в том числе в ленинградском Эрмитаже и московском Музее изобразительных искусств. Найдено сорок четыре глиняных таблицы — своеобразная математическая энциклопедия древних вавилонян. В них даны достаточно удобные способы решения ряда практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей.

Научные достижения древних вавилонян заключаются в следующем:

Вавилоняне были основоположниками астрономии. Полученные ими данные о продолжительности основных циклов и периодов в планетной системе обладают довольно большой точностью, так, например, вавилонский лунный месяц, отличается от принятого современной астрономией, всего лишь на 0.4 сек.

Вавилоняне создали шестидесятеричную систему счисления, в основе которой лежало не чисто 10, как у нас, а число 60. Они создали систему мер и весов, в которой каждая последующая мера больше предыдущей в 60 раз. Отсюда ведет начало наше деление, мер времени — часа, минуты, секунды — на 60 частей, круга - на 360°.

Вавилоняне решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третьей степени, причем последние — при помощи специальных таблиц.

Есть основания предполагать, что математика древних вавилонян оказала влияние на математическую культуру закавказских народов, в особенности, на армянскую, содействовав её исключительно раннему рассвету.

1.2  Древний Египет

Вторым после Вавилона культурным центром глубокой древности был Египет. В этой «стране пирамид» за много тысяч лет до нашей эры возводились гигантские сооружения в виде храмов и пирамид. Некоторые из этих памятников сохранились до настоящего времени. Различные строительные работы, а также земледелие, основанное на искусственном орошении, рано вызвали потребность в математических познаниях и особенно в геометрии.

Математические правила, нужны для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмах или на «папирусах», лентообразных свитках из особого писчего материала растительного происхождения.

В Британском музее хранится так называемый «папирус Райнда», расшифрованный профессором А. Эйзенлором в 1877 году.

Рукопись относится к периоду 2лет до нашей эры. В ней содержится 84 задачи, причём большинство из них арифметического характера.

Оказывается, как показала расшифровка папирусов, египтяне ещё четыре тысячи лет назад решили ряд практических задач по арифметике, алгебре, геометрии, причём в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями.

1.3  Древний Китай

Китайская культура, включая и математику, древнего происхождения. Ее истоки уходят в седую старину. Многие важнейшие открытия в науке и технике, сделанные китайскими учеными, значительно опередили открытия в других странах, а также в странах Западной Европы.

В Китае родилась описательная астрономия. Свои наблюдения китайские астрономы проводили в специально оборудованных помещениях, называемых обсерваториями, оснащен­ных остроумными приборами собственного изготовления. Древним памятником китайской астрономии настоящее время является Пекинская обсерватория с ее старинным оборудованием, построенная на окраине города Пекина в 1279 году.

Много сделали древнекитайские ученые области математики. Особенно большой вклад они внесли в решение наиболее тонких во­просов арифметики и алгебры, т. е. науки, изучающей действия над величинами, выраженным буквами, независимо от числового значения для этих величин.

Впервые в истории мировой техники китайскими учеными изоб­ретен компас (111 до н. э.), сейсмограф (II) и спидометр. Задолго до европейцев китайский народ научился изготовлять селитру для получения пороха (X). Еще в VII пеке до нашей эры китайские умельцы из народа владели секретом производства фарфора. Извест­но также, что Китай — родина первого шелка, замечательных краси­телей и лаков. В XI веке кузнец Ки Шеи изобрел книгопечатание подвижными буквами (литерами), которое по идее мало чем отли­чается от современного.

Существует древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах», который был составлен еще до начала нашей эры. Этот трактат сыграл большую роль в развитии древней матема­тики в Китае и долгое время был обязательным пособием для под­готовки к экзаменам по математике. Трактат представляет собой своеобразную справочную книгу (энциклопедию) для людей раз­личных профессий, включая землемеров, астрономов, чиновников различных ведомств. Трактат состоит из задач и правил к этим зада­чам, имеющим прикладное значение.

В древнем Китае вычисления производились на счетной доске, где числа изображались с помощью счетных палочек. Термин «уста­нови» (фу чжи) употреблялся в том смысле, что данные количества надо расположить на счетной доске, а затем уже применять к ним действия согласно указанному выше правилу. К сожалению, в трак­тате нет описания счетной доски и не даются правила четырех арифметических математических действий: сложения, вычитания, умножения, деления. По-видимому, все это считалось в то время широко известным.

1.4  Древняя Индия

Индия имеет большую и богатую самобытную культуру, истоки которой уходят в седую древность. Много тысяч лет тому назад, еще до нашей эры, в Индии строились оросительные каналы, городские водосточные системы, строились многоэтажные здания из хорошо обожженного кирпича. В далеком прошлом индийцы владели искус­ством керамического производства (производство изделий из обож­женной глины), умело пользовались гончарным кругом, успешно раз­вивали ювелирное дело (изготовление изделий из драгоценных кам­ней и металлов).

Еще в глубокой древности в Индии были накоплены большие знания в области грамматики, астрономии и других наук.

Наибольших успехов индийские ученые достигли в области ма­тематики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греческих ученых. Достижения индийских ученых в области арифметики и алгебры оказали сильное влияние на развитие восточной, а затем и европейской математики.

Величайшим достижением древнеиндийской математики явля­ется прежде всего открытие позиционной системы счисления, со­стоящей из десяти индийских цифр, включая и знак нуль, называе­мый го индийские «сунья», что дословно означает «ничто». Интересно заметить, что в первоначальном начертании нуль изображался точ­кой и лишь спустя много веков — в виде маленького кружка. Кто первый из индийских ученых стал употреблять десятичную систему, неизвестно. Однако есть основание думать, что эта система была изобретена в начале I века нашей эры. Что касается первого употребления знака нуля, то этот замечательный факт относится «о II веку нашей эры.

Наиболее известными индийскими математиками являются Ариабхата (конец I в), Брамагупта (VII) и Бха­скара (XII).

Индийские математики далекого прошлого любили состязаться на публичных народных собраниях. По этому поводу один индий­ский автор VII века, заканчивая свою книгу, писал: «Подобно тому как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая народных со­браниях математические задачи».

1.5  и его задачи

Талантливые люди талантливы во всём. Великий русский писатель и философ Лев Николаевич Толстой занимался педагогической деятельностью, работал по собственной методике и придерживался в преподавании определённых принципов.

В 1859 году в своём имении в Ясной поляне Л. Толстой открыл школу для крестьянских детей. Эта школа стала одной из первых народных школ. Лев Николаевич преподавал историю и математику. В 1960-е годы Л. Толстой решил оставить литературу, жить в деревне и серьёзно занялся процессом образования. Он изучал методы преподавания в России и за рубежом, а свои наблюдения публиковал в педагогическом журнале «Ясная Поляна».

После первого педагогического опыта Л. Толстой понял, что крестьянам не нужно полное школьное образование, достаточно лишь письма и счёта. А после поездок за границу Л. Толстой увлёкся идеями «свободного воспитания» французского просветителя Жана-Жака Руссо. Руссо считал, что ребёнок не нуждается в опеке, а лучшими средствами воспитания является свобода и жизнь на лоне природы, вдалеке от цивилизации, которая негативно влияет на развитие личности. Толстой считал, что ребёнок рождается идеальным, а воспитание пагубно сказывается на его характере. Необходимо предоставить ребёнку свободу для саморазвития. Л. Толстой понял, что следует учитывать индивидуальные особенности ребёнка, обращать внимание на его интересы и творческие способности.

Л. Толстой выпустил несколько выпусков «Азбуки», которые содержали и сведения по арифметике. А в 1874 году вышла «Арифметика». В книге содержались методические указания для учителя. Писатель критически относился к используемым методам преподавания арифметики в школе и настаивал на реформировании школы. Он был против размещения в учебниках усложненных задач и громоздких правил. Л. Толстой с удовольствием придумывал условия к задачам и нередко предлагал наиболее интересные своим гостям.

2  Задачи Древнего мира

1.  Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (Китай, II в.)

Решение:

1 способ.

Пусть x – весь путь, тогда - скорость утки, - скорость гуся, путь, который они вдвоем преодолеют за 1 день

Тогда они встретятся через

x : =дня = 3 дня = 3 дня 22,5 часов = 3 дня 22 ч 30 мин.

2 способ.

Утка 7 дня 9раз 63 дня. Гусь 9 дня 7раз 63 дня.

1)7+9 =16 раз;

2) 63:16 = 3 дней.

3 способ.

1) 1:7=пути утка за 1 день;

2) 1:9=пути гусь за 1 день;

3) общий путь;

4) 1:= дней =3 дня.

Ответ: через 3 дней

2.  Некто взял из сокровищницы . Из того, что осталось, другой взял . Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?

(Из Акмимского папируса, VI в.)

Решение:

1)1-=(ч) сокровищ осталось;

2)- 1/17 = (ч) сокровищ осталось;

cоставляет 191

3)191:191•221=221.

Ответ: первоначально было 221 сокровищ.

3.  Приходит пастух с 70 быками.

Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

- Я привожу две трети от трети скота. Сочти,

сколько быков в стаде?

(Из папируса Ахмеса, Египет, около 2000 лет до н. э.)

Решение:

1) 70 • 3: 2 = 105 (б.) – составляет треть всего стада.

2) 105 • 3 = 315 (б.)

Ответ: 315 быков.

4.  Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха – за 5ч, а слонёнок – за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро? (Брахмагупта, Индия, около 600 г.)

Решение:

Слон - 1 озеро 3ч

10 озёр 30ч

Слониха - 1 озеро 5ч

6 озёр 30 ч.

Слонёнок – 1 озеро 6ч

5 озёр 30 ч.

НОК(3,5,6)=30

1)10+6+5=21(озеро) выпьют слон, слониха и слонёнок за 30часов;

2)30:21=1 (ч) они вместе выпьют озеро.

Ответ: 1 часа.

5.  В клетке находится неизвестное число

фазанов и кроликов. Известно только то,

что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги.

Требуется найти число

фазанов и число

кроликов. (Китай)

Решение:

Китайцы решали эту задачу так:

«Если бы в клетке были только

одни фазаны, то число их ног было

бы 70, а не 94. Таким образом, 24 ноги, которые оказались лишними, принадлежат кроликам – по две ноги на каждого. Откуда заключаем, что кроликов было 12, а фазанов 23»

Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

6.  МУДРОСТЬ МАНДАРИНА

То, что здесь будет рассказано, произошло в Китае. Один из провинциальных китайских мандаринов, благодаря своему необыкновенному уму и способностям, а также и той популярности, которой он пользовался среди народа, возбудил сильную зависть к себе других знатных китайцев. Зависть скоро перешла в злейшую ненависть - интригам и козням не было конца. В результате, как это часто бывает, умный и добрый мандарин сначала впал в немилость императора, а потом, благодаря проискам врагов, был отдан под суд, причём судьями, конечно, оказались злейшие враги мандарина, которые в то время ничего не желали так сильно, как только его скорейшей смерти. Само собой разумеется, вынести смертный приговор ничего не стоило, но... объявить его публично, в присутствии того народа, который так искренне был привязан к своему правителю - на это они не могли решиться.

А потому они заранее решили между собой, что на заседании, в день, назначенный для суда над мандарином, они объявят приговор приблизительно в такой форме:

"Так как мы, товарищи подсудимого, не желаем брать на свою совесть ответственность перед великим Буддой за жизнь подсудимого, и так как, всё-таки, обвинения, предъявленные ему, остаются не опровергнутыми, а отчасти и доказанными, то мы, судьи, назначенные сюда по повелению самого императора, постановили предоставить самой судьбе решить участь подсудимого. В каждую из этих двух урн мы кладём по свёрнутой записке, на одной из которых написано слово "жизнь", а на другой - "смерть", и предоставляем подсудимому право самому вынуть любую из этих записок и тем самым назначить себе приговор".

Такова должна была быть внешняя сторона дела. На самом же деле коварные судьи решили на обеих записках написать слово "смерть" и, таким образом, участь несчастного мандарина была предрешена заранее.

По счастливой случайности адвокату, который был назначен защищать на суде мандарина, удалось узнать о коварном плане судей. Конечно, самое лучшее, что он мог бы теперь сделать - это вывести судей на чистую воду, уличив их во время суда в подлоге. Но... для адвоката это было бы равносильно самоубийству, а потому он ограничился только тем, что накануне дня суда сообщил подсудимому о том, что ему удалось узнать.

Казалось бы, обстоятельства сложились как нельзя плохо, и придумать что-нибудь для того, чтобы предотвратить неминуемую гибель подсудимого, было невозможно... Но, как уже было сказано, мандарин был очень умным человеком. Проведя всю ночь перед судом в размышлении и взвесив все обстоятельства, он нашёл, наконец, верное средство для того, чтобы спасти свою жизнь, даже не уличая судей в их замысле и не показывая виду, что он раскрыл их план.

Настал день суда. Публики было видимо-невидимо. Ещё бы! Судят ведь того, кто так много сделал для народа! Судьи объявили приговор в той форме, которая была приведена выше, опустили в каждую из двух урн по заранее приготовленной записке и с нетерпением ожидали известного им заранее приговора.

Подсудимый уверенно подошёл к судейскому столу, сунул без всякого колебания руку в одну из урн, вытащил оттуда свёрнутую записку и...

Как вы думаете, что же он сделал?

Решение:

Подсудимый, не долго думая, отправил вынутую записку в рот и... проглотил её. На удивлённые возгласы судей он спокойно ответил: - Моя судьба - теперь внутри меня! Если же вы хотите знать, какова она, то не угодно ли взять оставшуюся записку и посмотреть, что там написано. Если вы увидите там "жизнь", то я готов к смерти; если же там написано "смерть", то я имею право вернуться к прежней своей жизни! Судьи, придя в себя от изумления, поняли, что они одурачены и что все их планы пошли прахом. И лишь для того, чтобы не выдать себя с головой всем присутствующим, один из них вынул из урны

оставшуюся записку и упавшим голосом прочитал (вы уже знаете, что) - Смерть! Неистовый восторг публики был ответом на это страшное слово, которое на этот раз должно быть понимаемо как "жизнь". Так иногда человек, способный правильно мыслить и учитывать не только те шансы, которые за него, но и те, которые всецело против него, может найти выход из безвыходного, казалось бы, положения.

7.  Некто, умирая, завещал: « Если у моей жены родится сын, то пусть ему будет 2/3 имения, а жене – остальная часть. Если же родится дочь, то ей 1/3, а жене 2/3». Родилась двойня – сын и дочь. Как же разделить имение? (Древнеримская задача, IIв.)

Решение: Cын должен получить в два раза больше жены, жена – в 2 раза больше дочери. Имение следовало разделить между сыном, женой и дочерью прямо пропорционально числам 4, 2, 1.

3 Задачи из старинных книг.

1.  Лошадь съедает воз сено за месяц, коза - за два месяца, овца - за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена? (Из «Арифметики» Магницкого, Россия, XVIII в.)

Решение:

Лошадь - 1 воз - 1 месяц,

6 возов - 6месяцев;

Коза - 1 воз - 2 месяца,

3 воза - 6 месяцев;

Овца - 1 воз - 3 месяца,

4 воза - 6 месяцев.

НОК(1,2,3)=6

1)6+3+4=11(возов) лошадь,

коза и овца за 6 мес.,

2)6 : 11=(месяца) они

съедят 1 воз.

Ответ: месяца.

2.  Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина, отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду? (Книга «1001 ночь»)

Решение:

1 способ:

1) (ч) осталась

2) (ч) осталась

3) (ч) осталась

4) ч) осталась

составляет 10 яблок

5) 10*16=160 (яблок)

2 способ:

1)2•2•2•2=16 (раз)

2)10•16=160 (яблок)

3 способ:

1) 10•2=20 (яблок)

2) 20•2=40 (яблок)

3) 40•2=80 (яблок)

4) 80•2=160 (яблок)

Ответ: 160 яблок.

3.  Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлось этой суммы, на долю второго -, а долю третьего – 17 флоринов. Как велик весь выигрыш? (Из книги «Косс» Адама Ризе, XVI в.)

Решение:

Примем выигрыш за 1.

1) + = (ч.) выиграли двое;

2)(ч.) выиграл третий;

3) = 17 флористов есть ;

4)17:17•28=28(флор.)

Ответ: весь выигрыш 28 флоринов.

4.  Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Поло-

вину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели? ( Задача )

Решение:

На первом лугу косцы проработали 1/2 дня –

вся бригада и 1/2 дня – половина бригады,

что составляет 3/4 рабочего дня. На втором лугу

в первый день работала 1/2 бригады в течение дня,

т. е. затрачено 1/4 рабочего дня целой бригады. Так как

площадь второго луга в 2 раза меньше первого, то, для того

чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать 3/8 дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу останется 3/8 – 1/4 = 1/8 часть работы всей бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

5.  Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 рублей. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 рублей. Продавец отсылает мальчика с этими 25 рублями к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10 + 10 + 5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 рублей. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 рублей фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько обманули продавца? ( Задача )

Решение:

Получается, что 25 рублей у продавца не было, он их вернул. А отдал покупарублей из своего кармана и шапку, которая стоит 10 рублей.

6. 

На противоположных стенах комнаты определенной длины и ширины сидят муха и паук, муха — на полтора аршина от пола,

паук — на полтора аршина от потолка. Какое

между ними кратчайшее расстояние, которое мог бы

проползти паук, чтобы достать муху? ( Задача )

 

Решение:

Представьте себе, что комната — это картонная коробка. Тогда ее можно разрезать многими способами и развернуть на стол. Здесь показано четыре таких способа и отмечено в каждом случае относительное расположение паука и мухи и прямой путь, которым, не сходя с картона, должен двигаться паук.

Это четыре наиболее благоприятных случая, и можно заметить, что кратчайшим будет путь 4, поскольку он равен всего лишь 40 футам (сложите 32 в квадрате с 24 в квадрате и извлеките квадратный корень). Легко видеть, что на самом деле паук ползет по пяти из шести различных сторон комнаты! Отметив путь, сложите вновь коробку (удалив сторону, по которой паук не ползет), и вид наикратчайшего пути окажется довольно удивительным. Если бы паук придерживался пути, который большинству, очевидно, покажется кратчайшим (путь 7), то ему пришлось бы проделать 42 фута! На пути 2 расстояние составило бы 43,174 фута, а длина пути 3 оказалась бы равной 40,718 фута. Попробуйте определить наикратчайшие пути, когда паук и муха находятся соответственно от потолка и пола на расстояниях 2, 3, 4 и 5 футов.

Для наглядности, покажем "трехмерное" изображение пути паука.

7.  Некий торговец купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублёв 20 алтын, за старого платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого по 10 алтын, и ведательно есть, колико старых и молодых баранов купил он.

( «Арифметика»).

Решение:

1)  15•3•4+4 = 184 полушки =

= 46 копеек — стоит старый баран,

2)  10•3=30 копеек —

стоит молодой баран,

3) = 16 копеек —

разница в стоимости

4)  30•112=3360 копеек — было бы уплачено, если бы были куплены только молодые бараны,

5)  49 рублей 20 алтын = 49 рублей 60 копеек = 4960 копеек — уплачено за всю покупку, =1600 копеек — излишек, который оплатил большую стоимость старых баранов,

6)  1600:16=100—старых баранов,

7)  112-100= 12 — молодых баранов.

Ответ: 100 старых и 12 молодых баранов.

4 Старинные русские задачи.

1.  Четыре плотника хотят построить дом. 1 плотник может построить дом за год, второй - за 2 года, третий - за три года, четвёртый - за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

Решение:

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4.

1)12:1=12 (домов) 1 плотник за 12 лет;

2) 12:2=6 (домов) 2 плотник за 12 лет; 3)12:3=4 (домов) 3 плотник за 12 лет; 4)12:4=3 (домов) 4 плотник за 12 лет;

5)12+6+4+3=25 (домов) вместе за 12 лет;

6) 12:25= (года) 1 дом вместе

Ответ: примерно 6 месяцев

 

2.  Пришел крестьянин на

базар и принес лукошко яиц. Торговцы его спросили:

"Много ли у тебя в том

лукошке яиц?" Крестьянин

молвил им так: "Я всего

не помню на

перечень, сколько в том лукошке яиц.

Только помню: перекладывал я те яйца в лукошко

по 2 яйца, то одно яйцо лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по 3 яйца, то одно же яйцо осталось; и я клал по 4 яйца, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 5 яиц, то одно же яйцо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яйцо осталось; и я клал их по 7 яиц, то ни одного не осталось. Сочти мне, сколько в том лукошке яиц было"?

Решение:

Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2, 3, 4, 5, 6 есть 60, нужно значит найти такое число, которое делилось бы на 7 нацело, и было бы, вместе с тем, на 1 больше числа

делящегося на 60, рассмотрим числа 61, 121, 181, 241, 301 и так да лее, Первое из написанных чисел, делящееся на 7, есть 301, кроме этого числа, условию задачи удовлетворяют 721, 1141, 1561 и так далее, ряд чисел, удовлетворяющих условию задачи, бесконечен. Каждое из них получается прибавлением к предыдущему наименьшего числа 420, делящегося на 4, 5, 6, 7.

Ответ: 420 яиц.

3. 

Крестьянин менял зайцев на кур: брал

за всяких двух зайцев по три курицы.

Каждая курица снесла яйца - третью часть от

числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйца,

брал за каждые 9 яиц по столько копеек, сколько

каждая курица снесла яиц, и выручил 72 копейки.

Сколько было кур и сколько зайцев?

Решение:

Обозначим буквой m количество кур, которое выменял крестьянин. Каждая курица снесла, как сказано в условии, яиц, и общее число яиц у крестьянина составило m • = штук. Каждые 9 яиц крестьянин продал по копейки, т. е. одно яйцо за • , и выручил, поэтому • = копеек, что по условию равно 72 копейкам. Из равенства = 72 находим = 72 • 81 и m = 9 • 2 = 18. Итак, крестьянин выменял 18 кур, а зайцев у него было • 18 = 12 штук.

Ответ: 12 кур и 18 зайцев.

4.  Некто продает двух коней с седлами, из коих цена одного седла 120 рублей, а другого — 25 рублей. Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого с дешевым седлом, а другой конь с хорошим седлом вдвое дешевле первого коня с дешевым седлом. Какова цена каждого коня?

Решение:

Стоимость двух коней с седлами по условию в 4 раза больше стоимости второго коня с дешевым седлом и в 3 раза больше стоимости второго коня с дешевым седлом. Значит, разность в стоимости хорошего и дешевого седла, равная 120 – 25 = 95 рублей, составляет часть стоимости двух коней с седлами. Кони вместе с седлами стоят, поэтому 12 • 95 = 1140 рублей, а второй конь с дешевым седлом • 1140 =285 рублей. Итак, стоимость второго коня равна 285 – 25 = 260 рублей, а стоимость первого коня равна 1140 – 260 – = 1= 735 рублей.

Ответ: 735 рублей.

5.  Ребята пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного такого куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров?

Ответ: 4 минуты

6.  Часы пробили полночь. Сколько раз и в какие моменты времени, до следующей полуночи, часовая и минутная стрелки будут совмещаться?

Ответ: 11

7.  У пятерых крестьян - Ивана, Петра, Якова, Михаила Герасима - было 10 овец.

Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец.

И говорит Иван остальным:

"Будем, братцы, пасти овец по очереди - по столько дней сколько каждый из нас имеет овец".

По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим - вчетверо меньше, чем Петр?

Решение:

Пусть х - число овец у Якова, то у Ивана – (2х) овец, у Петра - (4х) овец, у Михаила – (2х) овец, а у Герасима – х овец.

Составим уравнение

2х+4х+х+2х+х=10

х=1

У Ивана - 2 овцы, т. е. 2 дня, у Петра - 4 овцы, т. е. 4 дня, у Якова - 1 овца, т. е. 1 день, у Михаила - 2 овцы, т. е. 2 дня, у Герасима - 1 овца, т. е. 1 день.

8.  Летело стадо гусей, навстречу им летит

один гусь и говорит «Здравствуйте, сто гусей»

а те ему отвечают «Нет, нас не сто

гусей, а если бы нас было еще столько,

сколько есть, да еще пол столько, да четверть

столько, да еще ты, один гусь с нами,

тогда нас было бы ровно сто гусей».

Сколько их было?

Решение:

36+ 36+18+9+1

Ответ: 16

5 Как это могло быть.

1.  Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице?

Решение:

Две, т. к. ноги только у мельника.

Ответ: 2

2. 

Что это такое две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну?

У Корнея Чуковского на этот счёт есть

стихотворение-загадка:

Две ноги на трёх ногах,

А четвёртая в зубах.

Вдруг четыре прибежали

И с одною убежали.

Подскочили две ноги,

Ухватили три ноги,

Закричали на весь дом —

Да тремя по четырём!

Но четыре завизжали

И с одною убежали

Решение:

Человек сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Человек бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу.

3.  К табунщику пришли три казака покупать лошадей. "Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму - половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же оставлю только 5 лошадей". Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части. Но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Ответ: Первый казак купил 24 лошади, второй – 12 лошадей, третий – 6 лошадей.

4.  Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а в ходьбе только четыре?

Ответ: Всадник на лошади.

5.  Два отца и два сына поймали трех зайцев, а досталось каждому по одному зайцу. Спрашивается, как это могло случиться?

Ответ: это были дед, отец и сын

6.  У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть?

Ответ: этот человек родился 29 февраля, то есть день рождения у него бывает один раз в четыре года

7.  Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

Ответ: всего летело три утки, одна за другой.

Заключение

Мы узнали о старинных задачах по математике, расширили свой кругозор по учебным предметам, связанным с математикой, проконтролировали свои знания при их решении. Нами была создана небольшая иллюстрированная книжечка «Старинные задачи по математике» (Приложение 1), в ней были использованы рисунки учеников 6 классов нашей школы. Она может быть использована как источник дополнительного материала или как наглядное пособие для учащихся 4-6классов. В конце книжки приводятся ответы, указания и решения. Книга будет интересна и полезна учащимся. В дальнейшем мы планируем дополнить книгу новыми интересными задачами.

Список используемой литературы

1.  . Сборник старинных задач по элементарной математике с историческими экскурсиями и подробными решениями, Минск, 1962.

2.  . Тысяча и одна задача по математике, М.:, «Просвещение», 2005

3.  и др. Старинные занимательные задачи, М,: «Просвещение», 1988.