Моделирование отслоения тонких пленок при сжатии методом фотоупругости[1]
, ,
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин), Новосибирск, Россия
Рассмотрены процессы упругой деформации металлических пленок при механическом нагружении. Показано, что при продольном сжатии тонких пленок на упругой подложке происходит формирование складок, приводящее к упругому изгибу пленки с локальным отслоением от подложки.
Пленка моделируется продольно сжатой балкой на упругом основании. Решается задача о потере устойчивости балки, частично покоящейся на упругом основании, при осевом сжатии. Деформации изгиба балки предполагаются малыми, поэтому используется приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Сформулированы условия склейки решений для отслоившейся балки и для балки на упругом основании. Исследовано закритическое поведение системы «балка-подложка». С точностью до постоянного множителя получены формы потери устойчивости балки при превышении сжимающей силой эйлеровой критической нагрузки. Показана возможность прогрессирующего отслоения тонкой пленки от основания при превышении критической нагрузки. Изготовлена натурная модель пластины из пьезооптического оргстекла с приклеенной тонкой металлической лентой. Методом фотоупругости получена картина полос интерференции в пластине при осевом сжатии металлической ленты. В результате расшифровки данных поляризационно-оптического эксперимента обнаружено появление растягивающих напряжений в пластине в точках возможного отслоения ленты от пластины.
1. Введение
Хотя хрупкое разрушение при сжатии было предметом исследования начиная с новаторской работы Гриффитса, некоторые фундаментальные аспекты механизма разрушения по-прежнему остаются неясными [1]. В работе [2] предложена схема отслоения тонкой пленки от подложки, показанная на рис. 1.
Рис. 1. Модель Панина-Шугурова отслоения тонкой пленки.
Возможно ли отслоение тонкой пленки при превышении критической нагрузки?
2. Нагрузка Эйлера
В модели [2] центральное место занимает отслоение покрытия. Будем моделировать покрытие стержнем. Рассмотрим стержень, длинный, по сравнению с его поперечными размерами [3]. Пусть стержень шарнирно прикреплен к опорам (рис. 2, а).
Рис. 2. Сжатый стержень, шарнирно опертый по концам
Нагрузим его осевой постепенно возрастающей силой 
. Пока сила сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена сила, вызывающая отклонение.
При постепенном увеличении силы стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках ее устойчивости. Можно довести силу до такой величины, при которой стержень, после небольшого его отклонения в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным (рис. 2, б). То есть получим критическое значение силы 
, получаем состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы.
При очень небольшом превышении сжимающей силой ее критического значения прямолинейная форма стержня делается неустойчивой; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих моментов, когда 
процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.
Критическая величина сжимающей силы эквивалентна нагрузке Эйлера. Разрушение стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.
Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение 
, называемое критическим, где 
– площадь поперечного сечения стержня. Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами , необходимо к условию прочности 
добавить еще условие устойчивости 
, где 
– допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. 
.
Для нахождения критических напряжений 
надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень. Задача Эйлера формулируется следующим образом: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис. 2). Собственным весом стержня пренебрегаем. Нагрузим стержень центрально приложенной продольной сжимающей силой 
и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, т. к. .
Деформация изгиба стержня предполагается малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня, выбрав систему координат, как показано на рис. 2. Так как предположили, что представленная на рис. 2 криволинейная форма возможна, то изгибающий момент в сечении с координатой 
есть 
. Тогда дифференциальное уравнение изгиба имеет вид:
. (1)
Добавим краевые условия:
. (2)
Требуется найти нетривиальное 
решение.
Положим 
. Тогда уравнение (1) примет вид:
.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
.
Подставляя краевые условия, находим 
. Полагая 
, будем иметь 
, откуда
.
Иначе говоря, нагрузка , способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять 
. Получаем наименьшую критическую силу , называемую эйлеровой силой,
. (3)
Так как в схеме [2] часть стержня покоится на упругом основании, то рассмотрим предельный случай, когда стержень жестко защемлен. Обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут поворачиваться (рис. 3). Заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть стержня длинной 
, будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирно-опертых концах (т. к. в точках перегиба 
и 
изгибающие моменты равны нулю, то эти точки можно рассматривать, как шарниры). Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длинной 
, равна критической силе для стержня с шарнирно-закрепленными концами длинной :
. (4)
Рис. 3. Стержень с защемленными концами.
3. Закритическое поведение стержня
Рассмотрим закритическое поведение стержня, когда 
. Обозначим: 
– сжимающие напряжения под действием осевой сжимающей силы, 
– нормальные напряжения от изгиба, которые определяются прогибом 
. Полное напряжения представляет сумму сжимающих и нормальных напряжений: 
. Наибольшее напряжение в сечении будет возникать в нижней критической точке 
при постепенном возрастании нагрузки (рис. 4).
Рис. 4. Закритическое деформирование стержня.
4. Модель отслоения пленки от подложки
Смоделируем схему отслоения [2] продольно-сжатым стержнем, частично покоящимся на упругом основании. Стержень занимает области I, II и III (рис. 5). Области I и III моделируют пленку с подложкой, область II моделирует отслоившуюся пленку.
Рис. 5. Модель стержня на упругом основании.
Дифференциальное уравнение упругой линии стержня в I и III областях имеет вид [4]:
, (5)
где 
– коэффициент жесткости упругого основания, размерность коэффициента будет Н/мм2.
Краевые условия на бесконечности:
. (6)
Дифференциальное уравнение изгиба стержня во II области имеет вид:
. (7)
В точках склейки решений 
должны совпадать прогибы 
, углы поворота 
, изгибающие моменты 
и поперечные силы 
. Следовательно условия склейки решения должны иметь вид:
(8)
В силу наличия плоскости симметрии 
должны выполняться соотношения 
и 
. Следовательно, достаточно рассмотреть решение при 
, заменив краевые условия на 
условиями в нулевой точке:
. (9)
Таким образом, требуется найти решения уравнений (5), (7), удовлетворяющие условиям (6), (8), (9). Критическая сила 
в нашей модели удовлетворяет неравенствам 
или
. (10)
Введем обозначение
.
Тогда уравнение (7) примет вид
. (11)
Запишем для него характеристическое уравнение
,
корнями которого будут 
, 
. Общее решение уравнения (11) можно записать в виде
.
Из граничных условия (9) получаем
,
откуда 
. Таким образом, решение в области II имеет вид
. (12)
Найдем теперь общее решение дифференциального уравнения (5) в области III. Обозначим
.
С учетом введенных обозначений уравнение (5) примет вид
. (13)
Запишем для него характеристическое уравнение
.
Пусть 
. Тогда 
. Найдем дискриминант этого уравнения 
. Если 
, характеристическое уравнение имеет четыре комплексно-сопряженных корня 
, где
.
Тогда общее решение уравнения (13) можно представить в виде
.
Так как 
при 
, из краевых условий (6) получаем, что 
и, следовательно, общее решение уравнения (13) принимает вид
. (14)
Запишем выражение (12) в виде
. (15)
Из условий склейки (8) решений (14) и (15) получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно 
, 
, 
, 
:
(16)
Система (16) имеет нетривиальное решение, когда определитель системы равен нулю. Отсюда получаем трансцендентное (характеристическое) уравнение
. (17)
На рис. 6 показаны графики функций 
(кривая 1) и 
(кривая 2) при 
, 
; штриховой линией показана вертикальная асимптота кривой 2.
Рис. 6. Пересечение графиков функций (17).
Так как 
, то 
, кроме того, критическая сила ограничена условиями (10), следовательно
.
Тогда из соотношения (17) получаем, что 
при 
. График зависимости 
от 
(17) при представлен на рис. 7.
Рис. 7. График зависимости от при .
При выполнении условия (17) однородная система линейных алгебраических уравнений (16) имеет бесконечно много решений. Положим 
, тогда
.
Обозначим
.
С учетом введенных обозначений прогибы (14), (15) примут вид
. (18)
На рис. 8 показано отслоение балки от подложки при для (кривая 1) и для 
(кривая 2), отслоившаяся балка занимает область II (
), балка на упругом основании занимает область III (
).
Рис. 8. Отслоение балки от подложки.
Амплитуды прогибов (18) найдены с точностью до постоянного множителя. Напряжения в критических точках балки и подложки зависят от амплитуды прогиба при закритическом деформировании рассматриваемой балки: когда амплитуда зависит от превышения критической нагрузки. Решение (18) получено в предположении следующей гипотезы: закритическое поведение рассматриваемой балки совпадает с закритическим поведением шарнирно опертой балки. Полный анализ нелинейного деформирования продольно-сжатого стержня на упругом основании, в том числе и исследование зависимости закритической нагрузки от амплитуды прогибов, проведен в работах [5, 6].
5. Фотоупругий анализ напряжений в подложке
Для проведения экспериментального исследования были изготовлены образцы, состоящие из тонкой металлической ленты толщиной 0,1 мм, приклеенной к пластине из упругого пьезооптического материала СКУ-6. Металлическая лента подвергалась осевому сжатию, схема нагружения приведена на рис. 9, а. Эксперименты проведены на установке ППУ-7. В результате были получены картины полос интерференции, одна из которых представлена на рис. 9, б. Цифрами 0, 1 на фотографии обозначены порядки полос.
 |
 |
а) б)
в)
Рис. 9. Схема нагружения модели и картина полос интерференции.
Темная полоса слева – пластина из гетинакса, приклеенная к полиуретановой пластине для обеспечения устойчивости процесса деформирования в срединной плоскости. Фотография картины полос интерференции, представленная на рис. 9, б, получена при сжимающей нагрузке F = 833,9 Н. Справа вверху и внизу наблюдается отслоение металлической ленты от подложки, на фотографии этому соответствует нулевая интерференционная полоса. Это показывает, что края модели, где произошло отслоение, не напряжены. Наибольшие напряжения возникают в центральной части модели, вблизи склейки с металлической лентой. В результате расшифровки данных поляризационно-оптического эксперимента обнаружено появление растягивающих напряжений в пластине, на основании чего можно высказать предположение о том, что отслоение металлической ленты происходит по механизму нормального отрыва.
6. Заключение
Построена схема отслоения, которая отличается от модели Панина-Шугурова [2]. Предполагалось, что в исходной системе имеется малый участок отслоения пленки от подложки. Решалась задача об отслоении продольно-сжатой балки, частично скрепленной с упругим основанием. Для сжатой балки построены формы потери устойчивости. На основании результатов поляризационно-оптического эксперимента показано, что возможно прогрессирующее отслоение тонкой пленки от основания при превышении критической нагрузки.
Список литературы
1. E. Z. Wang, N. G. Shrive. Brittle fracture in compression: mechanisms, models and criteria // Engineering Fracture Mechanics. 1995. Vol. 52. No. 6. P. .
2. Alexey Panin, Artur Shugurov. Multi-level deformation of thin films caused by stress-strain distribution at the film-substrate interface // Procedia Engineering. 2009. No. 1. P. 23-26.
3. Вольмир деформируемых систем. М.: Наука, 1967.
4. , Леонтьев , плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960.
5. , , Корнев стержня, лежащего на упругом основании // Прикладная механика и техническая физика. 1994. . Т. 35, № 5. С. 106-112.
6. Астапов представление формы сжатого гибкого стержня // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 3. С. 200-203.
[1] Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта ).
