Задача № 5.154

Задача № 5.154.

Частицы с массой и энергией , движутся слева на потенциальной барьер (рисунок 1). Найти:

а) коэффициент отражения от этого барьера при ;

б) эффективную глубину проникновения частиц в область при , то есть расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз.

Решение:

Рисунок 1

Потенциальная энергия имеет вид:

Составим уравнение Шредингера:

Для области : (1)

Для области : (2)

Запишем уравнения (1) и (2) в виде:

(3)

(4)

где , . Решения дифференциальных уравнений (3) и (4) имеют вид:

(5)

(6)

Падающей дебройлевской волне соответствует первое слагаемое выражения (5), отражённой дебройлевской волне соответствует второе слагаемое выражения (5), прошедшей дебройлевской волне соответствует первое слагаемое выражения (6). Второму слагаемому выражения (6) не соответствует никакая дебройлевская волна, поэтому коэффициент , тогда выражение (6) примет вид:

(7)

На пси-функцию накладываются стандартные условия: непрерывность, гладкость, конечность и однозначность. Используя условие непрерывности волновой функции в точке , получим:

(8)

Используя условие гладкости пси-функции в точке , получим:

(9)

Рассмотрим случай, когда :

Разделим обе части выражения (9) на и получим:

(10)

Разделим выражение (8) на выражение (10) и получим:

(11)

Складывая выражения (8) и (9), получим:

(12)

Модуль вектора потока плотности вероятности пропорционален квадрату амплитуды волновой функции состояния частицы, определяющему плотность вероятности местонахождения частицы и скорости частицы, а значит и модулю её волнового вектора .

(13)

Для падающей на потенциальный порог дебройлевской волны поток плотности вероятности:

(14)

Для отражённой дебройлевской волны:

(15)

Для прошедшей дебройлевской волны:

(16)

Тогда коэффициент отражения дебройлевской волны от потенциального порога равняется:

(17)

Коэффициент прохождения:

(18)

Как видно из выражений (17) и (18) коэффициенты отражения и прохождения частицы не зависят от направления движения частицы. Кроме того, выполняется:

(19)

Рассмотрим случай, когда . В этом случае , где . Таким образом, коэффициент отражения в этом случае:

(20)

Тогда, согласно уравнению (19), коэффициент прохождения равняется нулю . Таким образом, при дебройлевская волна полностью отражается от потенциального порога. Но в этом случае возможно проникновение частицы на некоторую глубину в область потенциального порога. Плотность вероятности местонахождения частицы в области потенциального порога определяет квадрат модуля пси-функции (7):

(21)

Пусть - эффективная глубина проникновения частицы в область потенциального порога, то есть расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз. В этом случае:

(22)

Отсюда получим:

(23)

Ответ: а) коэффициент отражения в случае равняется , где , ;

б) эффективная глубина проникновения частицы в область потенциального порога в случае равняется .