Тема 3. Максимизация функции прибыли
Для успешного выполнения заданий контрольной работы, необходимо предварительно изучить вопросы:
1. Производственные функции.
2. Функции полезности и безразличия.
3. Линии уровня, поверхности уровня функции двух и трех переменных.
4. Предельные полезности, результирующее изменение функции полезности.
5. Задача оптимизации, анализ полученного решения.
Литература.
1. , ,Черемных методы в экономике. М.:Изд-во МГУ, 1997.
2. , и др. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/Под ред. Проф. . М.: ЮНИТИ.1997.
3. , Письменный задач по высшей математике.- М.: Айрис-пресс,2003.
Рассмотрим задачу оптимизации производства для двухфакторной модели.
Дf: Доходом (выручкой) R фирмы в определённом временном периоде называется произведение 
, где y – общий объём выпускаемой фирмой продукции, 
- цена (рыночная) этой продукции.
Дf: Издержками C фирмы называют общие выплаты фирмы в определённом временном периоде за все виды затрат: 
, где 
и 
- объёмы затрачиваемых фирмой ресурсов (факторов производства), 
и 
- рыночные цены на эти ресурсы.
Дf: Прибылью PR фирмы в определённом временном периоде называется разность между полученным фирмой доходом R и её издержками производства: 
или 
(5), где 
- производственная функция фирмы.
Основная цель фирмы – в максимизации прибыли путём рационального распределения растрачиваемых (используемых) ресурсов.
Задача максимизации прибыли фирмы в случае долговременного промежутка: определить комбинацию 
ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль: 
при условии: 
.
В связи с тем, что, как правило, если хотя бы один ресурс не затрачивается, то объём выпускаемой продукции равен нулю: 
и экономически осмысленным являются наборы ресурсов, для которых 
.
Точки локального максимума следует искать только среди точек 
, удовлетворяющих системе уравнений: 
Или, учитывая формулу (5):
(6)
Можно доказать, что система (6) имеет единственное решение , которое является точкой не только локального, но и глобального максимума прибыли PR 
.
Дf: Набор затрат ресурсов, который является решением задачи максимизации прибыли PR называется локальным (частным) рыночным равновесием фирмы в случае долговременного промежутка.
Пример: Найти максимум прибыли 
, где K – объём 
, а факторные цены равны соответственно и .
Решение
Воспользуемся необходимым условием экстремума функции двух переменных. Вычислим частные производные и приравняем их к нулю:
Возведём оба уравнения в 4-ю степень.
- подставляем во второе уравнение
Итак, 
Вычислим вторые частные производные функции PR(K;L) в точке 
:
Следовательно, 
Воспользуемся достаточным условием наличия экстремума функции двух переменных:
и 
Поэтому в точке функция прибыли PR достигает максимума, равного
max PR (K; L) = PR 
В нашем случае 
Задание 5
Найти максимум прибыли 
в случае когда 
,
где 
- номер в алфавите буквы, с которой начинается соответственно фамилия, имя и отчество студента.
