Элементы теории случайных процессов (стр. 3 )

В теории случайных процессов такие процессы называют процессами со стационарными приращениями или однородными процессами [8]. В теории массового обслуживания, следуя Хинчину [5], такие потоки называют стационарными. Мы будем придерживаться этой терминологии, поскольку ориентируемся на литературу по теории массового обслуживания.

Обозначим через H1(t) функцию восстановления стационарного процесса восстановления ξ(t). При H1(0)=0 получаем

M[x(t+x)-x(t)]=H1(t+x)-H1(t)=H1(x)=M[x(x)-x(0)].

Первое равенство следует из определения функции восстановления процесса восстановления, а второе равенство следует из определения стационарности процесса восстановления.

Поэтому для функции восстановления стационарного процесса восстановления справедливо равенство H1(t+x)=H1(t)+H1(x). Единственной функцией, тождественно не равной константе и удовлетворяющей этому соотношению, является линейная функция , поскольку коэффициент определяется поведением функции восстановления в бесконечности (см. элементарную теорему восстановления). Определим, какие функции (F1(x), F(x)) задают процесс восстановления с запаздыванием, у которого функция восстановления линейная функция. Для этого подставим функцию в интегральное уравнение восстановления (2.17) и получим распределение F1(x), соответствующее заданной функции восстановления,

или

. (2.59)

Итак, получили соотношение (2.59), устанавливающее связь между функциями F1(x) и F(x), если процесс восстановления стационарный. Другими словами, задавая функцию F(x), получаем функцию распределения первого интервала F1(x) для стационарного процесса восстановления. Условие (2.59) является необходимым условием стационарности процесса восстановления, то есть, если процесс восстановления стационарен, то справедливо равенство (2.59).

Равенство (2.59) позволяет утверждать, что для стационарного процесса восстановления функция F1(x) должна быть дифференцируемой и, следовательно, справедливо равенство

.

Следовательно, обратно, задавая F1(x) и константу , получаем функцию F(x), для которой процесс восстановления будет стационарным.

Докажем, что (2.59) является и достаточным условием стационарности процесса восстановления.

Итак, предположим, что задан процесс восстановления с запаздыванием, у которого функции распределения, его определяющие, F1(x) и F(x) связаны соотношением (2.59). Тогда получаем связь между преобразованиями Лапласа-Стилтьеса

и из (2.20) получаем преобразование Лапласа-Стилтьеса функции восстановления стационарного процесса восстановления

(2.60)

Единственной функцией, у которой преобразование Лапласа-Стилтьеса (2.54) и H1(0)=0, является линейная функция .

Далее заметим, что равенства (2.36), (2.39) и (2.41), выведенные выше для простого процесса восстановления, легко переносятся на процесс восстановления с запаздыванием. Приведем их без подробного объяснения

, при 0<x£ t, (2.61)

при 0<x£ t, (2.62)

при x>0. (2.63)

Если в равенство (2.63) подставить функцию (2.59) и линейную функцию восстановления , то получаем . Это значит, что развитие процесса восстановления на интервалах (0,x) и (t,t+x) определяется одними и теми же вероятностными характеристиками. Тогда совпадут распределения числа восстановлений, произошедших на этих интервалах. Следовательно, процесс восстановления стационарный. Таким образом, доказана следующая

ТЕОРЕМА 2.3. Процесс восстановления стационарен тогда и только тогда, когда функции F1(x) и F(x), определяющие его, связаны соотношением (2.59).

Сформулированные выше необходимые и достаточные условия стационарности процесса восстановления могут быть взяты за определение его стационарности.

2.12. Альтернирующие процессы восстановления

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Альтернирующим процессом восстановления называется поток с ограниченным последействием, у которого

F2k-1(t)=F(t), F2k(t)=G(t), k=1,2,3,..., F(t)¹ G(t). (2.64)

Таким образом, альтернирующий процесс восстановления задается распределением F(x) нечетных интервалов и распределением G(x) четных интервалов между соседними моментами восстановления.

Нетрудно заметить, что поток четных восстановлений альтернирующего процесса образует простой процесс восстановления с распределением интервалов, равным свертке распределений F(t) и G(t),

(2.65)

Поток нечетных восстановлений альтернирующего процесса образует процесс восстановления с запаздыванием, определяемый функциями F(t) и Y(t).

Обозначим H0(t) и H1(t) функции восстановления этих потоков и H(t)=H0(t)+H1(t) функцию восстановления альтернирующего процесса. В силу (2.16) и (2.19)

поскольку Y*(s)=F*(s)G*(s).

Из равенств (2.17) и (2.20) получаем

и, следовательно,

Если воспользоваться равенствами (2.22) и (2.53), то получим

Следовательно, для функции восстановления альтернирующего процесса восстановления будем иметь следующее асимптотическое разложение

Далее исследуем вероятность того, что произвольный момент t>0 накрывается нечетным интервалом восстановления. Для этого введем в рассмотрение следующие события

.

Тогда событие A, состоящее в том, что момент t накрывается нечетным интервалом восстановления, можно записать как сумму несовместных событий Ak, т. е. . Поэтому

.

Так как при k>0, то

.(2.66)

Для вероятности P2(t) противоположного события - момент t накрывается четным интервалом справедливо равенство

,

(2.67)

если провести рассуждения, аналогичные рассуждениям, проведенным при выводе (2.66), для альтернирующего процесса как процесса восстановления с запаздыванием.

Равенства (2.66) и (2.67) используем для исследования предела limt®¥Pn(t), n=1,2. Для определения предела интеграла воспользуемся узловой теоремой восстановления. Если хотя бы одно распределение F(x) или G(x) нерешетчатое и существуют их математические ожидания, то пределы существуют и

, n=1,2. (2.68)

ГЛАВА III. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС (ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК)

Особое место среди процессов восстановления занимает простейший поток однородных событий.

3.1. Определение и свойства простейшего потока

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Простейшим потоком x(t) называется простой процесс восстановления, у которого интервалы между моментами восстановления распределены по экспоненциальному закону F(x)=1-e-lt, t³ 0 с параметром l.

Из определения следует, что простейший поток определяется своим параметром и один простейший поток отличается от другого значением этого параметра.

Переходим к изучению свойств этого процесса.

1. Стационарность. Для доказательства стационарности нужно проверить выполнение необходимого и достаточного условия (2.59). Выполнение условия (2.59) очевидно, то есть F1(x)=1-e-lt, t³0.

Далее докажем, что простейший поток является единственным простым процессом восстановления, обладающим свойством стационарности.

Для любой функции распределения F(x) обозначим и из (2.59) для простого процесса восстановления с распределением F(x) дифференцированием получим дифференциальное уравнение

Для этого дифференциального уравнения единственным решением с начальным условием F(0)=0 является функция F(x)=1-e-lx, x³0. Это и доказывает наше утверждение.

Используя свойство стационарности, можно изучать этот процесс восстановления на интервале (0,t), поскольку P{x(t)=k}=P{x(t+x)-x(x)=k}. Так как P{x(t)=k}=P{hk<t,hk+1³t}, xm - последовательность независимых случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону с параметром l, то в силу равенства (1.10) получаем

, (3.1)

то есть число восстановлений на произвольно расположенном интервале (x,x+t) распределено по закону Пуассона с параметром lt.

Функция восстановления простейшего потока равна

H(t)=lt, (3.2)

что следует непосредственно из (3.1) и определения функции восстановления (2.2)

либо как решение уравнения восстановления (2.16), из которого получаем преобразование Лапласа-Стилтьеса , так как , и, следовательно, равенство (3.2).

2. Отсутствие последействия. Это свойство характеризует независимость прошлого и будущего течения процесса восстановления. Для процессов восстановления это свойство можно назвать марковским свойством.

Зафиксируем момент t>0 и все поведение процесса до момента t будем называть прошлым, а после момента t - будущим.

Выпишем функцию распределения момента z последнего восстановления на интервале [0,t). С учетом (3.2) из равенств (2.35) и (2.36) для простейшего потока имеем

(3.3)

С учетом (3.3) или (2.37) имеем для математического ожидания момента последнего восстановления

Для обратного времени возвращения ht (времени недоскока) имеем из (2.38) и (2.39)

(3.4)

Из последнего соотношения следует равенство

С учетом (3.4) или (2.40) имеем для математического ожидания времени недоскока

При t®¥ распределение времени недоскока простейшего потока стремится к экспоненциальному распределению с параметром l, а математическое ожидание стремится к

Заметим, что случайные величины zt и ht определяют поведение процесса восстановления в прошлом.

Далее вычислим распределение времени перескока xt - случайной величины, определяющей поведение процесса восстановления в будущем. Из (2.41) и (2.42) получаем

(3.5)

Теперь исследуем зависимость прошлого и будущего поведения простейшего процесса. Для этого вычислим совместное распределение xt и ht, воспользовавшись равенствами (2.44). Получаем при 0<x£t, y>0

(3.6)

(3.7)

наконец, при x>t, y>0.

Последние равенства доказывают независимость случайных величин xt и ht для простейшего потока и свойство отсутствия последействия для этого потока.

Это свойство можно переформулировать как свойство независимости приращений простейшего потока x(t) на произвольных непересекающихся интервалах времени (0,x) и (x,x+t), x³0, t³0, n³0, k³0

(3.8)

3. Ординарность. Как и всякий процесс восстановления, простейший поток имеет неубывающие ступенчатые траектории (напомним, что x(t) есть число восстановлений, произошедших до момента t) и, коль скоро экспоненциальное распределение непрерывно в нуле, то вероятность того, что интервал между соседними моментами восстановления равен нулю, равна нулю. Значит, почти все траектории простейшего процесса будут иметь скачки, равные единице. Свойство ординарности определяется как свойство, выражаемое асимптотическим равенством P{x(t)>1}=o(t) при t®0, то есть вероятность появления более одного восстановления в интервале длины x стремится к нулю быстрее, чем длина этого интервала. Из (3.1) для простейшего потока получаем

(3.9)

то есть простейший поток обладает свойством ординарности.

Итак, подводя итог настоящему разделу, можно сказать, что из определения простейшего потока как процесса восстановления с экспоненциальным распределением интервалов между соседними восстановлениями, следует, что этот процесс обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

3.2. Другие определения простейшего потока

Напомним, что в параграфе 2.1 главы II был определен случайный поток однородных событий x(t) как случайный процесс, для которого область значений есть неотрицательные целые числа E={0,1,...,n,...}, x(t)ÎE, и все траектории являются неубывающими ступенчатыми функциями. Такой случайный процесс можно задать, задавая совместное распределение случайной последовательности {tn=tn(w), 1£n<¥}, которая определяет моменты скачков, а номер n задает номер скачка случайного процесса x(t) [5].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Простейшим потоком называется всякий стационарный ординарный поток без последействия.

Приведенные определения 3.1. и 3.2. означают, что перечисленные условия стационарности, ординарности и отсутствия последействия являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы поток был простейшим.

Для доказательства эквивалентности этих определений необходимо доказать теперь, что из свойств стационарности, ординарности и отсутствия последействия следует, что интервалы между соседними восстановлениями (скачками потока) суть независимые экспоненциально распределенные случайные величины.

Обозначим

pk(t)=P{x(t)=k}=P{x(t+x)-x(x)=k}=

=P{x(t+x)-x(x)=k½x(x)=n}=P{x(t+x)=k+n½x(x)=n}. (3.10)

Все эти равенства справедливы в силу выполнения свойств стационарности и отсутствия последействия (независимости приращений) процесса x(t). Как и ранее считаем P{x(0)=0}=1.

Тогда , или, обозначая имеем . Для k>0 справедливо равенство . Для любого t>0 найдется такое k>0, что и в силу монотонности функции p0(t) получаем

При n®¥ крайние члены неравенств стремятся к . Поэтому

(3.11)

По определению величины q выполняются неравенства 0£q£1. При q=1 вероятность появления хотя бы одного события на любом конечном интервале равна нулю, что равносильно отсутствию потока однородных событий, при q=0

на любом как угодно малом интервале будут события с вероятностью единица, а это означает, что с вероятность единица на любом конечном интервале будет сколь угодно много событий. Эти неинтересные крайние случаи из рассмотрения исключаются. Для 0<q<1 параметр l=-lnq существует и 0<l<¥.

Из условий стационарности, ординарности и отсутствия последействия вытекают следующие асимптотические равенства при D®0

(3.12)

В наших условиях по формуле полной вероятности получаем при k>0, t³0, D>0 соотношения

из которых после элементарных преобразований и перехода к пределу при D®0 получим систему дифференциальных уравнений

(3.13)

Если процесс стартует из нуля, то получаем начальные условия p0(0)=1, pk(0)=0, k>0, для решений системы дифференциальных уравнений (3.13).

Обозначим через производящую функцию последовательности pk(t), k³0. Умножим k-ое уравнение (3.13) на zk и просуммируем по k от 0 до ¥ . Тогда получим

(3.14)

начальные условия определяются равенством F(0,z)=p0(0)=1. Поэтому решение уравнения (3.14) имеет вид

lnF(t,z)-lnF(0,z)=l(z-1)

или с учетом начальных условий выписываем решение уравнения (3.14)

(3.15)

Следовательно, для искомых вероятностей получаем равенства

(3.16)

совпадающие с равенствами (3.1).

Обозначим через xk промежуток времени между k-м и k+1-м событием (моментом восстановления). Тогда из равенства (3.11) или (3.16) при k=0 легко выписать распределение интервала до первого восстановления

Другими словами, интервал до первого восстановления распределен по экспоненциальному закону с параметром l. Преобразование Лапласа-Стилтьеса этого распределения равно

Из равенства событий {x0+x1<t}={x(t)>1} следуют равенства для вероятностей

(3.17)

Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции (3.17) равно произведению

(3.18)

Равенство (3.18) легко получается из равенства (1.7) при k=2 и t®¥, так как интегрируемая функция e-(s+l)x(s+l)2x является плотность распределения Эрланга 2-го порядка с параметром (s+l). Из равенства (3.18) следует, что случайные величины x0 и x1 независимы и распределение x1 экспоненциальное

Далее по индукции аналогично (3.17) и (3.18) для произвольного целого m>0 получаем

(3.19)

(3.20)

Равенство (3.20) доказывает, что последовательность {x0,x1,...,xm,…} является последовательностью взаимно независимых случайных величин и

Так как это утверждение справедливо при любом k>0, то, следовательно, доказана эквивалентность определений 3.1 и 3.2.

Заметим, что равенство (3.10) определяет условные вероятности, причем эти вероятности не зависят для простейшего потока от x, n. В теории марковских процессов введенные условные вероятности называют переходными и обозначаются . Для простейшего потока имеем

.

Это же следует из равенств (3.12), которые можно считать асимптотическим разложением переходных вероятностей в окрестности нуля,

pn,n(D)=p0(D)=P{x(x+D)=n½x(x)=n}=1-lD+o(D),

pn,n+1(D)=p1(D)=P{x(t+x)=n+1½x(x)=n}=lD+o(D),

pn,n+k(D)=pk(D)=P{x(x+D)=k+n½x(x)=n}=o(D), при k>1. (3.21)

При этом условии свойство отсутствия последействия является марковским свойством, поскольку будущее течение процесса не зависит от его настоящего состояния. Уравнения (3.13) есть уравнения Колмогорова для переходных вероятностей или вероятностей состояний при начальном условии p0(0)=1. Матрица интенсивностей перехода имеет вид ln,n+1=l, ln,n+k=0 при k>1. Поэтому справедливо

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Простейший поток есть однородный марковский процесс чистого размножения.

Наконец, можно для простейшего потока дать

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Простейший поток есть случайный процесс с однородными независимыми приращениями, которые распределены по закону Пуассона

Эквивалентность очевидно вытекает из предыдущих рассуждений, так как однородность приращений эквивалентна стационарности потока, отсутствие последействия эквивалентна независимости приращений, а ординарность следует из свойств распределения Пуассона.

В дальнейшем эти определения будут использоваться в зависимости от удобства решения конкретной задачи.

3.3. Исследование распределения интервала, накрывающего произвольную точку

При исследовании этого распределения можно воспользоваться свойством независимости времени перескока ξt и времени недоскока ηt для простейшего потока, доказанного в разделе (равенства (3.6) и (3.7)). Свертка распределений (3.4) и (3.5) дает при x<t

При получаем

Аналогичный результат можно получить, если воспользоваться равенствами (2.45) и (2.46), полученными в главе II.

Если речь идет о бесконечно далеком моменте t, то получаем

При t<∞ для математического ожидания суммы получаем

При t→∞ для математического ожидания суммы получаем

3.4. Исследование условных вероятностей

В настоящем разделе исследуем характеристики условных распределений моментов восстановления простейшего потока x(x) на интервале (0,t), t>0 при двух весьма характерных условиях:

·  на интервале (0,t) произошло ровно k>0 восстановлений - событие

·  на интервале (0,t) произошло по крайней мере k>0 восстановлений - событие .

При дальнейших рассуждениях будем использовать следующие обозначения: - момент восстановления с номером k, P{h0=x0=0}=1.

Условное распределение моментов восстановления.

ТЕОРЕМА 3.1. При любых xk, удовлетворяющих условиям

0£x1£x2£....£xn£t, (3.22)

для условного совместного распределения моментов восстановления простейшего процесса справедливо равенство

(3.23)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При доказательстве воспользуемся определением 3.1. Для вероятности произведения событий имеем

В последнем интеграле сделаем замену переменных интегрирования

Тогда получаем равенство

(3.24)

С учетом равенства (3.1) и определения условной вероятности из (3.24) получаем требуемое соотношение

*

Равенство (3.23) показывает, что совместное условное распределение имеет плотность, которая равна константе в области (3.22) и равна нулю вне этой области. Отсюда справедливо очевидное равенство

Далее заметим, что такую совместную плотность распределения имеют члены вариационного ряда в выборке объема n, распределенной равномерно на [0,t]. Это связывает порядковые статистики и простейший поток. Более подробно об этом в [9].

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Для одномерного условного распределения при k£n и 0<x£t справедливо равенство

(3.25)

где через Bk,m(y) обозначена неполная бета-функция, 0£y£1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Равенство (3.25) получается интегрированием плотности по области {(z1,z2,...,zn):0£z1£z2£...£zk£x,zk£zk+1£...£zn£t}. Или, если воспользоваться формулой (1.6) – распределение Эрланга случайной величины hk и равенством (3.1), ту же самую формулу получаем из равенства

Из определения условной вероятности получаем равенство (3.25).*

Замечание. При вычислении распределения (3.25) можно воспользоваться различными представлениями неполной бета функции при целочисленных параметрах [10]. В рассматриваемом случае можно использовать равенство

Тогда для условного распределения (3.25) получаем равенство при

(3.26)

Последнее равенство можно трактовать следующим образом. Пусть заданы n независимых случайных величин, равномерно распределенных на [0,t]. Тогда условная вероятность совпадает с вероятностью того, что, по крайней мере, k, , этих случайных величин, меньше x,

ТЕОРЕМА 3.2. При любых 0£x£t<¥ и целых n и k, для которых 1£k£n<¥,

для условного распределения k-го момента восстановления при условии, что на интервале (0,t) произошло, по крайней мере, n восстановлений, справедливо равенство

(3.27)