Самостоятельная работа №5 (Дискретные случайные величины)
Вариант №1
1. Три мудреца в одном тазу плывут из Шлиссельбурга в Петербург. Вероятность того, что таз перевернется, равна 0,7.При этом никто не доплывет к цели в тазу.
Вероятность выпасть из таза, не перевернув его, равна 0,2 для каждого мудреца, независимо от других. Пусть f – число мудрецов, доплывших в тазу до цели.
Найти закон распределения f.
2. Мудрец участвует в телепередаче «Самый умный научный работник». Ему задают шесть вопросов. Вероятность верного ответа на каждый, независимо от других, равна 0,6. Пусть f - число верных ответов. Найти закон распределния f, M(f), D(f), P(f > 3).
3. В коробке четыре черных шара и один красный. Мудрец Платон просит у мудреца Сократа в долг сто драхм. Сократ берет один шар наугад. Если шар красный, то дает сто драхм в долг, иначе - не дает. Затем кладет шар обратно в коробку. Платон возобновляет просьбу день за днем, до первого успеха. Пусть f - число дней, в течение которых Платон просит у Сократа. Найти закон распределения f, M(f), D(f), P(f<2).
4. В большом кроссворде мудрец сразу же угадывает, в среднем, пять слов.
Найти вероятность того, что он сразу же угадает не менее трех слов.
Пусть f - число угаданных сразу слов. Найти закон распределения f, M(f), D(f).
Вариант №2
1. На день рождения к Вовочке придут десять бабушек и тетушек. Каждая принесет подарок, причем с вероятностью 0,8 для каждой это будет новая книга о Гарри Поттере (независимо от других). Пусть f - число книжек о Гарри, которые получит Вовочка на день рождения. Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f>3).
2. Вовочкин дедушка смотрит телевизор с утра до вечера, но, в среднем, может пересказать содержание двух передач в день. Пусть f - число передач за день, содержание которых он может пересказать. Найти закон распределения f, M(f), D(f).
3. У родителей Вовочки есть дача. В течение лета они пытаются прополоть огород от сорняков, делая одну попытку в месяц с мая по сентябрь включительно (то есть в сезон - не больше пяти раз). Если бы удалось выдрать за раз все сорняки, то они бы больше не выросли до конца сезона. Но вероятность успешной прополки равна 0,01. Пусть f - число прополок за лето. Найти закон распределения f.
4. Вовочка просит деньги на карманные расходы каждое воскресенье по
алгоритму:
1) Сначала у папы. Он даст десять рублей с вероятностью 0,9; 50 рублей - с вероятностью 0,1.
2) Затем у мамы. Если папа дал десять рублей, то мама - десять рублей с вероятностью 0,1; 50 рублей - с вероятностью 0,9.
Если папа дал 50 рублей, то мама - десять рублей с вероятностью 0,3; 50 рублей -
с вероятностью 0,7.
Пусть f количество денег от мамы и папы. Найти закон распределения f.
Вариант №3
1. Звезда шоу-бизнеса отвечает на вопросы журналистов. Всего задано 20 вопросов. Вероятность ответа «Сам ты…» равна 0,3; ответа «Еще чего захотел…» равна 0,6;
ответа на поставленный вопрос - 0,1.
Пусть f - число ответов по существу. Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f>2).
2. На концертах рок-звезды аппаратура выходит из строя в среднем два раза в год и тогда приходится петь «вживую». Пусть f - число «живых» концертов в год (когда аппаратура вышла из строя). Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f<2).
3. Начинающий музыкант пытается попасть на «Фабрику звезд». Вероятность это сделать при каждой попытке равна 0,05. Пусть f - число попыток, до первого успеха включительно. Найти закон распределения f, M(f), D(f).
4. На экзамене в музучилище студент должен исполнить четыре произведения. Вероятность сдать каждое успешно равна 0,8. Если два произведения подряд исполнены неудачно, студенту сразу ставят «два». В остальных случаях - хотя бы «три». Пусть f - число исполненных студентом произведений.
Найти закон распределения f и вероятность не получить «два».
Вариант №4
1. Студентка матмеха СПбГУ Аня Каренина каждый раз, приезжая на учебу в Петергоф, перебегает через рельсы перед идущим навстречу поездом. Вероятность добежать успешно до матмеха равна 0,99 всякий раз. Пусть f - число успешных попыток подряд, начиная с первой попытки. Найти закон распределения f, M(f), D(f).
2. Два студента, сидя рядом за компьютерами, сдают зачет. Каждый получает от компьютера свой вариант из четырех задач, который программа случайным образом выбирает из базы данных, состоящей из 20 задач. У обоих студентов программа работает идентично. Пусть f - число совпадающих задач в двух случайных сочетаниях из 20 по 4. Найти закон распределения f и P(f>2) (в этом случае студенты сообща сдадут зачет).
3. Среднее число оговорок преподавателя на лекции по теории вероятностей
равно двум. Пусть f - число оговорок этого преподавателя на определенной лекции по теории вероятностей. Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f<1).
4. Преподаватель теории вероятностей при выставлении отметки подбрасывает три монеты, считает число гербов и прибавляет два. Пусть f - оценка за экзамен.
Найти закон распределения f и P(f>3) .
Вариант №5
1. Учебник по теории вероятностей содержит, в среднем, по три опечатки на десять страниц. Пусть f - число опечаток на одной странице. Найти закон распределения f и P(f<1) .
2. Студент попадает на экзамене к лектору с вероятностью 0,6; к ассистенту - с вероятностью 0,4. Лектор ставит «5» с вероятностью 0,1; «4» - с вероятностью 0,2; «3» - с вероятностью 0,5. Ассистент ставит «5» с вероятностью 0,2; «4» - с вероятностью 0,1; «3» с вероятностью 0,7. Пусть f - отметка на экзамене.
Найти закон распределения f и P(f>2).
3. Из предложенных четырех дополнительных вопросов студент может ответить равновозможно на любое количество. Пусть f - число вопросов, на которые студент не ответит (из четырех). Найти закон распределения f и P(f>2) .
4. У студента 40 шпаргалок к экзамену. Каждую он кладет в левый карман с вероятностью 0,4; в правый - с вероятностью 0,6. Пусть f - число шпаргалок в левом кармане (из 40). Найти закон распределения f, M(f), D(f).
Вариант №6
1. Подбрасываем три монеты десять раз подряд. Пусть f - число опытов из десяти, когда выпадает наивероятнейшее из всех возможных число гербов (на трех монетах). Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f>2) .
2. Среди пяти монет - две имеют гербы с обеих сторон. Берем какие-то три монеты из пяти. Пусть f - число монет с двумя гербами, среди выбранных. Найти закон распределения f и M(f) .
3. В условиях второй задачи берем три монеты и подбрасываем один раз. Пусть f - число выпавших гербов. Найти закон распределения f.
4. Берем две монеты (герб-цифра) и обе подбрасываем до тех пор, пока они не лягут одинаковой стороной вверх (Г, Г или Ц, Ц).
Пусть f - число подбрасываний. Найти закон распределения f, M(f), D(f).
Вариант №7
1. Вынимаем из колоды по одной карте до первого туза. Карты обратно не кладем. Пусть всего карт - 52 штуки. Пусть f - число вынутых карт. Найти закон распределения f и
P(f < 10).
2. Из колоды в 52 карты извлекаем шесть карт. Пусть f - число тузов в выборке. Найти закон распределения f и M(f) .
3. Маленькие дети, Вася и Петя, учатся играть в карты. У них колода состоит из 36 карт (четыре масти от шестерки до туза). Вася достает случайную карту из 36. Петя - случайную из 35 оставшихся. Вася выигрывает у Пети, если его карта той же масти, но «старше». Если карты разных мастей, то объявляется «ничья». Затем колода тасуется, и все начинается сначала. Пусть сыграно десять партий. Пусть f - число выигрышей Васи. Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f>5) .
4. В условиях третьей задачи игра продолжается до первой результативной (не ничейной) партии.
Пусть f - число сыгранных партий. Найти закон распределения f.
Вариант №8
1. Каждый из двух игроков бросает по одному игральному кубику. Выигрывает тот, у кого выпадет больше очков. Если очков поровну - ничья. Игра продолжается до первой не ничейной партии. Пусть f - число сыгранных партий.
Найти закон распределения f и P(f < 2).
2. Подбросили четыре кубика. Пусть f - число кубиков, на которых выпало одно очко. Найти закон распределения f, M(f), D(f) и P(f<2).
3. Подбросили два кубика. На первом выпало X очков, на втором - Y. Пусть
f=|X-Y|. Найти закон распределения f.
4. Среди десяти кубиков имеются два поддельных (с утяжеленной гранью). Берем случайные три кубика из десяти. Пусть f - число поддельных кубиков в выборке.
Найти закон распределения f, M(f) и P(f>1) .
Вариант №9
1. Каждой из двух девочек, Ане и Лизе, предложено записать на выбор любое число от одного до десяти. Допустим, что они выбирают эти числа равновозможно, независимо друг от друга. Если выбранные числа не имеют общего делителя, кроме единицы, то считаем Аню и Лизу несовместимыми (отрицательный результат).
Опыт повторяем пять раз. Пусть f - число отрицательных результатов из пяти.
Найти закон распределения f, M(f) и P(f<3) .
2. Опыты, описанные в первой задаче, повторяем до первого положительного результата. Пусть f - число попыток.
Найти закон распределения f, M(f), D(f).
3. Аня пишет три разных числа от единицы до десяти. Лиза делает то же, независимо от Ани. Пусть f - число совпадений (то есть количество чисел в пересечении двух множеств по три числа). Найти закон распределения f
(сочетания по три из десяти равновозможны).
4. Если Аня пишет три числа из десяти, то пусть f - количество четных чисел среди трех выбранных. Найти закон распределения f и M(f) .
Вариант №10
1. 50 пассажиров трамвая распределились по 2-м вагонам так, что каждому, вероятность оказаться в первом вагоне равна 0,6; во втором – 0,4. f – число пассажиров из 50, оказавшихся в первом вагоне. Найдите закон f, M(f), D(f).
2. На 3 свободные места в вагоне претендовали 4 юноши и 5 девушек. Их силы были равны, поэтому счастливчики определились случайным образом (все варианты по3 из 9 равновероятны). f – число девушек, занявших свободные места. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≥ 1).
3. Пенсионерка пытается сесть на какое-нибудь свободное место в трамвае до 1-го успеха, вероятность которого равна 0,1: бежит, бедная, к свободному месту, но не всегда успевает его занять. f – число попыток. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≤ 3).
4. Вероятность того, что на остановке не откроется первая дверь трамвая, равна 0,2; вторая – 0,3; третья – 0,4. Двери работают или ломаются независимо друг от друга. f – число дверей из трех, которые не откроются на остановке. Найдите закон f, M(f), P(f ≥ 1).
Вариант №11
1. С дерева сорвали 20 яблок. Каждое с вероятностью 0,7 – червивое независимо от других. f – число червивых яблок из 20 сорванных. Найдите закон f, M(f), D(f).
2. Вовочка ест яблоки до первого червивого (р = 0,7). f – число съеденных яблок. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≥ 1), считая, что не червивое он съедает, червивое не ест.
3. Выбрали 15 яблок, среди которых оказалось 3 червивых. Для шарлотки из 15-и выбираем ровно 2 яблока случайным образом. f – число червивых яблок из выбранных 2-х. Найдите закон f, M(f), D(f).
4. Яблоко может быть червивым с вероятностью 0,7. Берем 5 яблок и начинаем резать по очереди до тех пор, пока все не разрежем или до 2-х червивых подряд. (Тогда все бросаем, так как очень сердимся). f – число разрезанных яблок. Найдите закон f.
Вариант №12
1. Девочка жует “Orbit” и время от времени выдувает пузырь. Он получается с вероятностью 100%. Но с вероятностью 0,2 этот пузырь может налипнуть ей на нос. После этого жвачка выбрасывается. f – число успешно надутых пузырей, считая прилипший к носу. Найдите закон f, M(f), D(f).
2. Для каждой из использованных жвачек имеется 2 исхода: попасть в помойное ведро (р = 0,6); быть прилепленной снизу на письменный стол.(р = 0,4). f – число жвачек из 10 прилепленных на стол. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≥ 1).
3. В кармане 3 пачки «Orbit» и 4 пачки «Dirol». Берем случайно 2 пачки из 7, f – число пачек «Orbit» среди них. Найдите закон f, M(f), D(f).
4. У девочки 2 подруги А и В. Сегодня она встретит А с вероятностью 0,7; В – с вероятностью 0,8. Если она встретит А, то угостит ее жвачкой (1 шт.) с вероятностью 0,5. Если встретит В, то угостит ее жвачкой (1 шт.) с вероятностью 0,9. f – число жвачек, отданных А и В. Найдите закон f.
Вариант №13
1. Из 13 дворников каждый способен работать в понедельник с вероятностью 0,2. f – число дворников из13, способных работать в понедельник. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f > 0).
2. Из 13 дворников каждый способен работать во вторник с вероятностью 0,5 (а в понедельник 0,2). f – число дней из двух (понедельник, вторник), когда способны работать хотя бы по одном дворнику из 13. Найдите закон f.
3. 13 дворников по пятницам пытаются убрать весь мусор в контейнеры. Вероятность успеха постоянна и равна 0,7. Если они не уберут весь мусор в пятницу, то далее, до следующей пятницы им ни разу не удастся это сделать. f – число недель до первого успеха (f = 0,1,2,…). Найдите закон f, M(f), D(f).
4. В субботу, к вечеру равновозможно любое количество заболевших дворников из 13, f – число заболевших. Найдите закон f, M(f).
Вариант №14
1. Ровно один из 10 ключей может открыть сундук с сокровищами. Пробуем ключи поочередно. Непригодные ключи откладываем в сторону. f – число попыток открыть сундук. Найдите закон f, M(f), и P(f ≤ 3).
2. В сундуке 8 драгоценных камней. Каждый может достаться разбойнику А с вероятностью 0,4 или разбойнику В с вероятностью 0,6 (но не обоим одновременно). f – число камней, которые достанутся А. Найдите закон f, M(f), D(f) и P(f ≥ 2).
3. В посылает А письма с угрозами и требованием отдать ему драгоценности, принадлежащие А. «Опыты» продолжаются до первого «успеха», вероятность которого 0,01. f – число писем. Найдите закон f, M(f), D(f) .
4. А бросает 2 монеты. В бросает 3 монеты. Если у А выпало больше гербов, чем у В, то А выигрывает; поровну – ничья; иначе – выигрывает В. Если выигрывает А, В ему платит 300$, если В, то А ему платит 200$. Если ничья– никто не платит. f – изменение денег А (-200; 0; +300). Найдите закон f, M(f).
Вариант №15
1. Ромашка имеет от15 до 25 лепестков включительно. Все числа [15÷25] равновероятны. Студентка гадает на ромашке «зачет-незачет», сорвав любую ромашку на большом поле. Опыт считаем удачным, если она нагадает «зачет». Пусть проведено 4 таких независимых опыта. f – число удач. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f > 2).
2. Другая студентка на том же поле гадает до первого успеха, f – число сорванных ромашек. Найдите закон f, M(f), D(f).
3. На каждой из данных двух ромашек сидят от 0 до 3-х букашек (равновозможно, других вариантов нет). f – общее число букашек на двух ромашках. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≥ 8).
4. Среднее число букашек на ромашке, растущей в поле, равно 2, f – число букашек на сорванной ромашке. Найдите закон f, M(f), D(f), P(f ≤ 3).
Вариант №16
1. В клубе футболистов «Закат» 25 спортсменов, среди которых 5 иностранцев. По требованию выбирают 11 человек из 25 для участия в турнире. f – число выбранных иностранцев. Найдите закон f, M(f), и P(f ≤ 1).
2. Команда “Закат” играет серию матчей с командой «Рассвет». Всего в серии 5 матчей. Вероятность того, что «Закат» выиграет – 0,6; вероятность результата «ничья» – 0,2 (для всех матчей независимо). f – число выигрышей из 5 для команды «Закат». Найдите закон f, M(f), D(f) и P(f ≤ 3).
3. Команда «Закат» играет с командой «Зенит» до первой победы. Вероятность победы равна 0,2. f – число матчей. Найдите закон f, M(f), D(f).
4. Вероятность того, что любой игрок команды «Закат» принял допинг, равна 0,1. Комиссия проверяет подряд всех 11 игроков до первого обнаружения допинга. f – число проверенных игроков (1,2,…, 11). Найдите закон f (если допинг принят, вероятность его найти, равна 1).
