«Метод оценки с помощью линейной суперпозиции функций» (стр. 1 )

Название статьи:

«Метод оценки с помощью линейной суперпозиции функций»

Автор: , студент ВШПП (г. Самара) по специальности «оценка стоимости предприятия (бизнеса), , E-mail: *****@***ru.

Содержание

1 Введение полиномиальной зависимости. 4

1.1 Основные свойства системы линейных уравнений. 4

1.2 Аналитическая зависимость от качественных факторов. 5

1.3 Определение полиномиальной зависимости от качественных факторов. 6

2 Примеры оценки объекта данным методом оцифровки качественных данных. 9

2.1 Расчет стоимости объекта оценки методом анализа иерархий. 9

2.2 Расчет стоимости объекта оценки методом парных сравнений. 14

2.3 Интерпретация и условия применимости метода. 17

Заключение. 19

Литература. 20

Введение

Согласно ФСО-1, раздел II, итоговая стоимость объекта оценки определяется путем расчета стоимости объекта оценки при использовании подходов к оценке и обоснованного оценщиком согласования (обобщения) результатов, полученных в рамках применения различных подходов к оценке. Причем, подход к оценке представляет собой совокупность методов оценки, объединенных общей методологией. Методом оценки является последовательность процедур, позволяющая на основе существенной для данного метода информации определить стоимость объекта оценки в рамках одного из подходов к оценке.

Методов, осуществляющих оценку в настоящее время существует десятки. Не будем перечислять их в данной статье, они широко известны. Каждый из методов имеет свою точность и пределы применимости, в зависимости от подхода, вида оцениваемого имущества, количества и качества имеющейся в распоряжении у оценщика информации. В настоящей статье, описывается метод, который, как надеется автор, позволит повысить эффективность работы оценщика, сократив время в результате унификации некоторых методов. Также позволит повысить точность определения стоимости имущества, так как при некоторых условиях – при наличии большого объема статистических данных, точность метода повышается.

1 Введение полиномиальной зависимости

1.1 Основные свойства системы линейных уравнений

Рассмотрим функцию вида:

, (1.1.1)

где ‑ функции от независимой переменной , нелинейные относительно друг друга,

‑ функция от переменной ,

‑ коэффициент при переменной в степени .

График данной функции в общем виде представлен на (рис 1.1.1)

Рисунок 1.1.1 ‑ График функции вида .

Покажем, что через любое количество точек на плоскости можно провести график функции вида (1.1.1) со степенью при старшем члене большей, чем . Причем при степени при старшем члене равной , функция отображает точки на плоскости единственным образом, причем точки не совпадают друг с другом. Для этого составим систему вида:

(1.1.2)

Из теоремы о совместности системы линейных уравнений из линейной алгебры следует, что данная система линейных по отношению к уравнений имеет единственное тривиальное решение, если количество неизвестных коэффициентов равно количеству уравнений и определитель данной системы не равен нулю. Последнее условие удовлетворяется, если точки не совпадают друг с другом. В данном случае количество уравнений , а степень при старшем члене ‑ . Очевидно, что при большем количестве коэффициентов чем система имеет бесконечное множество нетривиальных решений, а при меньшем, чем ‑ не имеет решение – система (1.1.2) противоречива, так как точки не совпадают и уравнения в системе линейно независимы по отношению друг к другу.

Таким образом, можно сделать вывод, что любое количество пар значений описывается выражением вида (1.1.1), причем, описывается единственным образом, если степень при старшем члене равна .

Также можно показать, что если функция вида удовлетворяет условиям: ‑ определена на и существует функция , обратная , то справедливы вышесказанные свойства и для выражения вида:

(1.1.3).

1.2 Аналитическая зависимость от качественных факторов

Пусть имеется табличная функция, определенная на множестве (α, β, …, ω) и принимающая действительные значения:

…	…

(1.2.1)

где ‑ функция от дискретной переменной

‑ значения функции

‑ переменная, принимающая значения из множества (α, β, …, ω).

Сопоставим каждой точке (,) некоторого пространства (,) единственным образом точку (,) декартова пространства, где ‑ любые несовпадающие действительные числа. Таким образом, получим, что каждой функции , определенной на множестве (α, β, …, ω), соответствует функция , определенная на множестве действительных чисел.

Из свойств, приведенных в п. 2.1 следует, что множество точек (,) можно описать функцией вида (1.1.2) или (1.1.3) аналитическим способом. А это значит, что зная преобразования или , что одно и тоже, можно функцию представить в аналитическом виде:

(1.2.2)

или

(1.2.3)

Все преобразования пунктов 1.1 и 1.2 были сделаны для того, чтобы показать, что любую зависимость от качественных факторов можно описать с помощью аналитической функции. Причем не просто аналитической, а линейной функции. В следующем пункте показано, как можно это сделать.

1.3 Определение полиномиальной зависимости от качественных факторов

Рассмотрим более практическую задачу. Допустим, имеется выборка из N пар значений (M, ). Причем значение M из множества действительных значений, а ‑ из множества (α, β, …, ω). Определим функцию , которая наиболее близко описывает данную выборку.

Выборка из N значений:

M
…	…
…	…

(1.3.1)

Составим преобразование:

	1
	2
…	…
	n

(1.3.2)

Таким образом, получим зависимость от некоторых действительных значений :

M
	1
	1
…	…
…	…

Примечание: вместо значений (1, 2, …, n) можно выбрать абсолютно любые значения (например 0; 2, 5; 10 и т. д).

Теперь выберем вид функций зависимости (1.2.2). Пусть это будет функции вида . Данные функции нелинейны относительно друг друга.

Примечание: вместо функции можно взять любую другую (например или ).

В итоге получим функцию полинома:

(1.3.3)

Если бы мы имели пар значений, то есть однозначное соответствие и , то коэффициенты можно было найти, просто составив и решив систему линейных уравнений:

(1.3.4)

Но пар значений может быть больше , тогда с помощью метода наименьших квадратов можно найти полиномиальную зависимость вида (1.3.3), которая наиболее близко описывает выборку данных значений при условии или, например, . Для этого нужно решить следующую систему уравнений:

(1.3.5)

для условия .

Теперь, для нахождения значения от некоторого значения , нужно по таблице (2.3.2) найти соответствующее значение и поставить в уравнение (1.3.3).

В более общем случае, когда нужно определить вид функции от нескольких переменных, некоторые из которых дискретные, составляется суперпозиция из функций от каждой переменной, причем дискретным значениям приводятся в соответствие действительные значения и с помощью метода наименьших квадратов определятся вид аналитической зависимости.

Например зависимость:

(1.3.6)

где ‑ некая функция от и ,

‑ неизвестная величина, принимающая действительные значения,

‑ неизвестный коэффициент,

‑ неизвестная величина, принимающая значения из множества (α, β, …, ω),

‑ функция от величины ,

можно описать аналитически, представив функцию как . Прологарифмировав выражение (1.3.6) получим линейное по отношению к коэффициентам и уравнение:

(1.3.7),

Так уравнение (1.3.7) линейное, то, использовав метод наименьших квадратов, получим систему линейных уравнений, решив которую можно вычислить аналитическим путем любым методом линейной алгебры, получим зависимость в аналитическом виде.

2 Примеры оценки объекта данным методом оцифровки качественных данных

В данном разделе представлены примеры расчета данным методом. Все задачи и объекты оценки, использованные в данной статье выдуманы, но использованные методы оценки применены корректно. Описание решения задач этого раздела с помощью описанного представлено в качестве примера.

2.1 Расчет стоимости объекта оценки методом анализа иерархий

Задача 1.

Имеется офисное здание площадью 1 000 кв. м. местоположение ‑ А, Состояние плохое. Определить стоимость, имея объекты аналоги в таблице (2.1.1)

Таблица 2.1.1 Аналоги объекта оценки

№	Характеристики	объект	аналог1	аналог2	аналог3	аналог4
1	Площадь	1000	470	576	600	2100
2	Место	Б	Б	Б	А	А
3	Состояние	плохое	уд	хор	хор	плохое
4	Стоимость, доллар	?	6538,09	8757,98	7816	25600
5	Стоимость кв. м, доллар		13,9108	15,2048	13,0267	12,1904

Оценим объект с помощью метода анализа иерархий, затем с помощью описываемого метода и сравним результаты.