Контрольные задания

Контрольные задания

1.  Определить, какой набор товаров выберет потребитель, обладающий доходом в 300 ден. ед., если его функция полезности , а цены единицы товара: p1 = 2 ден. ед., р2 = 4 ден. ед.

2.  Предпочтения потребителя заданы следующей функцией полезности: , его доход равен М, цены товаров – р1, р2. найти функцию спроса.

3.  Определить функцию сбыта (спроса) по следующим экспериментальным данным:

Цена товара, руб.	54	50	55	59	60	59	64
Объем сбыта товара, шт.	570	600	580	510	480	500	450

4.  Функция полезности потребителя имеет вид: . Определить максимальную полезность, если потребитель имеет доход в 100 ден. ед., а цены единицы товара равны соответственно 5 и 10. какова норма замены второго товара первым в оптимальной течке?

5.  Функция спроса Торнквиста на «предметы первой необходимости», на «предметы относительной роскоши» и на «предметы роскоши» определяются следующим образом:

где a, β, γ зависят от вектора цен р;

М – доход потребителя.

Доказать, что потребитель, имеющий доход М и характеризующийся функцией полезности , выберет набор товаров , где – первая функция Торнквиста сa = а, β = bp1, р2 = 1 (второй товар принят за единицу счета).

6.  Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

Х = –4х12 + 24х1 + 2х1х2 + 6х2 – х22,

где х1, х2 – затраты ресурсов.

Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов.

7.  Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

.

Определить предельные продукты по ресурсам и построить изокванту Х = 3. Написать уравнение изоклинали (линии наибольшего роста выпуска), проходящей через точку х1 = 1, х2 = 1, найти нормы замены первого ресурса вторым в этой точке.

8.  Производственная функция:

описывает зависимость между затратами ресурсов х1, х2, х3 и выпуском Х. Определить максимальный выпуск, если

х1 + х2 + х3 = 9.

9.  Рекламное объявление в газете стоит 500 марок, минута телевизионного времени – 1500 марок. Недельный рекламный бюджет фирмы – 15000 марок. Если х1 и х2 – соответственно число объявлений в газете и число минут рекламного времени на телевидении в неделю, то прибыль фирмы за неделю

П(х1, х2) = 4х1х2 – 5х12 – х22 + 20х1 + 100000.

Как следует использовать рекламный бюджет, чтобы прибыль была максимальна?

10.  Найти среднюю и предельную эффективность ресурса х2, если производственная функция имеет вид:

.

11.  Производственная функция описывается уравнением Y = 40L – 5L2, где L – объем используемого труда. Функция спроса потребителей в экономике равна X = 2Y – 2L2. Какой объем продукции будет произведен в равновесии, какой объем труда будет использован?

12.  Функции спроса и предложения данного товара заданы уравнениями X = 9 – P и X = –6 + 2P соответственно, где P – цена товара. Предположим, что на данный товар введен налог (с единицы товара) в размере 25 %, уплачиваемый покупателем. Определить равновесную цену и равновесный объем продаж для обеих ситуаций.

13.  Спрос и предложение некоторого товара заданы соответственно уравнениями X = 600 – 100P, Y = 150 + 50P. Государство установило налог с продажи на единицу товара в размере 1,5 ден. ед. Найти, что потеряют при этом покупатели, а что – продавцы данного товара.

14.  Функции спроса и предложения товара заданы уравнениями X = 300 – P, Y = P/2 – 30. Государство установило налог в размере 15 ден. ед. за единицу товара, уплачиваемый покупателями. Определите сумму налоговых поступлений в бюджет.

15.  Предположим, что рыночное равновесие задано уравнениями X = 9 – P, Y = 75. Как изменится ситуация на рынке, если производителям установят дотацию из бюджета в размере 1,5 ден. ед. за каждую единицу проданного товара? Чему равен общий размер субсидии?

16.  Функция спроса на капусту имеет вид Xt = 300 – Pt, функция предложения имеет вид Yt = –60 + 0,8Pt-1, где t обозначает номер периода времени. Определите объемы продаж и цены на капусту в периоды 1,2,...,5, если P0 = 250. Определите равновесную цену и равновесный объем продаж.

17.  Определите, существует ли обратная матрица к данной и, если существует, то найдите ее:

.

18.  Убедитесь в продуктивности модели Леонтьева со следующими параметрами:

.

19.  Вычислите расстояние между векторами х = (10, 20) и z = (20, 10) и найдите другой вектор, расположенный от вектора x на таком же расстоянии, что и вектор z.

20.  Найдите собственные числа и соответствующие им собственные векторы следующей матрицы:

.

21.  Найдите число и вектор Фробениуса для следующей матрицы:

.

22.  Найти все оптимальные по Парето точки для следующих множеств евклидова пространства:

1. , где константы R, ai, i = 1,…,n, положительны;

2. .

23.  Пусть в статической макроэкономической модели потребление есть линейная функция от выпуска (национального дохода) C = 0,2Y + 15, где коэффициент 0,2 называется склонностью к потреблению и выражает пропорцию, в которой потребление возрастает при росте дохода, а 15 – это базовое потребление. Пусть величина инвестиций постоянна и равна 8. Определите равновесный национальный доход.

24.  Пусть неоклассическая модель включает иностранные займы, причем экспорт X, импорт M и иностранный кредит D связаны соотношением X + D = M + ρD, где ρ – процент по кредитам, величина которого считается заданной. Напишите основное уравнение экономического роста для этого случая.

25.  Определите уровень капиталовооруженности золотого правила накопления для производственной функции Кобба-Дугласа

.

26.  Пусть в долгосрочном плане кроме тенденции роста экономика обнаруживает наличие волн подъема и спада конъюнктуры. Будем считать, что при этом инвестиции кратны приросту валового выпуска: It = v(Yt-1 – Yt-2), где коэффициент v>0 – фактор акселерации. Потребление задается линейной функцией от выпуска с временным лагом продолжительностью в 1 период (год): Ct = aYt-1 + b, где 0<a<1, b>0. Исходя из условия бюджетного баланса, постройте уравнение динамики национального дохода и определите его значение через 8 лет, если а = 0,75, b = 20, v = 1,05, Y0 = 50, Y1 = 55.

27.  Дана функция издержек монополиста С = 5q + 0,25q2 и функция выпуска q =160 – p. Найдите оптимальную цену и объем производства продукции.

28.  Выпуск продукции монополизированной отрасли описывается функцией q = 150 – 0,5p, а средние издержки по производству выражаются функцией q – 60. Найдите оптимальный объем производства и цену.

29.  Известны функции издержек двух фирм, действующих на дуопольном рынке: C1 = 10 + 2q1, C2 = q22. Рыночный спрос D = 100 – 3p. Найдите параметры состояния равновесия Курно.

30.  Функции общих издержек в условиях дуополии Курно выражаются уравнениями C1 = 0,5q12 + 4q1 + 5 и C2 = q22 + 5q2 + 7. Рыночный спрос D = 40 – 2p. Определите цену равновесия и величину выпусков на данном рынке в условиях равновесия.

31.  В условиях дуополии Курно рыночный спрос задается соотношением D = 300 – p, а каждая фирма имеет постоянные предельные издержки, равные 10. Найдите объем производства каждой фирмы в состоянии равновесия.

32.  Спрос на товар описывается уравнением p = 100 – q. Функция общих издержек фирмы (каждой из фирм) равна C = 5q. Найдите равновесную цену и равновесный объем производства

- в условиях монополии;

- в условиях дуополии Курно.

33. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и, после соответствующей обработки, поступают в продажу. Хотя недельный расход корма для цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт. Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов. В качестве ингредиентов рассмотрим три: известняк, зерно и соевые бобы. Требования к питательности рациона сформулируем, учитывая три вида питательных веществ: кальций, белок и клетчатку. В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Заметим, что известняк не содержит ни белка, ни клетчатки.

Смесь должна содержать:

1.  не менее 0,8%, но не более 1,2% кальция;

2.  не менее 22% белка;

3.  не более 5% клетчатки.

Требуется определить для птицеводческой фермы количество (в фунтах) каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

34. Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из трех различных узлов. Эти узлы изготовляются на двух заводах. Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску каждого из трех видов узлов неодинакова. В приводимой ниже таблице содержатся исходные данные, характеризующие как производительность заводов по выпуску каждого из узлов, так и максимальный суммарный ресурс времени, которым в течение недели располагает каждый из заводов для производства этих узлов.

Идеальной является такая ситуация, когда производственные мощности обоих заводов используются таким образом, что в итоге обеспечивается выпуск одинакового количества каждого из видов узлов. Однако этого трудно добиться из-за различий в производительности заводов. Более реальная цель состоит в том, чтобы максимизировать выпуск изделий, что, по существу, эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или двум видам узлов. Возможный объем производства каждого из трех видов узлов зависит от того, какой фонд времени выделяет каждый завод для их изготовления. Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство каждого из трех видов узлов на каждом заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы каждого завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

35. На предприятии производятся два вида продукции из двух видов сырья. Производство единицы продукта 1 (первого вида) приносит предприятию доход, равный 10 единицам, а производство единицы продукта 2 (второго вида) - доход в 8 единиц. Переработка сырья производится аппаратами двух типов, которые условно называются в дальнейшем машинами и агрегатами. На переработке сырья первого вида занято пять машин, причем производственные условия не допускают, чтобы суммарное время использования машин на этой работе превышало 40 ч (за некоторый период). На переработке сырья второго вида занято 25 агрегатов; суммарное время их использования в течение того же периода не должно превышать 200 ч. При производстве единицы продукта 1 на переработку сырья первого вида затрачивается 4 ч и на переработку сырья второго вида - 9 ч, в то время как производство единицы продукта 2 требует затраты 3 ч на переработку каждого из видов сырья. На предприятии принимается решение увеличить выпуск продукции как за счет приобретения нового оборудования тех типов, что и имеющиеся, так и за счет сверхурочных часов работы. Максимальное число сверхурочных часов, приходящихся на период, равно восьми, причем эти часы должны распределяться на переработку первого и второго видов сырья равномерно. Доплата за час сверхурочной работы на переработке любого из видов сырья одинакова; полная оплата за час сверхурочной работы равна 2 единицам. Повышение затрат за период, связанный с приобретением одной машины, перерабатывающей сырье первого вида, составляет 10 единиц. Агрегаты, перерабатывающие сырье второго вида, дополнительно не приобретаются. Необходимо максимизировать доход от выпуска продукции.

36. Для обеспечения нормальной работы оборудования необходимо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна , потребность в ней есть случайная величина , имеющая показательный закон распределения с параметром . Использование j-ой детали позволяет получить прибыль . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток составляет . Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?

37. Фирма А производит некоторый товар, который имеет спрос в течение n единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент i (i=1,...,n). Для конкурентной борьбы с фирмой А дочерняя фирма В концерна Д, не заботясь о собственных доходах, производит аналогичный товар, который поступает на рынок в момент j (j=1,...,n). Ее цель - разорение первой фирмы, после чего ей будет легко, опираясь на капитал D, наверстать упущенное. Для этой цели проще всего продавать товары по пониженной цене. Однако имеются законы (соглашения), запрещающие поступать подобным образом. В этом случае единственным законным инструментом этой фирмы является выбор момента поступления товара на рынок. Будем считать, что качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга - чем позднее товар выбрасывается на рынок, тем качество его выше, а реализуется только товар высшего качества. Каждая фирма должна заранее готовить свое производство к выпуску и продаже товара в выбранный период времени. А чтобы разорить первую фирму, вторая фирма должна минимизировать ее доходы.

38. Автотранспортная компания для перевозки грузов располагает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 - 2 т, машина 2 и машина 3 - по 5 т, машина 4 - 8 т. Для каждой автомашины известна стоимость ее эксплуатации за день: для машины 1 - 15 единиц, для машины 2 - 20 единиц, для машины 3 - 19 единиц, для машины 4 - 30 единиц. Необходимо в течение одного дня развести грузы четырем получателям. В книжный магазин нужно доставить груз весом в 1 т, в мебельный магазин - в 3 т, в фермерское хозяйство - в 5 т и на сталелитейный завод - в 8 т. Предположим, что одна и та же машина не может доставлять груз в книжный или мебельный магазин и на ферму. Требуется так назначить автомашины для доставки всех грузов, чтобы суммарные затраты были минимальными.

39. Пусть экономика представлена двумя отраслями народного хозяйства, каждая из которых выпускает свою продукцию и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. Валовый продукт каждой отрасли за год распределяется соответственно на конечный продукт и производственное потребление, причем в процессе производства данной отрасли может применяться продукция обеих отраслей. Известно, что потребление одной отраслью продукции другой пропорционально объему валового выпуска первой из них. Конечный продукт обеих отраслей делится на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление. Без учета амортизационных отчислений, можно считать, что валовые капитальные вложения из одной отрасли в другую каждый год пропорциональны приросту валовой продукции второй отрасли. Определить, как должна функционировать рассматриваемая экономическая система во времени.

40. Пусть функция полезности потребителя имеет вид , где , - два взаимозаменяемых товара. Обычно потребитель потребляет эти товары в количестве , . Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого товара сократилось до 4 ед. Как должно измениться потребление второго товара, чтобы значение функции полезности не изменилось?

41. Потребитель приобретает два вида товаров в объемах и . Функция полезности , цены товаров , соответственно, доход равен 40. Может ли значение функции полезности быть равно 150? 300? Обоснуйте свой ответ.

42. Функция полезности для данного потребителя имеет вид , а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого товара и 3 ед. второго товара. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор?

43. Фермер выращивает яблоки и другие культуры на площади 500 кв. футов. Каждая яблоня занимает 1 кв. фут, а другие культуры - по 4 кв. фута. Функция полезности имеет вид , где - число яблонь, - число других культур. Сколько яблонь и других деревьев посадит фермер, чтобы максимизировать полезность? Если площадь сада увеличится на 100 кв. футов, насколько изменятся посадки яблонь и других культур?

44. Дана функция спроса на некоторый товар . При какой цене p коэффициент эластичности спроса по цене равен ?

45. Цена меди на мировом рынке составляет $0.75 за фунт. Ежегодно продается 750 единиц (млн. фунтов) меди. Ценовая эластичность спроса на медь равна . Найдите линейную функцию спроса на медь.

46. В 1976 г. на Бразилию приходилось примерно мирового экспорта кофе. Когда заморозки уничтожили около 75% урожая кофе в Бразилии в 1976 – 1977 гг., цена зеленого кофе выросла на 400%. Какова была эластичность спроса на кофе?

47. Функция спроса на вино , где K - доход, p - цена бутылки вина, c - количество бутылок вина. Пусть , .

-  Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?

-  Чему равен эффект замены и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

48. Потребитель тратит весь свой доход только на два товара - 1 и 2. Задана функция спроса потребителя на товар 1: , где K - доход, - цена товара 1. Пусть , , .

-  Определить, как изменится спрос на товар 1, если его цена упадет до 4 ден. ед.

-  Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар 1.

49. Функция полезности имеет вид . Цена товара 1 равна 2, цена товара 2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определить оптимальный план потребления.

50. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров. Функция полезности для него имеет вид . Потребитель покупает 15 ед. первого товара и 10 ед. второго товара. Цена товара 1 равна $10. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке ?

51. Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид . Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок? Каковы будут общие издержки? Средние издержки?

52. Производственная функция имеет вид , где y - количество продукции за день, L - часы труда, K - часы работы машин. Предположим, что в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин. Каково максимальное количество продукции, произведенной за день? Предположим, что фирма удвоила затраты обоих факторов. Определите эффект масштаба производства.

53. В краткосрочном периоде производственная функция фирмы имеет вид: , где L - число рабочих. При каком уровне занятости общий выпуск будет максимальным?

54. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал со 120 до 150, используемый труд с 500 до 625, выпуск продукции увеличивается с 200 до 220. Какой эффект роста масштаба производства имеет место в данном случае?

55. Издержки производства 100 штук некоторого товара составляют 300 тыс. руб., а 500 штук - 600 тыс. руб. Считая функцию издержек линейной, определите величину издержек в тыс. руб. для выпуска 400 штук.

56. Производственная функция имеет вид . Если общий объем затрат не должен превышать 30, цена труда равна 4, цена капитала - 5, то при какой комбинации труда и капитала будет достигнут максимальный выпуск?

57. Задана производственная функция фирмы . Цена обоих факторов равна 1. Найдите способ производства 16 единиц продукции с наименьшими затратами.

58. Производственная функция фирмы имеет вид . Цена труда составляет 30, а капитала - 120. Чему равны средние издержки производства 100 единиц продукции, если фирма выбирает самый дешевый способ производства?

59. Задана производственная функция фирмы , где - труд мужчин, - труд женщин (в чел.-часах). Мужчины получают 5,6 долларов в час, женщины - 4 доллара в час. Если фирма использует 81 чел.-час труда женщин и 64 чел.-часов труда мужчин, чтобы произвести 144 ед. продукции, то минимальны ли при этом затраты на данный выпуск?

60. Производственная функция имеет вид . Цены факторов равны соответственно 2 и 6. Фирма стремится максимизировать выпуск, но ее финансовые ресурсы ограничены 30 единицами. Чему будут равны затраты капитала и труда?

61. Общие издержки фирмы по ремонту автомобилей составляют , где S - число автомобилей. Пусть рыночная стоимость ремонта автомобиля равна 120 долларов. Сколько автомобилей будет отремонтировано при этой цене? Какую прибыль получит фирма?