Задача 1

Задача 1

В амфитеатре ряда. В каждом ряду, начиная со второго, число мест в последующем ряде на больше чем в предыдущем. Число мест в первых рядах равно числу мест в последних рядах.

Сколько мест в амфитеатре?

Алгоритм управления решением:

1.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена арифметичнской прогрессии) определить значения .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) определить число мест в первых рядах.

3.Найти сумму мест с ряда до последнего при условии что эта сумма равна .

3.Решить уравнение при условии что .

4.С помощью формулы

(выражающей формулу суммы первых членов арифметической прогрессии) определить число мест в амфитеатре при условии что

Ответ: .

Задание 2

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна (все члены прогрессии – положительные числа). Сумма первых двух членов этой прогрессии равна . Из членов этой прогрессии, стоящих на четных местах, составляется новая последовательность.

Доказать что эта последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и найти ее сумму.

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

- данная последовательность;

- вновь образованная последовательность;

2.С помощью формулы

(выражающей сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) ) составить уравнение для суммы данной прогрессии.

2.Определить отношение между при условии что .

3.Решить систему уравнений .

4.Определить отношение при условии что .

5. С помощью формулы

(выражающей сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) ) найти сумму при условии что .

Ответ:

Задание 3

Сумма трех чисел, представляющих бесконечно убывающую геометрическую прогрессию равна . Произведение этих чисел равно .

Найти числа.

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения :

- данная прогрессия;

2.С помощью формулы

(выражающе формулу общего члена геометрической прогрессии) найти .

3.Определить отношение между числами .

4.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 4

Последовательность определена посредством правила .

1.Доказать что последовательность является геометрической прогрессией.

2.Найти выражение для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии .

Алгоритм управления решением:

1.Перейти от отношения к равному отношению при условии что .

2.Перейти от отношения к равному отношению при условии что .

3.Найти при условии что .

4.С помощью формулы

(выражающей формулу суммы первых членов геометрической прогрессии) найти при условии что .

Ответ:

Задание 5

Последовательность определена правилом

1.Доказать что для членов этой последовательности выполняется равенство .

2.. Найти .

Алгоритм управления решением:

1

1.Установить отношение между членами при условии что к равносильному равенству.

2.Тождественно преобразовать равенство .

2

1.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена арифметической прогрессии) найти число членов в прогрессии при условии что .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму .

3.Решить уравнение при условии что .

4.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена арифметической прогрессии) найти при условии что .

5.С помощью равенства найти при условии что .

6. С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму при условии что .

7.Перейти от суммы к сумме

Ответ: 2 .

Задание 6

В геометрической прогрессии членов. Сумма первых членов равна . Сумма последних членов равна . Третий член прогрессии больше первого члена на .

1.Найти знаменатель прогрессии.

2.Найти первый член прогрессии.

3.Найти число членов прогрессии.

Алгоритм управления решением:

1,2,3

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов геометрической прогрессии) найти суммы членов геометрической прогрессии: .

2.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена геометрической прогрессии) найти .

3.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 7

В арифметической прогрессии четное число членов. Сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна . Сумма членов, стоящих на четных местах, равна . Последний член прогрессии больше первого на .

Найти разность прогрессии и число членов.

Алгоритм управления решением:

1,2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти суммы членов геометрической прогрессии:.

2.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена арифметической прогрессии) найти .

3.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 8

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма членов этой прорессии равна ,а сумма квадратов этих членов равна .

Найти второй член прогрессии.

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

- исходная прогрессия;

2.С помощью формулы

(выражающей формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) найти .

3.С помощью формулы

(выражающей формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) найти

4.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 9

В арифметической и геометрической прогрессиях имеется общийчлен равный . Разность арифметической прогрессии равна знаменателю геометрической прогрессии. Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна сумме первых трех членов геометрической прогрессии.

Найти указанные суммы первых трех членов.

Алгоритм управления решением:

1.Ввести следующие обозначения:

- арифметическая прогрессия;

- геометрическая прогрессия;

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму .

3. С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов геометрической прогрессии) найти сумму .

4.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 10

Последовательность задана правилом .

1.Найти .

2.Доказать что .

3.Найти сумму первых членов этой последовательности .

Алгоритм управления решением:

2

1.Найти при условии что .

2.Установить отношение между членами при условии что и также .

3.Тождественно преобразовать выражение .

3

1.С помощью формулы

(выражающей формулу общего члена арифметической прогрессии) найти номер последнего члена при условии что число членов в прогрессии при условии что .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму .

3.Решить уравнение при условии что .

Ответ:

Задание 11

Последовательность задана правилом . . Числа представляют последовательные члены геометрической прогрессии. Числа представляют последовательные члены арифметической прогрессии.

Найти числа .

Алгоритм управления решением:

1.С помощью равенства найти при условии что .

2.С помощью равенства найти при условии что .

3.С помощью формулы

(выражающей условие что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии) найти отношение между при условии что .

4.С помощью формулы

(выражающей условие что числа являются последовательными членами арифметической прогрессии) найти отношение между при условии что .

5.Решить систему уравнений

Ответ:

Задание 12

Последовательность задана правилом .

1.Доказать что последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

2.Найти сумму

Алгоритм управления решением:

1

1.Установить отношение при условии что .

2.Установить отношение при условии что

3.Тождественно преобразовать отношение .

2

1.С помощью формулы

(выражающе сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) найти при условии что .

Ответ:

Задание 13

Первые члены арифметической и геометрической прогрессии равны . Второй член арифметической прогрессии больше второго члена геометрической прогрессии на в то время как третьи члены этих прогрессий равны между собой.

Найти третьи члены в двух прогрессиях.

Алгоритм управления решением:

1.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти .

2.С помощью формулы

(выражающей общий член геометрической прогрессии) найти .

3.Решить систему уравнений .

Ответ:

Задание 14

В арифметической прогрессии .

1.Найти сумму всех отрицательных членов.

2.Какое наименьшее число членов нужно взять, начиная с первого, для того чтобы сумма этих членов была положительным числом.

Алгоритм управления решением:

1

1.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти число отрицательных членовпри условии что .

2.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти число отрицательных членов.

3.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти последний отрицательный член .

4.С помощью формулы

(выражающей сумму членов арифметической прогрессии) найти сумму отрицательных членов при условии что

2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму .

2.Решить неравенство

Ответ: 1.; 2.

Задание 15

Последовательность задана правилом .

1.Найти значения целых чисел .

2.Доказать что .

Алгоритм управления решением:

1

1.С помощью равенства найти .

2.Решить систему уравнений

2

1.С помощью равенства найти .

2.Перейти от равенства к системе уравнений

3.Решить систему уравнений

Ответ: 1.

Задание 16

Последовательность удовлетворяет следующему условию

1.Доказать что .

2.Найти сумму .

3.Найти сумму .

Алгоритм управления решением:

1

1.Перейти от равенства к системе равенств .

2.Перейти от системы равенств к равенству .

2

1.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти число членов в последовательности при условии что .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов геометрической прогрессии) найти сумму при условии что .

3

1.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти число членов в последовательности при условии что .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов геометрической прогрессии) найти сумму при условии что .

Ответ: 2. ; 3.

Задание 17

Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия , сумма членов которой равна 2. Известно что каждый член последовательности в раза больше суммы членов, следующих за ним.

Найти сумму ряда

Алгоритм управления решением:

1.С помощью формулы

(выражающей общий член геметрической прогрессии) найти .

2.С помощью формулы

(выражающей сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) найти

3.Решить систему уравнений .

4.С помощью формулы

(выражающей сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) найти при условии что .

Ответ:

Задача 18

В арифметической прогрессии . Сумма всех членов прогрессии в раза больше суммы первых членов. Девятый член прогрессии равен .

Найти первый член прогрессии и разность прогрессии.

Алгоритм управления решением:

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму всех членов прогрессии и сумму первых членов.

2.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти .

3.Решить систему уравнений

Ответ:

Задача 19

Последовательность задана правилом .Д

1.Доказать что члены последовательности, стоящие на четных местах равно как и члены последовательности, стоящие на нечетных местах, образуют арифметическую прогрессию с разнастью .

2.Доказать что сумма первых членов арифметической прогрессии равна .

Алгоритм управления решением:

1

1.Найти при условии что .

2.Установить отношение между членами при услови что и также

3.Тождественно преобразовать .

2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти суммы при условии что в первой сумме , а во второй сумме .

2.Тождественно преобразовать выражение .

Задание 20

Последовательность задана правилом .

1.Найти значение членов .

2.Последовательность определена равенством . Найти отношение .

3.Выразить .

4.Найти .

Алгоритм управления решением:

2

1.Установить отношение при условии что .

3

1.С помощью формулы

(выражающей общий член геометрической прогрессии) найти при условии что .

4

1.С помощью равенства найти .

2.С помощью равенства найти .

Ответ: 3. ; 4.

Задача 21

Последовательность задана правилом

1.Доказать что члены той последовательности, стоящие на четных местах равно как и члены последовательности, стоящие на нечетных местах образуют арифметическую прогрессию с одной с одной и той же разностью .

2.Найти сумму первых членов этой последовательности.

Алгоритм управления решением:

1

1.Установить отношение между членами при условии что .

2.Установить отношение между членами при условии что

3.Тождественно преобразовать выражение .

2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти суммы при условии что в первой сумме , а во второй сумме .

Ответ:

Задача 22

Дана геометрическая прогрессия со знаменателем . Строят новую последовательность .

1.Найти .

2.Показать что последовательность является геометрической прогрессией.

3.Найти сумму первых членов прогрессии в виде .

Алгоритм управления решением:

1

1.С помощью формулы

(выражающей общий член геометрической прогрессии) найти .

2.Тождественно преобразовать выражение .

2

1.Установить отношение отношения при условии что .

3

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов геометрической прогрессии) найти сумму первых членов при условии что .

Ответ: 1.; 3..

Задача 21

Последовательность задана правилом

1.Доказать что члены той последовательности, стоящие на четных местах равно как и члены последовательности, стоящие на нечетных местах образуют арифметическую прогрессию с одной с одной и той же разностью .

2.Доказать что сумма первых членов этой последовательности не зависит от .

3.Найти при каких значениях последовательность членов, стоящих на нечетных местах соврадает с последовательностью членов, стоящих на четных местах.

Алгоритм управления решением:

1

1.Установить отношение между членами при условии что .

2.Установить отношение между членами при условии что .

3.Тождественно преобразовать выражение .

2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму при условии что в первой сумме , а во второй сумме .

2.Тождественно преобразовать выражение .

3

1.Решить уравнение

Ответ: 3.

Задача 22

Последовательность задана правилом .

1.Найти при условии что .

2.Найти число членов при условии что сумма первых членов равна .

Алгоритм управления решением:

1

1.С помощью формулы

(выражающей общий член арифметической прогрессии) найти .

2.Решить систему уравнений .

2

1.С помощью формулы

(выражающей сумму первых членов арифметической прогрессии) найти сумму первых членов при условии что .

2.Решить уравнение .

Ответ: 1.; 2.