Задание 5

9 класс

Задание 5

1. Докажите, что уравнение не имеет корней.

Решение. Рассмотрим первый множитель левой части: . Ветви параболы направлены вверх. Минимальное значение функция достигает в точке (вершина параболы) .

Теперь рассмотрим второй множитель . Ветви параболы направлены вверх. Минимальное значение функция достигает в точке (вершина параболы) .

Таким образом, левая часть уравнения больше или равна 12. Следовательно, уравнение не имеет решений, что и требовалось доказать.

2. Сумма утроенного второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?

Решение. По условию задачи:

Пусть , тогда

.

Функция является параболой, ветви которой направлены вверх. Следовательно, минимального значения функция будет достигать в точке (вершина параболы).

Ответ: -3,6.

3. Постройте график функции . Сколько общих точек с графиком функции может иметь прямая ?

Решение. Û

Ответ: При и - две общие точки; при - четыре общие точки; при - две общие точки; при - нет общих точек.

4. При каких значениях параметра система уравнений имеет бесконечно много решений?

Решение. Графиком каждого из уравнений системы является прямая. Система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда прямые совпадают.

Прямые и совпадают, когда и .

Выразим в каждом уравнении системы переменную :

.

Сравним коэффициенты:

Þ

Ответ: .

5. В треугольнике ABC проведены высоты AN и BM и отмечена точка K – середина стороны AB. Найдите AB, если известно, что угол ÐACB=105°, а площадь треугольника MNK равна 25.

Решение.

1) Проведем окружность с центром в точке K и радиусом . Так как и по условию, то точки M и N лежат на построенной окружности и .

2) В треугольнике CMB ,

,

.

3) Поскольку - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол , и , то .

4) , тогда . Откуда .

Ответ: 20.