13. Приложения определенного интеграла.

13.1. Некоторые кривые, которые будут встречаться в дальнейшем.

В этом разделе мы рассмотрим некоторые приложения определённого интеграла, в основном, геометрические - к вычислению площадей и объёмов. Здесь мы приведём уравнения и изображения ряда кривых, которые с которыми будем работать дальше.

1.  Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центром

радиуса : . Если окружность проходит через начало координат, то , и уравнение принимает вид . В полярных координатах это уравнение выглядит так: . На рисунке справа приведены три такие окружности (), (), ().

2.  Спирали: спираль Архимеда . На рисунке изображены спирали и . Логарифмическая спираль . На рисунке изображены спирали и .


Гиперболическая спираль . На рисунке изображены спирали и . Стрелками на всех спиралях указано направление возрастания параметра .

3.  Кардиоида . Три таких кривых изображены на рисунке справа.

Декартово уравнение кардиоиды: ;

Параметрические уравнения кардиоиды:

Кардиоида - частный случай улитки Паскаля .

4.  Лемниската Бернулли .

Подкоренное выражение неотрицательно при и . Декартово уравнение лемнискаты .

Лемниската - геометрическое место точек таких, что , где и - фокусы лемнискаты.

На рисунке изображена лемниската с .

5.  Четырёхлепестковая роза . Декартово уравнение .

Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

6.  Развёртка (эвольвента) окружности

Каждая точка этой кривой - конец нити, которая разматывается с окружности , оставаясь в натянутом состоянии. В начальный момент конец нити находится в точке .

7.  Циклоида Эта кривая - траектория точки окружности радиуса , которая без скольжения катится по оси . В начальный момент точка находится в точка .


8. Астроида Декартово уравнение . Каждая точка этой кривой - основание перпендикуляра , опущенного из начала координат на отрезок постоянной длины , движущийся так, что его концы находятся на осях координат. Точка - вершина прямоугольника, построенного на отрезке как диагонали. На рисунке приведена астроида с .

13.2. Площадь плоской области.

13.2.1. Декартовы координаты. В пункте 11.1.4. мы сформулировали Геометрический смысл определённого интеграла: если на отрезке , то равен площади криволинейной трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми и , сверху - функцией . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой , снизу - кривой , слева и справа - отрезками прямых и , то её площадь равна . Пример: Найти площадь области , ограниченной кривыми при условии, что (дальше мы будем писать так: ).

При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых, уравнение имеет два корня: и ;

Подходящий корень - . Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой , крайняя левая точка - , поэтому Если область имеет более сложную структуру, её следует разбить на простые части.

13.2.2. Область задана в полярных координатах. Если область - сектор, ограниченный лучами , и кривой , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток лучами на частей; . На каждом из отрезков выберем произвольную точку , найдём , тогда равно площади сектора круга, ограниченного лучами , и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область , её площадь .

При разница между и - площадью области - будет тоже стремиться к нулю, т. е. .

Примеры: 1. Найти площадь, ограниченную лемнискатой .

Решение: точки лемнискаты расположены в секторах и ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе и учетверим её:

2. Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды вне окружности .

Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды ; для верхней части окружности , поэтому

3. Найти площадь, лежащую внутри окружности вне лемнискаты .

Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия , Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь верхней части и удваиваем её. При изменении от до полярный радиус меняется от до ; при изменении от до полярный радиус меняется от 0 до ; поэтому

13.2.3. Область ограничена кривыми, заданными параметрически. Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию (см. 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде ; то переход в интеграле к переменной приводит к формуле .

Пример: найти площадь, ограниченную астроидой ().

Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте (), и учетверим её. Точка получается при , точка - при , поэтому

13.3. Вычисление длин кривых.

13.3.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая . Разобьём эту кривую точками на частей и впишем в кривую ломаную , соединяющую эти точки. Длина этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

. Устремим теперь количество точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных , не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой .

13.3.2. Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая - график функции , имеющей непрерывную производную , . Тогда точка имеет координаты , звено имеет длину . Функция на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением , , определяется формулой .

Пример: Найти длину отрезка параболы от точки до точки .

Решение: , поэтому

.

13.3.3. Кривая задана параметрически . Заменим в переменную на переменную . Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .

Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити.

Решение: кривая задаётся уравнениями

.

13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим , поэтому

.

Пример: найти длину кардиоиды .

Решение: , поэтому . Ответ явно бессмысленен. Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня из . Правильное решение:

Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви и удвоить её:

13.4. Объёмы тел вращения.

13.4.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело расположено в пространстве между плоскостями и , и для известна площадь его поперечного сечения . Требуется определить объём этого тела.

Рассечём это тело плоскостями на слоёв (), на каждом из отрезков возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями и приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму , поэтому .

13.4.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси. Если объём получается в результате вращения кривой , , вокруг оси , то, очевидно, , поэтому .

Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса вокруг оси .

Решение: эту задачу проще решить, если применить параметрические уравнения эллипса: . Верхняя дуга эллипса получается при изменении от 0 до , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра , равное , крайней правой точке соответствует значение . Формула для кривой, заданной параметрически, примет вид , поэтому .

Если требуется найти объём тела, которой получается при вращении плоской фигуры вокруг оси , рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса , толщины , высоты . Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности на толщину и высоты ; суммируя эти объёмы и переходя к пределу при , получим .

13.4.3. Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и , вокруг полярной оси находится по формуле . Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности вокруг полярной оси.

Решение:

.

13.5. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

(- длина окружности кольца, - его ширина).

Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности вокруг оси .

Решение: .