Учебно-методический комплекс по учебным дисциплинам (стр. 2 )

Векторная случайная величина (случайный вектор) и ее функция распределения. Зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения. Функции от случайных величин, преобразование закона распределения при функциональном преобразовании случайных величин.

Тема 5. Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Неравенство Чебышёва. Моменты случайной величины. Мода, медиана, квантиль (децили, перцентили), асимметрия, эксцесс. Условное математическое ожидание. Использование децилей при построении индекса Джини.

Дисперсионная (ковариационная) и корреляционная матрицы случайного вектора. Ковариация и коэффициент корреляции (линейный коэффициент корреляции Пирсона) двух случайных величин, свойства некоррелированности и независимости. Диаграмма рассеивания. Начальные элементы корреляционного анализа. Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла. Примеры исследования взаимосвязей социально-экономических показателей.

Тема 6. Предельные теоремы в теории вероятностей.

Закон больших чисел. Теоремы Хинчина и Чебышёва, теорема Бернулли. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых случайных величин. Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Оценивание скорости сходимости частоты («оценки доли») к вероятности (к «истинной доле») в схеме Бернулли, сравнение результатов использования неравенства Чебышёва и интегральной теоремы Муавра – Лапласа в прикладном социологическом анализе.

Тема 7. Нормальный случайный вектор.

Многомерное нормальное распределение. Линейное преобразование нормального случайного вектора. Частные и условные распределения компонент. Статистическая зависимость компонент, декоррелирующее преобразование. Проблема снижения размерности модели в социологии. Вырожденность и снижение размерности, «эллипсоиды рассеивания», взаимосвязь вероятностных и алгебраических свойств. Вероятностные основы метода главных компонент и факторного анализа. Вероятностные основы многомерного корреляционного анализа, понятия частного и множественного коэффициентов корреляции, понятие о канонических корреляциях; использование в прикладном социологическом анализе.

Тема 8. Теоретико-вероятностные основания математической статистики.

Оценивание вероятности события, эмпирический закон распределения случайной величины, гистограмма, выборочные числовые характеристики случайной величины, выборочные распределения.

Статистическая гипотеза и этапы ее проверки. Критическая область гипотезы, уровень значимости (“p – value”). Генеральная совокупность, выборка, статистика. Описательные (дескриптивные) статистики, вероятностные свойства статистик (оценок). Изучение генеральной совокупности на основе выборки. Статистические выводы и связи.

Описательные статистики и статистические выводы в прикладном социологическом анализе. Исследовательская парадигма “Data Mining” в прикладном социологическом анализе и пути ее реализации.

Тема 9. Оценивание параметров в стохастических моделях.

Точечное и интервальное оценивание параметров в вероятностных моделях. Понятие о методе наибольшего правдоподобия (МНП) и о методе наименьших квадратов (МНК). Свойства точечных оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность, достаточность. Критерии проверки наличия у оценок требуемых свойств. Методы получения оценок с требуемыми свойствами.

Выборочное среднее, «выборочная доля», «выборочная вероятность», выборочная дисперсия, выборочный коэффициент корреляции, их статистические свойства. Выборочные распределения точечных оценок.

Построение доверительных интервалов для «вероятности успеха» в схеме Бернулли (для «доли генеральной совокупности»), для математического ожидания и для дисперсии нормальной случайной величины.

Описательные (дескриптивные) статистики и статистические выводы в прикладном социологическом анализе. Асимптотическая ситуация («большая» выборка) и ситуация недостаточного числа наблюдений («малая» выборка).

Тема 10. Проверка статистических гипотез.

Статистики Колмогорова и хи-квадрат (Пирсона), статистические таблицы. Проверка статистических гипотез о законах распределения: критерии согласия, критерии однородности, критерии независимости. Уровень значимости как вероятность ошибки первого рода.

Статистики Стьюдента (Госсета) и Фишера – Снедекора, статистические таблицы. Проверка статистических гипотез о параметрах: критерии значимости. Проверка гипотез о некоррелированности.

Проверка статистических гипотез о совпадении дисперсий двух случайных величин, о совпадении математическх ожиданий двух случайных величин. Критерий согласия «омега-квадрат» (Мизеса). Критерии Бартлетта и Кочрена равенства нескольких дисперсий. Критерии Пирсона и Фишера равенства нескольких математических ожиданий.

Тема 11. Элементы непараметрической статистики.

Элементы теории непараметрического оценивания законов распределения и квантилей при малых выборках; порядковые статистики, доли и блоки выборки. Элементы теории порядковых критериев однородности. Критерий знаков (биномиальный), критерий серий, критерий Уилкоксона (Манна – Уитни), соответствующие статистические таблицы. Элементы теории ранговых критериев случайности. Критерий экстремальных точек, критерий знаков разностей, критерий ранговой корреляции в исследовании рядов социальной динамики.

Тема 12. Исследование стохастических взаимосвязей и зависимостей.

Таблицы сопряженности и их анализ, меры связи признаков (социально-экономических показателей) в таблицах сопряженности.

Прикладные задачи и математические модели дисперсионного анализа (ДА), корреляционного анализа (КА), регрессионного анализа (РА) в исследовании социально-экономических явлений.

Однофакторный и двухфакторный ДА, взаимозависимость факторов. Проверка статистических гипотез в задачах ДА. Многофакторный ДА. Стандартизованные вычислительные схемы ДА.

Характеризация взаимозависимостей на основе показателей корреляции различных типов: полный, частный, множественный коэффициенты корреляции, коэффициент детерминации. Коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла, коэффициент конкордации. Проверка статистических гипотез в задачах КА. Стандартизованные вычислительные схемы КА.

Линейный РА: однофакторный случай – парная регрессия, многофакторный случай – множественная регрессия. Построение уравнения регрессии. Проверка статистических гипотез о коэффициентах регрессии, о необходимости и о целесообразности уточнения построенного уравнения регрессии. Доверительная область для регрессионной прямой. Последовательное уточнение вида регрессионной зависимости. Стандартизованные вычислительные схемы РА. “CAPM”-модель поведения потребителя в стохастической рыночной среде как линейная регрессионная модель.

VI. Список литературы

Основная литература

1. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. Серия «Учебники для ВУЗов». – СПб.: Лань, 1999, 2002.

2. , Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. Серия «Высшее образование». – М.: ИНФРА-М, 1999, 2000; ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

3. и др. Основы статистики с элементами теории вероятностей: Руководство для решения задач. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1999, 2005.

4. Математические модели и методы для социологов. Книга 1. Теория вероятностей: Учебник. – М.: Книжный Дом Университет, 2009.

5. Математические модели и методы для социологов. Книга 2. Математическая статистика: Учебник. – М.: Книжный Дом Университет, 2009.

6. Сигел Практическая бизнес-статистика. – М.: Издательский Дом «Вильямс», 2002, 2004, 2008.

Дополнительная литература

1. Брандт Зигмунд. Статистические методы анализа наблюдений. – М.: Мир, 1975.

2. Теория вероятностей: Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2002.

3. , Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. Учебное пособие для ВУЗов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

4. , Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

5. Левин Стефан Дэвид, Кребиль Беренсон Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel. – М.: Издательский Дом «Вильямс», 2004.

6. Юридическая статистика: Учебник. – М.: Юристъ, 1999.

7. , Статистика в Excel: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002.

8. Прикладной статистический анализ: Учебное пособие для вузов / Колл. авт. , и др. – М.: «Издательство ПРИОР», 2001.

9. 12. , Анализ данных на компьютере. – М.: ИНФРА-М, 2003.

10. Хили Статистика. Социологические и маркетинговые исследования. – СПб.: Питер, 2005.

11. Курс теории вероятностей. – М.: Агар, 2000.

Литература для углубленного изучения научной области

1. Аакер Дэй Маркетинговые исследования. – СПб.: Питер, 2004.

2. Анастази Анна, Урбина Сьюзан. Психологическое тестирование. 7-е международное издание. – СПб.: Питер, 2001.

3. Бендат Пирсол Аллан Г. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989.

4. Бикел Питер Дж., Доксам Математическая статистика. – Вып. 1, 2. – М.: Финансы и статистика, 1983.

5. Болч Хуань Клифф Дж. Многомерные статистические методы для экономики. – М.: Статистика, 1979.

6. , Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.

7. Статистическая теория и методология в науке и технике. – М.: Наука, 1977.

8. Ван дер Математическая статистика. – М.:ИЛ, 1960.

9. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. . – М.: Большая российская энциклопедия, 1999.

10. , Статистический анализ. Учебное пособие. – М.: ИИД “Филинъ”, 1998; ИНФРА-М, 2002.

11. Дэвис Джоэл Дж. Исследования в рекламной деятельности: теория и практика. – М.: ИД «Вильямс», 2003.

12. , Общая теория статистики: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 1999, 2004.

13. Малхотра Маркетинговые исследования. Практическое руководство. – М.: ИД “Вильямс”, 2002, 2003, 2007.

14. Мангейм Рич . Политология. Методы исследования. – М.: Весь Мир, 1999.

15. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. – М.: Энергоиздат, 1982.

16. Техника статистических вычислений. – М.: Наука, 1971.

17. Мостеллер Фредерик, Тьюки Анализ данных и регрессия: В 2-х вып. – М.: Финансы и статистика, 1982.

18. Павловский Збигнев. Введение в математическую статистику. – М.: Статистика, 1967.

19. Плаус Скотт. Психология оценки и принятия решений. – М.: ИИД «Филинъ», 1998.

20. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: Речь, 2000.

21. Управленческая экономика. – М.: ИНФРА-М, 2000.

22. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для ВУЗов / Колл. авт., под ред. . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

23. Франк Микроэкономика и поведение. Университетский учебник. – М.: ИНФРА-М, 2000.

24. Хеллевик Оттар. Социологический метод. – М.: Весь Мир, 2002.

25. Черчилль Маркетинговые исследования. – СПб.: Питер, 2002.

26. Черчилль Якобуччи Дон. Маркетинговые исследования. Методологические основы. – СПб.: ИД “Нева”, 2004.

27. Методы принятия решений. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

28. Agresti Alan. Categorical Data Analysis. (Univ. of Florida) – USA: John Wiley & Sons, 1990.

29. Clarke G. M., Cooke D. A Basic Course in Statistics. 5th edition. – UK: Arnold, 2004.

30. Greene William H. Econometric Analysis. (N. Y.University) 5th edition. – USA: Prentice-Hall, 2003.

31. Harshbarger Ronald J., Reynolds James J. Mathematical Applications for the Management, Life, and Social Sciences. 7th edition. – USA: Houghton Mifflin Company, 2004.

32. Kadane Joseph B., et al. Rethinking the Foundations of Statistics. (Carnegie Mellon Univ.) – UK: Cambridge University Press, 2000.

33. Maxwell Nicholas. Data Matters: Conceptual Statistics for a Random World. – USA: Key College Publishing, 2002.

34. Moore David S., McCabe George P. Introduction to the Practice of Statistics. 5th edition. – USA: W. H.Freeman and Company, 2006.

35. Newbold Paul, Carlson William L., Thorne Betty M. Statistics for Business and Economics. 5th edition. – USA: Prentice-Hall, Pearson Education, 2003.

36. Punch Keith F. Introduction to Social Research. Quantitative and Qualitative Approaches. 2nd edition. – UK: SAGE Publications, 2005.

37. Vaus de David. Analyzing Social Science Data. 50 Key Problems in Data Analysis. – UK: SAGE Publications, 2004.

38. Wilcox Rand R. Applying Contemporary Statistical Techniques. – USA: Academic Press, 2003.

VII. Тематика форм промежуточного контроля

Контрольная работа по теории вероятностей.

Вычисление вероятностей простых и сложных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса. Случайные величины, их законы распределения и вероятностные характеристики. Использование таблицы стандартной нормальной случайной величины. Числовые характеристики случайных величин.

Домашнее задание (эссе) №1 по теории вероятностей.

Модели и методы теории вероятностей в социологическом исследовании: законы распределения случайных величин, числовые характеристики случайных величин, предельные теоремы, примеры социологического содержания..

Домашнее задание (эссе) №2 по теории вероятностей.

Корреляция как мера зависимости случайных величин (взаимосвязей социально-экономических показателей), диаграмма рассеивания. Коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена. Примеры социологического содержания.

Контрольная работа по математической статистике.

Предельные теоремы в оценивании характеристик случайных величин (моделей социальных явлений) с заданным качеством, определение необходимого объема выборки. Выборочное оценивание законов распределения и числовых характеристик случайных величин. Использование статистических таблиц. Выборка как модель исследования свойств генеральной совокупности.

Домашнее задание (эссе) №1 по математической статистике.

Описательные статистики в социологическом анализе. Построение точечных и интервальных оценок в прикладном социологическом анализе. Примеры социометрических исследований, базирующихся на описательных статистиках.

Домашнее задание (эссе) №2 по математической статистике.

Методы вероятностно-статистического моделирования в социологии. Проверка статистических гипотез и статистический вывод в прикладном социологическом анализе. Примеры социометрических исследований, базирующихся на проверке статистических гипотез и на статистическом выводе.

Домашнее задание (эссе) №3 по математической статистике.

Методы исследования взаимосвязей и зависимостей в прикладном социологическом анализе. Анализ таблиц сопряженности, корреляционный анализ, дисперсионный анализ, регрессионный анализ при проведении социометрического исследования.

VIII. Контрольные задачи по учебным дисциплинам

Примеры задач для текущего и промежуточного

контроля знаний

1. Пусть А, В, С – некоторые три события. Запишите с помощью теоретико-множественных операций следующие утверждения:

Произошло только событие А ____________________________

Произошли только события А и В _________________________

Произошли все три события ______________________________

Произошло по крайней мере одно событие из трех ___________

Произошло ровно одно событие ___________________________

Ни одно событие не произошло ____________________________

2. На три вакантных должности в выбираемом на общем собрании акционеров новом составе правления фирмы претендуют 10 кандидатов. Определите количество вариантов, которое необходимо рассмотреть участникам собрания при заполнении вакантных должностей в каждом из следующих возможных случаев, характеризующих структуру нового правления: а) один член нового правления не может совмещать различные должности (такими должностями в данном случае являются, например, президент, исполнительный директор, секретарь); б) один член правления может совмещать любое количество различных должностей (такими должностями являются, например, президент, генеральный директор, председатель правления); в) все три должности в новом правлении идентичны (например, три равноправных директора).

3. Сколько имеется способов составления в случайном порядке списка из 7 предварительно отобранных кандидатов для выбора одного из них на должность председателя правления? Каковы вероятности того, что кандидаты окажутся расставленными в списке по возрасту (от меньшего – к большему), по уровню личного дохода за предыдущий год (от большего – к меньшему), в алфавитном порядке?

4. Лифт, в котором находятся семь пассажиров, отправляется с “нулевого” этажа здания вверх, останавливаясь последовательно на каждом этаже здания с первого по десятый. Все пассажиры, пожелавшие выйти на каком-либо этаже, могут это сделать и в результате после остановки лифта на десятом этаже в нем никого не останется. Выход пассажира равновозможен на любом из этажей, обратно в лифт вышедшие пассажиры не заходят. Какова вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже?

5. Участник лотереи «Спортлото» должен зачеркнуть в купленной им карточке 6 из 49 возможных чисел (натуральные числа от 1 до 49) и отправить карточку по почте организаторам лотереи. Если при розыгрыше лотереи все шесть «выигравших» номеров совпадут с числами, зачеркнутыми участником, то он получает максимальный выигрыш. Чему равна вероятность того, что данный конкретный участник угадает все шесть номеров, т. е. получит максимальный выигрыш?

6. Два человека договорились встретиться в определенном месте в течение интервала времени с 10.00 до 10.30, причем пришедший первым ждет второго 10 минут и, если второй за это время не приходит, то первый уходит и встреча считается несостоявшейся. Все моменты прихода в указанном получасовом ингтервале времени для каждого человека равновозможны. Какова вероятность того, что встреча состоится?

7. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0.04. Вероятность того, что тот же потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.05. Указанные события независимы. Найдите: а) вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы; б) вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

8. Рассмотрите механизм подобного комплексного рекламного воздействия на потребителя при наличии еще и третьего канала рекламной коммуникации в виде почтовой рассылки рекламных буклетов, который «достигает» потребителя с вероятностью 0.20.

9. В городе работают 10 коммерческих банков. Для каждого из них вероятность банкротства в течение года равна 0.1. Найдите вероятность того, что в течение года в данном городе количество обанкротившихся банков не превысит число 1.

10. В городе работают три коммерческих банка, количественные оценки «годовой надежности» которых равны 0.95, 0.90, 0.85 соответственно. а) Какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка? б) Какова вероятность того, что в течение года обанкротится хотя бы один банк?

11. Двое играют в «безобидную игру» – проводят последовательность поединков с равными шансами на успех в каждом для каждого игрока (ничьи исключаются). Весь призовой фонд в размере 1000 руб. получит тот, кто первым выиграет три поединка (первым наберет 3 очка: за победу в поединке дается 1 очко, за поражение в поединке дается 0 очков). Игра прервана по некоторым объективным обстоятельствам при счете 2:1 и возобновлена быть не может. Предложите справедливый принцип раздела призового фонда. Сколько денег получит каждый игрок?

12. В наборе имеются n ключей, из которых ровно один подходит к замку. По внешнему виду найти нужный ключ невозможно, поэтому человек последовательно пробует открыть замок каждым ключом из набора. Какова вероятность того, что подходящий ключ будет найден на k–ом шаге данной последовательной процедуры (1 ≤ k ≤ n)? Получите общую формулу и рассмотрите случай n = 10, k = 4.

13. В рекламном агентстве 21% работников относятся к категории лиц, получающих высокую зарплату. Известно, что 40% работников данного рекламного агентства составляют женщины, а 6.4% работников данного рекламного агентства составляют женщины, получающие высокую зарплату. Можно ли утверждать, что в данном рекламном агентстве имеется дискриминация женщин в оплате труда?

14.Три завода производят однотипные изделия, причем первый завод производит 25% всех изделий, второй – 35%, третий – 40%. Каждый завод дает также и брак: 5%, 4%, 2% от объема своего производства соответственно. Вся продукция поступает на единую оптовую базу и размещается на базе в случайном порядке. а) какова вероятность того, что случайно взятое с оптовой базы изделие является бракованным? б) какова вероятность того, что случайно взятое с оптовой базы изделие, оказавшееся бракованным, произведено на втором заводе?

15. Вероятность того, что новый товар фирмы будет «пользоваться спросом» на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0.8. Вероятность того, что товар будет «пользоваться спросом» при наличии на рынке конкурирующего товара равна 0.3. Вероятность появления на рынке конкурирующего товара равна 0.4. Найдите вероятность того, что новый товар фирмы будет «пользоваться спросом» на рынке.

16. Аналитик, исследующий социально-экономическое состояние некоторой страны, выделил три возможных состояния: “хорошее”, “среднее”, “плохое”, прписав им субъективно вероятности 0.15, 0.70, 0.15 соответственно. Вскоре был зафиксирован рост фондового индекса данной страны. Известно (из ретроспективного анализа), что вероятность роста индекса при “хорошем” состоянии составляет 0.8, вероятность роста индекса при “среднем” состоянии составляет 0.40, вероятность роста индекса при “плохом” состоянии составляет 0.20. Как аналитик может уточнить своё высказанное выше субъективное мнение о вероятности того, что страна находится в “хорошем” состоянии?

17. В лотерее участвуют 10000 билетов, из них 500 выигрышных. Сколько нужно купить билетов, чтобы с вероятностью не менее чем 0.99 выиграть хотя бы по одному билету?

18. Для предыдущей ситуации постройте зависимость вероятности выиграть хотя бы по одному билету от количества купленных билетов.

19. В ходе аудиторской проверки предприятия квалифицированный аудитор случайным образом (наугад) отбирает для детальной проверки пять счетов. Известно, что 3% счетов данного предприятия содержат ошибки. Чему равна вероятность обнаружения аудитором хотя бы одного ошибочного счета?

20. На предприятии имеется 1000 однотипных станков, для каждого из которых вероятность поломки в течение одного часа составляет 0.001. Чему равна вероятность того, что в течение одного часа сломаются как минимум два станка?

21. По аналогии с правилом «трёх сигма» опишите количественно правило «четырёх сигма» и правило «двух сигма». Сравните полученные количественные результаты с количественными результатами применения в той же ситуации неравенства Чебышёва.

22. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при независимых бросаниях трех игральных костей (каждая кость бросается по одному разу).

23. Цена акции некоторой компании в течение года является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 48 руб., и стандартным отклонением, равным 6 руб. Определите вероятность того, что в наугад выбранный день этого года цена такой акции будет составлять от 50 руб. до 60 руб.

24. Пусть X и Y – две нормально распределенные случайные величины с EX = 1, EY = 2, DX = 4, DY = 9, ρXY = 0.5. Найдите закон распределения случайной величины Z = – 5X + 7 и дисперсию случайной величины W = X – 2Y.

25. Коэффициент корреляции Пирсона между случайными величинами X и Y равен ρXY. Найдите коэффициент корреляции Пирсона ρUV между случайными величинами U = 2X + 3 и V = – 3Y + 1.

26. Определите значение коэффициента корреляции Пирсона случайных величин X и Y на основании имеющейся выборки (xi, yi): (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10).

27. Почему частота наступления события А в n независимых испытаниях Бернулли является «хорошей» оценкой вероятности Р(А)?

28. Менеджер ресторана по своему опыту знает, что 80% людей, сделавших днём предварительный заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из дней менеджер решил принять 40 заказов, хотя в ресторане имеется лишь 32 столика. Оцените рискованность такого решения менеджера.

Примеры задач для итогового контроля знаний

1. Город имеет три независимых резервных общегородских источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного общегородского источника электроэнергии. Для каждого резервного источника вероятность того, что он будет доступен при отключении постоянного источника, равна 0.9. Какова вероятность того, что город не останется без электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?

2. Торговый агент распространяет небольшой тираж дорогой иллюстрированной книги. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 60 клиентов, которым он предлагает книгу, покупает её. Агент планирует предлагать книги (по одной) в течение некоторого промежутка времени 20 клиентам. Чему равна вероятность того, что он продаст им хотя бы одну книгу?

3. Планируется слияние двух фирм: поглощение одной – «малой» фирмы другою – «крупной» фирмой. Аналитики «крупной» фирмы полагают, что такое слияние принесет успех с вероятностью 0.70, если директор поглощаемой фирмы добровольно уйдет в отставку. В случае отказа директора от добровольной отставки вероятность успеха оценивается аналитиками как 0.40. Вероятность добровольного ухода в отставку оценивается аналитиками как 0.60. Чему равна вероятность того, что слияние принесет успех?

4. Исследованиями психологов установлено, что женщины и мужчины по-разному реагируют на определенные анализируемые жизненные обстоятельства: на данные обстоятельства «позитивно» реагируют 80% женщин, в то время как среди мужчин доля реагирующих «позитивно» составляет 30%. Реакции могут быть только «позитивными» либо «негативными». 20 женщин и 10 мужчин заполнили типовую анонимную анкету, в которой отразили свое отношение к данным обстоятельствам. Полученные 30 анкет перемешаны и из них извлечена анкета, содержащая «негативную» реакцию. Чему равна вероятность того, что данную анкету заполнял мужчина?

5. Процесс поступления исков, вызываемых дорожно-транспортными происшествиями (ДТП), в страховую компанию описывается моделью процесса Пуассона с параметром λ = 2 иска/час (полагается, что одно ДТП является причиной ровно одного иска). Определите вероятность того, что в течение трех часов не поступит ни одного иска.

6. Письменную контрольную работу по ранее изученному разделу учебной дисциплины выполнили 100 студентов. Считается, что раздел усвоен и можно переходить к изучению следующего раздела, если количество неудовлетворительных оценок за контрольную работу составляет не более 10% (в противном случае изученный раздел необходимо повторить еще раз). Данное решение необходимо принять оперативно, проверив лишь небольшую часть всех контрольных работ. После проверки случайно отобранных 11 работ установлено, что из них ровно одна получила неудовлетворительную оценку. Предложите обоснованную процедуру принятия решения о переходе к изучению следующего раздела на основе анализа имеющейся информации.

7. Фирма, занимающаяся социологическими опросами, получила заказ от политической партии на определение рейтинга данной партии с допустимой погрешностью в 3%. Опрос одного респондента обходится фирме в 50 рублей. На какую сумму данная социологическая фирма может выставить счет заказчику, имея в виду, что заказчик, возможно, потребует уменьшения суммы счета и фирма должна будет отстаивать свои расчеты?

8. Необходимо оценить будущую долю рынка новой модели цифрового фотоаппарата. Что Вы можете сказать о степени научной обоснованности предложения опросить 10 респондентов и, если, например, трое из них проявят заинтересованность к данной модели, то оценить долю рынка как 30%? Определите объем опроса, задав разумные показатели его точности и использовав научно обоснованные методы статистического анализа.

9. «Квалифицированным» считается руководитель, который принимает не менее 80% правильных решений. Такому руководителю – директору рекламного агентства предстоит принять решения по пяти стратегически важным вопросам. Оцените вероятность того, что данный директор примет менее трех правильных решений.

10. Итоговый зачетный тест в формате “multiple choice” по некоторой учебной дисциплине содержит 20 вопросов, к каждому из которых предлагается по пять возможных ответов, среди которых содержится ровно один верный ответ. Чему равна вероятность того, что студент, совершенно не готовившийся к такому тестированию и не посещавший занятия по данной учебной дисциплине, получит зачет, если зачет ставится за наличие не менее половины правильных ответов?

11. Известно, что объем производства предприятия за одну неделю хорошо описывается нормальной случайной величиной со средним значением 120000 единиц продукции и стандартным отклонением 13000 единиц продукции. В течение некоторой недели профсоюз проводил на предприятии собрания, разрешение администрации на которые было получено при условии обеспечения отсутствия каких-либо сбоев в обычном функционировании предприятия. Объем производства предприятия за указанную неделю составил 80000 единиц продукции. Администрация рассматривает это как катастрофическое падение объема производства и хочет наложить штрафные санкции на профсоюз, а профсоюз полагает такой результат вполне естественным при имеющейся модели в виде указанной выше нормальной случайной величины. Какая из двух сторон такого «трудового спора» права?

12. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, получает заказы по почте. Число этих заказов в месяц есть нормальная (гауссовская) случайная величина со «среднеквадратическим» («стандартным») отклонением σ = 560 и с неизвестным математическим ожиданием m. В 80% случаев число ежемесячных заказов превышает 12500. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых данной фирмой за месяц.

13. Известно, что в течение года цена ежедневно котирующейся на бирже обыкновенной акции компании есть нормальная (гауссовская) случайная величина N (24, 25), где цена измеряется в рублях. Вычислите вероятность того, что в случайно выбранный день данного года цена акции будет: а) более 30 руб.; б) менее 20 руб.; между 20 руб. и 30 руб.

14. В город ежедневно рано утром приезжают 1000 туристов. В полдень все они идут обедать, причем каждый из них независимо от других выбирает для обеда один из имеющихся в городе двух ресторанов. Владелец одного из ресторанов хочет, чтобы лишь с малой вероятностью 0.01 происходило событие, состоящее в потере клиентов из-за отсутствия в ресторане свободных мест. Сколько мест необходимо иметь в данном ресторане?

15. В авиакомпании знают, что в среднем 10% людей, делающих предварительный заказ на авиабилет, не воспользуются им. Приняты заказы на 180 авиабилетов на самолет, в котором 170 мест. Чему равна вероятность того, что у авиакомпании не возникнет ни одного конфликта с клиентами, сделавшими эти предварительные заказы?

16. Известно, что в среднем 25% абитуриентов выдерживают вступительные экзамены в университет. В приемную комиссию данного университета поступило 2127 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 600 абитуриентов, поступающих в данный университет, наберут проходной балл?

17. В маленьком фешенебельном ресторанчике с 12 столиками, который работает только по вечерам, знают, что в среднем 10% людей, делающих в течение дня предварительный заказ столика на ближайший вечер, не воспользуются им. Заказы на вечер принимаются только в течение того же дня. Менеджер ресторанчика решил принять на вечер 14 заказов. Оцените рискованность такого решения менеджера.

18. При приёмочном контроле «большой» партии, которая содержит N изделий, производится отбор «маленькой» контрольной партии в n штук (n << N).Найдите вероятность того, что в «маленькой» контрольной партии нет ни одного бракованного изделия, если во всей «большой» партии имеется k штук бракованных изделий. Получите общую формулу и рассмотрите случай N = 1000, n = 50, k = 4.

19. В поселке N жителей, каждый из которых планирует в среднем n раз в квартал (90 дней) ездить в город, выбирая дни поездок независимо от остальных. Из поселка один раз в сутки (ранним утром) в город вылетает самолет. Каждый житель поселка, выехавший в город, в тот же день тем же самолетом (поздним вечером) возвращается обратно. Других средств сообщения между поселком и городом нет. Какова должна быть вместимость самолета, чтобы он с высокой вероятностью p «не переполнялся»? Получите общую формулу и рассмотрите случай N = 810, n = 1, p = 0.95.

20. Инвестор имеет 1000000 руб., которые он может вложить либо в два пакета акций одного предприятия, либо в два пакета акций двух разных предприятий (один пакет стоит 500000 руб.). Каждое предприятие с равными вероятностями может либо добиться успеха (и тогда нынешнее вложение в него учетверится), либо потерпеть неудачу (и тогда нынешнее вложение в него пропадет). Постройте математические модели дохода инвестора (в виде дискретных случайных величин) при выборе им каждой из двух указанных выше возможных стратегий. Найдите математические ожидания и дисперсии доходов. Найдите коэффициенты корреляции между доходами пакетов акций при первой стратегии (покупка пакетов акций одного предприятия), при второй стратегии (покупка пакетов акций двух разных предприятий).

21. Известно, что величина годового дохода жителя страны хорошо описывется математической моделью в виде нормальной случайной величины, среднее значение которой равно 20000 у. е., стандартное отклонение равно 6000 у. е. Определите первую и девятую децили, охарактеризуйте степень неравномерности распределения доходов в стране. Сравните данную страну со страной, для которой соответствующая математическая модель также имеет вид нормальной случайной величины со средним значением 20000 у. е., отличаясь, однако, значением стандартного отклонения, которое равно 2000 у. е.

22. Имеются выборочные данные социологических опросов о динамике предвыборных рейтингов некоторой политической партии (в процентах) в трех регионах страны – А, В и С за предыдущие 10 недель:

А	9	14	14	8	15	17	17	10	14	22
В	9	6	8	8	10	13	13	10	10	13
С	9	12	9	11	8	5	6	7	6	7

Постройте выборочные оценки «истинных» рейтингов данной политической партии в указанных регионах и оценку ее общенационального рейтинга, оценки разбросов региональных рейтингов, оценку корреляционной матрицы вектора региональных рейтингов. Сделав необходимые предположения о виде соответствующих генеральных совокупностей, проверьте гипотезы о некоррелированности региональных рейтингов.