Критерии оценки заданий

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru

КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и решения к работе №2, уч. год

Критерии оценки заданий

·  За ответ на каждый из вопросов максимальная оценка была 5 баллов.

Таким образом, максимально возможное число баллов-30.

1. Среди решений системы неравенств , , , найдите такие и , чтобы было наибольшей суммой, а - наименьшей.

Ответ: - наибольшее, - наименьшее.

2. Дан угол в . Какие углы с целым числом градусов можно построить с помощью циркуля и линейки, используя данный угол в и другие углы, построенные с помощью циркуля и линейки?

Ответ: всякий угол с целым числом градусов можно построить с помощью циркуля и линейки, используя угол в .

Решение. , , , .

3. Можно ли какое-нибудь трехзначное число увеличить вдвое в результате перестановки местами его каких-либо двух цифр?

Ответ: нет.

Решение. Предполагая противное, что - подходящее число (), придем к одному из равенств 100b+10a+c=2(100a+10b+c) или 100c+10b+a=2(100a+10b+c), которые не выполняются в силу .

4. Отрезок прямой покрашен в два цвета. Докажите, что на нем найдутся три одноцветные точки, расстояния от одной из которых до двух других будут равны.

Доказательство. Предположим, что такие три точки, окрашенные в цвет a или в цвет b, не найдутся. Разобьем отрезок на три равных отрезка и в среднем из них возьмем три точки. Две из этих точек окажутся окрашенными в один и тот же цвет. Пусть эти точки А и В окрашены в цвет a. На отрезке найдутся еще три точки C, D и М такие, что М – середина АВ, В – середина АС и А – середина BD. По предположению М должна иметь цвет b, а также C и D – тоже цвет b. Пришли к противоречию.

5. Как нужно проложить дорогу, чтобы расстояния от нее до трех данных населенных пунктов A, B и C были одинаковыми? Когда эти расстояния минимальны?

Решение. Если дорога может проходить так, чтобы все три населенных пункта A, B и C лежали по одну сторону дороги и на равном расстоянии от нее, то дорога параллельна прямой проходящей через точки A, B и C и расстояние минимально, когда дорога проходит через эти населенные пункты.

Если же два пункта, например A и B, должны лежать по одну сторону дороги, а третий C по другую, то дорога должна проходить через середины отрезков AC и BC, то есть дорога должна проходить по одной из средних линий треугольника ABC.

Наименьшее расстояние от дороги до точек A, B и C, равное половине наименьшей высоты треугольника ABC, достигается в том случае, когда дорога параллельна наибольшей стороне этого треугольника.

6. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в записи числа: 1) несколько раз; 2) только один раз?

Решение:

1) Число может оканчиваться на: 12; 24; 32; 44; 52 (5 способов). Первую и вторую цифры можно выбрать 5 способами.

По правилу произведения получаем: 5×5×5 = 125.

2) Число может оканчиваться на: 12; 24; 32; 52 (4 способа). Первую цифру можно выбрать из трех оставшихся и после этого вторую цифру можно выбрать из двух оставшихся.

По правилу произведения получаем: 2×3×4 = 24.